圆柱在桌上运动时，质心前进、圆柱转动。是否打滑取决于两者在接触点怎样叠加，因此滚动首先是一个运动约束，再是动力学和能量问题。
1. Pushing a cylinder on a surface
刚体某点 \(P\) 的速度由质心平动与绕质心转动相加：
\[\vec v_P=\vec v_{\mathrm{cm}}+\vec\omega\times\vec r_{P/\mathrm{cm}}.\]
设质心向右运动，顺时针角速率为 \(\Omega>0\)，底部接触点相对于静止地面的速度为 \(v_{\mathrm{slip}}=v_{\mathrm{cm}}-\Omega R\)。它为正时接触点向右滑，动摩擦向左；为负时相反。摩擦方向应从这个相对滑动判断，不能只看质心速度。
滑动时，\(M\dot v_{\mathrm{cm}}=\sum F_x\)、\(I_{\mathrm{cm}}\dot\omega=\sum\tau_{\mathrm{cm}}\) 分别描述平动与转动。动力学逐渐改变两者，直到接触点滑动速度为零。动摩擦耗散的机械能速率是 \(f_k|v_{\mathrm{slip}}|\)，不是简单地把质心速率代入。到达不滑动状态后，要重新检查静摩擦能否维持约束。
2. Rolling without slipping
Rolling without slipping 纯滚动要求接触点相对于接触面瞬时静止。固定水平面上，
\[\begin{gathered} v_{\mathrm{cm}}=\Omega R, \\ a_{\mathrm{cm},t}=\alpha R. \end{gathered}\]
圆柱顶点速率为 \(2v_{\mathrm{cm}}\)，底点瞬时速率为零。底点下一时刻会离开接触位置，因此“瞬时静止”不表示这个物质点永远不动，也不表示其加速度为零。
固定、不形变的接触面上，理想静摩擦可以提供力矩，却因受力点瞬时速度为零而不做实际功。约束仍需满足 \(|f_s|\le\mu_sN\)；不是所有运动都能保持纯滚动。把圆柱放上斜面，便能看见惯量与这个约束的共同作用。
3. Rolling on slopes
物体从斜面向下纯滚动，重力提供沿面驱动，静摩擦向上提供绕质心的力矩。取沿面向下为正：
\[\begin{gathered} Mg\sin\theta-f_s=Ma, \\ f_sR=I_{\mathrm{cm}}\alpha, \\ a=\alpha R. \end{gathered}\]
令 \(\beta=I_{\mathrm{cm}}/(MR^2)\)，得到
\[\begin{gathered} a=\frac{g\sin\theta}{1+\beta}, \\ f_s=\frac{\beta}{1+\beta}Mg\sin\theta. \end{gathered}\]
只有所需摩擦不超过上限时，这个解才有效。相同形状和质量分布的物体，\(\beta\) 相同，理想加速度不依赖质量和大小；环与实心圆柱的 \(\beta\) 不同，因此下滑快慢不同。
从静止下降高度 \(h\)，无耗散时 \(Mgh=Mv^2/2+I_{\mathrm{cm}}\omega^2/2\)，于是 \(v=\sqrt{2gh/(1+\beta)}\)。能量给速率，动力学给摩擦与加速度，两者互相检查。下一单元回到弹簧的回复力，研究不断往返的运动。