前几课使用了直导线和线圈的场。现在从电流元的贡献重新推导它们，再用对称性建立 Ampere 定律，最后把电场与磁场的四条定律放在一起。
1. Magnetic dipoles
平面电流环的 magnetic dipole moment 磁偶极矩为 \(\vec\mu=NI\vec A\)，方向由电流右手定则确定，单位 \(\mathrm{A\,m^2}\)。均匀磁场对它的力矩和势能为
\[\begin{gathered} \vec\tau=\vec\mu\times\vec B, \\ U=-\vec\mu\cdot\vec B. \end{gathered}\]
磁矩平行场时势能最低、力矩为零，反平行也是零力矩却是不稳定取向。均匀场中闭合线圈可以无净力而有力矩；非均匀场还能导致平移。
电流环、普通磁体都可在远处近似为偶极，但微观材料磁性需要进一步看磁矩如何排列。
2. Ferromagnetic and paramagnetic materials
顺磁体的微观磁矩在外场中略偏向场方向，通常撤场后不保留明显宏观磁化。铁磁体中相互作用使磁矩形成磁畴，外场改变磁畴排列，可产生强响应、磁滞与剩磁。
简单材料模型可写 \(\vec B=\mu\vec H\)，但铁磁材料的响应依赖场强、温度与历史，不能一直认为 \(\mu\) 为常数。温度足够高时热扰动可破坏铁磁排列。
这些内容帮助理解磁芯，计算空气或真空中的稳恒电流场则从 Biot–Savart 定律开始。
3. Biot-Savart law
Biot–Savart law 毕奥–萨伐尔定律给出稳恒电流元的场：
\[d\vec B=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\,d\vec\ell\times\hat r}{r^2}.\]
\(d\vec\ell\) 沿电流，\(\hat r\) 从源元指向观察点，\(r\) 为两者距离。先作叉积确定方向、保留几何因子，再沿整条导线积分；不能把每段的大小都不分方向相加。
对以中点为中心、半长 \(a\) 的直导线，在垂直平分线距导线 \(y>0\) 的位置，积分得到 \(B=\mu_0I a/(2\pi y\sqrt{a^2+y^2})\)。当 \(a\gg y\) 时退回长直线的 \(\mu_0I/(2\pi y)\)。下一部分用同一方法求圆环与圆弧。
4. Applications of the Biot-Savart law
圆环中心处，各电流元到观察点等距、叉积同向，所以 \(B=\mu_0I/(2R)\)。\(N\) 匝圆环轴线上距中心 \(z\) 处，横向分量相消，轴向场为
\[B_z=\frac{\mu_0NIR^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}}.\]
中心 \(z=0\) 退回线圈公式，远处随 \(1/|z|^3\) 衰减，符合偶极场。圆心角 \(\phi\) 用弧度表示的圆弧，中心场贡献为 \(\mu_0I\phi/(4\pi R)\)；径向导线在圆心的叉积为零。
组合导线逐段求矢量贡献，再叠加。积分方法普遍适用，极高对称性则允许更快的方法。
5. Ampere's law
Ampere's law 安培定律在真空稳恒电流条件下为
\[\oint_C\vec B\cdot d\vec\ell=\mu_0I_{\mathrm{enc}}.\]
回路正向与穿过面的正电流方向由右手配对。无限长直导线选同心圆，场沿切线且大小不变，得到 \(B2\pi r=\mu_0I\)；长螺线管选矩形回路，内部贡献主导，得到 \(B\approx\mu_0nI\)；理想环形线圈内部为 \(B=\mu_0NI/(2\pi r)\)。
均匀电流分布的圆柱导线半径 \(a\)，内部 \(I_{\mathrm{enc}}=Ir^2/a^2\)，所以 \(B=\mu_0Ir/(2\pi a^2)\)，外部才按 \(1/r\) 衰减。不能在中心沿用外部公式让场无限大。
定律本身不能保证 \(B\) 可从积分中提出，仍需对称性。时间变化电场时，简单稳恒形式还缺一项，这把我们带到 Maxwell 的统一。
6. Maxwell's equations
Maxwell's equations 麦克斯韦方程组把已经学过的电磁关系连接起来。真空中的积分形式为
\[\begin{gathered} \oint_S\vec E\cdot d\vec A=\frac{Q_{\mathrm{enc}}}{\epsilon_0}, \\ \oint_S\vec B\cdot d\vec A=0, \end{gathered}\] \[\oint_C\vec E\cdot d\vec\ell=-\frac{d\Phi_B}{dt},\] \[\oint_C\vec B\cdot d\vec\ell=\mu_0I_{\mathrm{cond}}+\mu_0\epsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}.\]
前两条描述场的源与闭合通量，后两条描述变化场的环绕效应。Maxwell 加入 displacement current 位移电流 \(I_D=\epsilon_0d\Phi_E/dt\)，让充电电容板间即使没有导电电流，也能与导线中的磁场规律一致。
变化电场与变化磁场可以相互联系，方程给出真空电磁波速率 \(c=1/\sqrt{\epsilon_0\mu_0}\)。这部分作为统一图景的延伸，不需要把所有矢量微积分变成另一套记忆清单。下一课把回路自身的变化磁通写成电感与储能。