牛顿第二定律可以写得很短，真正的工作是识别力。先从竖直方向的重力与接触力出发，再转到斜面、摩擦、阻力、绳和弹簧；每增加一种相互作用，就回到“选对象、画力、写方程”。
1. Weight
Weight 重力是地球等天体对物体的引力。在地面附近，可以把重力场看作均匀：
\[\vec F_g=m\vec g.\]
重力竖直向下，大小为 \(mg\)，单位为 \(\mathrm N\)。自由落体时合力就是重力，牛顿第二定律给出 \(\vec a=\vec g\)；这解释了上一单元中质量为什么消失。重力不是“只有落下时才有”，桌上的书同样受重力。
2. Normal force
物体压向表面时，表面形变并产生垂直接触面的 normal force 支持力 \(N\)。支持力来自接触，不是物体自带的力；大小由运动状态和其余受力决定。
水平面上，若没有其他竖直力且竖直加速度为零，才有 \(N=mg\)。斜面支持力垂直斜面，加速电梯中的支持力又可以大于或小于 \(mg\)。普通接触面能推开物体，不能把它拉住；若方程要求 \(N<0\)，通常说明接触条件已经失效。
3. Apparent weight
体重秤测量的是人与秤之间的接触力，称为 apparent weight 视重。取向上为正，电梯中的人满足
\[\begin{gathered} N-mg=ma_y, \\ N=m(g+a_y). \end{gathered}\]
加速度向上时读数增大，向下时减小。决定读数的是加速度，不能只看电梯正在上升还是下降。自由落体时 \(a_y=-g\)，于是 \(N=0\)：失重是接触力消失，地球引力仍然存在。把坐标轴转到斜面方向，同样可以处理倾斜接触。
4. Inclines
光滑斜面上，选沿斜面向下为正、垂直斜面向外为正。重力分量是 \(mg\sin\theta\) 沿面向下、\(mg\cos\theta\) 压向表面。物体保持接触、没有垂直斜面的加速度时，
\[\begin{gathered} N=mg\cos\theta, \\ ma=mg\sin\theta, \\ a=g\sin\theta. \end{gathered}\]
受力图只画重力与支持力，再在旁边分解重力；不能把分量再当作额外的力。\(\theta=0\) 时沿面加速度退回零，是一个直观检查。真实斜面往往不光滑，这就需要摩擦。
5. Friction
Friction 摩擦力沿接触面，阻碍两个表面的相对滑动或滑动趋势。它与“物体相对于地面运动的方向”不一定相反，例如行走时地面对脚的静摩擦可以向前。
Static friction 静摩擦按维持不滑动的需要调整，有最大值；kinetic friction 动摩擦在滑动时使用近似模型：
\[\begin{gathered} |f_s|\le\mu_sN, \\ f_{s,\max}=\mu_sN, \\ f_k\approx\mu_kN. \end{gathered}\]
摩擦系数无单位，取决于材料与表面状况，常见情况下 \(\mu_s>\mu_k\)，但不能把一个测量值当成材料永远不变的常数。先假定不滑动，求所需静摩擦，再检查上限；只有临界滑动时才把静摩擦写成 \(\mu_sN\)。
6. Rough surfaces and inclines
把摩擦加入刚才的斜面模型。静止时，需要沿面向上的 \(f_s=mg\sin\theta\)；若没有其他力，静止可行条件是
\[\begin{gathered} mg\sin\theta\le\mu_smg\cos\theta, \\ \tan\theta\le\mu_s. \end{gathered}\]
物体沿面向下滑时，动摩擦向上，取向下为正：
\[ma=mg\sin\theta-\mu_kmg\cos\theta.\]
若物体沿面向上滑，摩擦与重力分量都向下。速度换向之后，摩擦方向也可能改变，需要重新判断状态。把“趋势”和“已发生的滑动”分开，受力才不会乱。接下来考虑相对流体的运动。
7. Resistive force
Drag 阻力反向于物体相对于流体的速度。阻力模型由流动条件决定，不存在对所有速度都准确的同一个式子。较慢的黏性流动常用线性模型，较快流动常用平方模型：
\[\begin{gathered} \vec F_d=-b\vec v_{\mathrm{rel}}, \\ \vec F_d=-c|\vec v_{\mathrm{rel}}|\vec v_{\mathrm{rel}}. \end{gathered}\]
线性系数 \(b\) 的单位是 \(\mathrm{kg/s}\)，平方系数 \(c\) 的单位是 \(\mathrm{kg/m}\)，其中包含形状、大小与流体性质。流体静止时相对速度就是物体速度；有风时要先减去风速。阻力随速率增大，给下落带来一个自然的反馈过程。
8. Air resistance and terminal velocity
取下落方向为正，忽略浮力，线性阻力下有
\[m\frac{dv}{dt}=mg-bv.\]
刚释放时阻力小，加速度接近 \(g\)；速度增加，阻力增大，合力逐渐减小。当合力趋向零时，速度趋向 terminal speed 终端速率 \(v_t=mg/b\)。从初速度 \(v_0\) 出发，
\[\begin{gathered} v(t)=v_t+(v_0-v_t)e^{-t/\tau}, \\ \tau=\frac mb. \end{gathered}\]
\(\tau\) 是趋近的时间尺度，\(v_0=0\) 时，\(v=v_t(1-e^{-t/\tau})\)，位置变化为 \(v_t[t-\tau(1-e^{-t/\tau})]\)。速度是在渐近地接近 \(v_t\)，不是某一刻突然抵达。
平方阻力下方程变为 \(m\dot v=mg-cv^2\)，于是 \(v_t=\sqrt{mg/c}\)；从静止向下落时可写为 \(v=v_t(1-e^{-2gt/v_t})/(1+e^{-2gt/v_t})\)。终端条件是合力为零；若浮力不能忽略，要把它放入同一受力方程。现在从流体的作用转向绳的约束。
9. Tension force along strings
绷紧的绳对物体施加沿绳、离开物体方向的 tension 拉力 \(T\)。理想绳只能拉，不能推；松绳的拉力为零。轻绳、无摩擦且转动惯量可忽略的滑轮模型中，同一根绳的拉力大小相同。
这不是所有绳的普遍性质。有质量的竖直绳，需要支持自身质量，拉力从下向上增大。若下端吊着质量 \(m\)、绳的线密度为 \(\lambda\)，整段以向上加速度 \(a_y\) 运动，则距下端长度 \(s\) 处的拉力为 \(T(s)=(m+\lambda s)(g+a_y)\)。不同绳、真实滑轮两侧也不能未经判断就设相同 \(T\)。
10. Strings and pulley systems
轻而不可伸长的绳把物体运动联系起来。固定滑轮改变拉力方向，简单的同一绳两端沿绳方向的位移、速度和加速度大小相等。可移动滑轮则要从总绳长不变推出比例，不能直接说每个物体的加速度都一样。
对理想 Atwood 装置，若 \(m_2>m_1\)，取 \(m_2\) 向下、\(m_1\) 向上为各自正方向：
\[\begin{gathered} m_2g-T=m_2a, \\ T-m_1g=m_1a, \end{gathered}\] \[a=\frac{(m_2-m_1)g}{m_1+m_2}.\]
分别选物体可以求拉力，整体选系统可以先求加速度。滑轮有转动惯量时，需要两侧不同拉力提供力矩，这会在转动单元回来讨论。绳提供长度约束，弹簧则提供随形变变化的力。
11. Spring force
弹簧在弹性范围内满足 Hooke's law 胡克定律。取 \(x\) 为相对于自然长度的有符号形变，
\[F_s=-kx.\]
Spring constant 劲度系数 \(k\) 的单位是 \(\mathrm{N/m}\)。负号表示回复力指向减小形变的方向，既适用于伸长也适用于压缩。弹簧力不一定等于 \(mg\)：静止竖直悬挂时才由平衡得到 \(kx_{\mathrm{eq}}=mg\)。
若从平衡位置再偏移 \(\xi\)，重力与原有弹簧力相消，剩下合力 \(-k\xi\)。这已经是后面简谐运动的核心。先把多根弹簧等效成一根。
12. Springs in combination
理想轻弹簧串联时，各弹簧受同样的拉力，形变量相加；并联时，形变量相同，力相加。因此
\[\begin{gathered} \frac1{k_{\mathrm{series}}}=\frac1{k_1}+\frac1{k_2}, \\ k_{\mathrm{parallel}}=k_1+k_2. \end{gathered}\]
串联更容易伸长，并联更难伸长。复杂几何中要先判断哪几根弹簧共享力、哪几根共享形变，再建立等效模型。
这一课把越来越复杂的受力情境连在了一起。牛顿第二定律逐时刻描述运动，但如果只关心初末速度和位移，有没有办法把沿途的力积累起来？下一单元从功与能量回答这个问题。