弹簧的回复力直接与位移成正比，摆的重力矩却包含 \(\sin\theta\)。两者看起来不同；小角度近似让它们出现相同的微分方程，也明确了简谐模型的边界。
1. Simple pendulum
Simple pendulum 单摆把摆球当作质点，用轻、不可伸长的细绳悬挂。绕悬点的重力矩为 \(-mg\ell\sin\theta\)，拉力通过悬点不提供该点力矩：
\[\begin{gathered} m\ell^2\ddot\theta=-mg\ell\sin\theta, \\ \ddot\theta+\frac g\ell\sin\theta=0. \end{gathered}\]
当 \(|\theta|\ll1\)，且角度用弧度表示，\(\sin\theta\approx\theta\)，所以
\[\begin{gathered} \omega_0=\sqrt{\frac g\ell}, \\ T_0=2\pi\sqrt{\frac\ell g}. \end{gathered}\]
小角度周期不依赖质量，近似不依赖振幅。较大角度仍往返，但不是严格简谐，周期随振幅变化。能量关系 \(E=m\ell^2\dot\theta^2/2+mg\ell(1-\cos\theta)\) 不需要小角度近似，在忽略耗散时仍适用。
2. Conditions for simple harmonic motion and other examples
摆动的物体如果有明显尺寸，就成为 physical pendulum 复摆。设质心离悬点 \(d\)，绕悬点惯量为 \(I_P\)，小角度时 \(I_P\ddot\theta=-Mgd\theta\)，因此 \(T=2\pi\sqrt{I_P/(Mgd)}\)。不能继续直接拿单摆的绳长公式代替质量分布。
Torsion pendulum 扭摆若回复力矩为 \(-\kappa\theta\)，则周期 \(T=2\pi\sqrt{I/\kappa}\)。平动与转动都遵循相同结构：线性回复作用与相应惯性相配。
一般稳定平衡附近，势能可近似成二次函数，\(U\approx U_0+\tfrac12k_{\mathrm{eff}}q^2\)，于是力为 \(-k_{\mathrm{eff}}q\)。这把势能曲线与简谐运动连接起来。现实振动还会损失能量，也可能受到持续驱动。
3. Damping and resonance
Damping 阻尼使机械能逐渐转为内能。线性阻力模型给出 \(m\ddot x+b\dot x+kx=0\)。弱阻尼时，振幅包络按 \(e^{-bt/(2m)}\) 减小，振动角频率为 \(\omega_d=\sqrt{k/m-(b/2m)^2}\)；阻尼足够强时不再往返。
加上周期驱动力 \(F_0\cos\Omega t\) 后，稳态振幅随驱动频率改变：
\[A(\Omega)=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\Omega^2)^2+(b\Omega)^2}}.\]
驱动接近系统自然频率时，可以产生较大振幅，称为 resonance 共振。阻尼影响峰值与峰所在频率，真实系统不会无限制增大。这个模型作为课堂扩展，帮助解释为什么推秋千要配合节奏，也提醒我们理想不耗散模型的适用范围。
4. Newton's shell theorem and simple harmonic motion
最后把引力单元的球壳定理带回来。假设一个半径 \(R\)、质量 \(M\)、密度均匀的球体，内部距球心 \(r\) 处只由半径以内的质量产生净引力，\(M(r)=Mr^3/R^3\)，所以
\[\vec F=-\frac{GMm}{R^3}\vec r.\]
如果沿直径开一条不影响质量分布的理想通道，让物体无摩擦地运动，忽略球体自转，则沿通道的坐标满足
\[\begin{gathered} \ddot x+\frac{GM}{R^3}x=0, \\ T=2\pi\sqrt{\frac{R^3}{GM}}. \end{gathered}\]
引力在这里也成为与位移成正比的回复力。真实地球密度不均匀，通道也会带来许多其他影响，因此这个结论属于明确理想化的思想实验。到这里，运动描述、牛顿定律、能量、引力和振动被同一条“力决定变化，变化又揭示力”的线串了起来。