匀速直线运动的速度矢量不变，匀速率圆周运动却不断改变方向。先从圆的几何得到加速度，再问由什么真实相互作用提供它。
1. Kinematics of circular motion
半径为 \(r\) 的圆上，用弧度定义 angular position 角位置 \(\theta=s/r\)。角速度 \(\omega=d\theta/dt\)，角加速度 \(\alpha=d\omega/dt\)。固定半径时，
\[\begin{gathered} v=r|\omega|, \\ a_t=r\alpha, \\ a_r=\frac{v^2}{r}=r\omega^2. \end{gathered}\]
切向加速度改变速率，径向加速度指向圆心并改变方向。用径向向外的 \(\hat r\) 和角度增加方向的 \(\hat\theta\) 表示，\(\vec a=-r\omega^2\hat r+r\alpha\hat\theta\)。虽然半径固定，\(\hat r\) 本身随时间转动，不能在求导时把它当成恒定方向。
匀速率圆周运动有 \(\alpha=0\)，但 \(a_r\ne0\)。周期与频率为 \(T=2\pi/|\omega|\)、\(f=1/T\)，因此 \(v=2\pi r/T\)。图上把速度画成切线箭头、加速度画向圆心，就可以直接看见区别。
2. Dynamics of circular motion
取指向圆心为径向正方向，牛顿第二定律给出
\[\begin{gathered} \sum F_r=m\frac{v^2}{r}, \\ \sum F_t=ma_t. \end{gathered}\]
Centripetal force 向心力是径向合力的名称，不是要额外添加的一种力。它可以由重力、支持力、摩擦、拉力或它们的分量提供。弯道上静摩擦可以提供向心力；无摩擦倾斜弯道满足 \(N\cos\theta=mg\)、\(N\sin\theta=mv^2/r\)，所以 \(\tan\theta=v^2/(rg)\)。
圆锥摆中 \(T\cos\theta=mg\)、\(T\sin\theta=mv^2/r\)，半径为 \(r=\ell\sin\theta\)。竖直圆周顶部若物体贴着内侧轨道，向心方向向下，\(mg+N=mv^2/r\)；接触必须满足 \(N\ge0\)，轻绳则要求拉力 \(T\ge0\)。速率沿竖直圆周变化时，可以先用能量求各位置的速率，再写径向方程。
物体离开约束后不会沿径向飞出，而以离开瞬间的切向速度开始新的运动。把向心作用换成万有引力，就进入天体轨道。