核对日期：2026-09-16。
真实原书页
- 文件：
ph09-lagrange-preface-1788.jpg，2525 × 3178，1,034,585 字节。 - Joseph-Louis Lagrange，Méchanique analitique，Paris：chez la veuve Desaint，1788，Avertissement，印刷第 VI 页（字形作 vj）。藏于 ETH-Bibliothek Zürich，Rar 5505。
- 原件著录与公共领域标记，持久标识，Public Domain Mark 1.0。
- IIIF manifest 的序言部分包含 canvas 2488405、2488406；采用第二个，其标签明确为 VI。
- 实际下载的原分辨率图像。本地保存返回的 JPEG 原字节，无裁切、改色、旋转、修补或生成式改绘。manifest 另存于研究目录用于核对。
- 页中说明不用几何图形展开力学论证，页底仍有装饰刻画；正文和图注已作此区分。此页是1788首版，不是1811或1868重印页。
原创插图与数值数据
脚本：chapter09_figures.py（代码保留在本地笔记库），共享图形样式：history_illustration.py（代码保留在本地笔记库）。使用 Python、NumPy、Matplotlib 与 Pillow，字体 Microsoft YaHei。以下全部是现代教学重述，不冒充历史实验记录。
| 文件 | 计算与假设 |
|---|---|
ph09-brachistochrone.png |
无摩擦点质量、静止出发、匀强重力 g=9.81 m/s²，终点水平距离与向下落差均为1 m。摆线 x=r(θ−sinθ)、y=r(1−cosθ)，解得 r≈0.572917 m、终角≈2.412011 rad。用时 θ√(r/g)≈0.582895 s，弧长4r[1−cos(θ/2)]≈1.474107 m。直线用时2/√g≈0.638551 s，路程√2 m。 |
ph09-pendulum-coordinate.png |
固定悬点与绳长的平面单摆，y向下，x=l sinθ、y=l cosθ。张力径向、允许虚位移切向；画出的θ为32°，箭头长度仅示意，不表示力与位移具有同一单位。 |
ph09-stationary-action.png |
自由粒子 m=1 kg，在T=1 s内从x=0到D=1 m。试探族 x(t)=Dt/T+a sin(πt/T)，S(a)=mD²/(2T)+mπ²a²/(4T)。本例极小值位于a=0，不能推出所有系统的作用量均为极小。 |
ph09-phase-space.png |
简谐振子 m=1 kg、k=1 N/m、E=0.5 J；q=cos(t) m、p=−sin(t) kg·m/s，t以秒计。正则方程给出顺时针轨道。位置、动量轴量纲不同，所画数值圆不是物理空间圆轨道。 |
ph09-symmetry-conservation.png |
诺特定理的典型有限参数连续对称关系。须限定作用量理论、边界与变换条件；有外部驱动的子系统可能不具备所列对称性。 |
数据文件：ph09-brachistochrone.csv 为摆线参数、水平位置和向下落差；ph09-stationary-action.csv 为试探参数a（m）及作用量（J·s）。数值模型、坐标方向、图文排版与图片解码已逐项检查。所有图片通过笔记库本地相对路径引用。