模拟电子学

Learning objectives

完成本课后，你应能：

1. 用分段线性与指数模型解释二极管整流、限幅和稳压，并估算纹波；
2. 为 BJT 建立直流工作点、负载线和小信号增益，区分截止、放大与饱和；
3. 从负反馈推导理想运放闭环关系，并检查输出摆幅、输入共模、GBW、slew rate、偏置电流和噪声；
4. 分析一阶有源滤波器与 Barkhausen 振荡条件；
5. 设计测量接地、屏蔽和阻抗接口，区分信号参考、保护地与屏蔽层；
6. 用量纲、极限、功率和稳定性检查完整信号链。

Prerequisites

• Kirchhoff 电流与电压定律；
• Thévenin / Norton 等效；
• 电容阻抗 \(Z_C=1/(j\omega C)\) 与分贝；
• 复数相位、正弦稳态和一阶微分方程。

Scope and conventions

• 常规电流方向为正电荷方向；所有电压必须给出参考节点；
• 半导体近似以硅器件室温为背景，\(V_D\approx0.7\ \mathrm V\) 仅是工作点近似；
• BJT 示例采用 NPN、forward-active 区，\(\beta\) 是工作点参数而非普适常数；
• 运放电源轨写作 \(\pm V_S\)，除非明确 rail-to-rail，否则输出不能到达电源轨；
• 小信号线性模型只适用于围绕已建立的 DC 工作点；
• 默认实验室频率范围；射频布线需要分布参数、传输线和电磁场模型。

Notation and modeling contract

1. Diode rectification, clipping, and regulation / 二极管整流、限幅与稳压

Knowledge ID: P14-U01-L01-K01

1.1 非线性单向导电

理想 pn 结模型的 Shockley 方程为

\[I_D=I_S\left(e^{V_D/(nV_T)}-1\right), \qquad V_T=\frac{k_{\mathrm B}T}{q}.\]

它适合展示指数性，不含串联电阻、复合、击穿和自热。手算常使用分段线性模型：正向导通时 \(V_D\approx V_F\)，反向未击穿时 \(I_D\approx0\)。选模型必须与精度目标一致。

图 1 对比连续器件曲线与手算模型；\(0.7\ \mathrm V\) 不是自然界固定阈值。

1.2 整流、储能与纹波

全波整流把负半周翻转，储能电容在峰值附近充电、在峰间向负载放电。小纹波近似为

\[\Delta V_{\rm pp}\simeq \frac{I_L}{f_rC},\]

其中 \(f_r=2f_{\rm line}\)。该式假定负载电流近恒定、放电时间近一个纹波周期且导通时间短。

图 2 中蓝线以线性放电近似指数放电；它用于纹波估算，不是精确导通波形。

1.3 限幅与稳压

二极管与参考电压可把信号限制在指定范围；Zener 管在规定反向电流范围可作分流稳压。串联电阻必须同时满足

\[I_R=\frac{V_{\rm in}-V_Z}{R}=I_L+I_Z, \qquad P_Z=V_ZI_Z<P_{Z,\max}.\]

输入、负载与器件公差的最坏情况分析比“标称点正好”更重要。

2. Transistor biasing, switching, and amplification / 晶体管偏置、开关与放大

Knowledge ID: P14-U01-L01-K02

2.1 三个工作区与 DC 工作点

NPN BJT 的简化工作区：

• 截止：\(I_B\approx0\)，\(I_C\approx0\)；
• forward-active：\(I_C\approx\beta I_B\)，可作线性放大；
• 饱和：两个结都强正偏，\(V_{CE}\) 接近 \(V_{CE,\rm sat}\)，作闭合开关。

集电极电阻负载线为

\[V_{CE}=V_{CC}-I_CR_C-I_ER_E.\]

偏置目标是把静态点 \(Q\) 放在容许摆幅、功耗、增益与温漂的折衷位置。

图 3 的 \(Q\) 点位于负载线与器件特性交点；它不是任意选在图中央。

2.2 分压偏置与小信号增益

把基极分压网络等效为 \(V_{\rm TH},R_{\rm TH}\)，则

\[I_B= \frac{V_{\rm TH}-V_{BE}} {R_{\rm TH}+(\beta+1)R_E}.\]

发射极电阻提供负反馈：电流升高会抬高 \(V_E\)、降低 \(V_{BE}\)。旁路电容足够大、忽略 \(r_o\) 时，共射级小信号增益近似

\[A_v\simeq-g_m(R_C\parallel R_L), \qquad g_m=\frac{I_C}{V_T}.\]

若 \(R_E\) 未旁路，发射极退化降低增益但改善线性与偏置稳定性。

图 4 把 DC 偏置路径和 AC 输入输出同时标明；分析时应先 DC、后小信号。

3. Ideal and nonideal operational amplifiers / 理想与非理想运算放大器

Knowledge ID: P14-U01-L01-K03

3.1 理想规则来自高增益负反馈

开环关系是

\[v_o=A_{\rm OL}(v_+-v_-).\]

在输出未饱和、环路为负反馈且 \(A_{\rm OL}\) 很大时，才可近似：

\[i_+=i_-=0, \qquad v_+\simeq v_-.\]

这两条不是运放裸器件的普遍定律。若接成正反馈、超出共模范围或输出碰到电源轨，“虚短”就失效。

图 5 中输出回到反相端，所以扰动会被抵消；反馈符号必须从实际连接判断。

3.2 反相放大器与噪声增益

理想反相配置由节点电流守恒得到

\[\frac{v_i-v_-}{R_{\rm in}}= \frac{v_--v_o}{R_f}, \qquad v_-\simeq0,\]

\[\frac{v_o}{v_i}=-\frac{R_f}{R_{\rm in}}.\]

信号增益为负，但运放的噪声增益为 \(1+R_f/R_{\rm in}\)，带宽和稳定性通常由噪声增益决定。

图 6 用标准锯齿符号区分 \(R_{\rm in}\) 与 \(R_f\)；黑点是反相求和节点。虚短只在负反馈、未饱和且开环增益足够大时成立。

3.3 必查的非理想项

• 输出摆幅与输出电流；
• 输入共模范围和差分输入限制；
• 有限 GBW：单极点近似下 \(f_{\rm BW}\approx\mathrm{GBW}/G_N\)；
• slew rate：正弦输出要求

\[\mathrm{SR}_{\rm req}=2\pi fV_{\rm pk};\]

• 输入失调电压、偏置电流、输入电压/电流噪声；
• 容性负载引入相位滞后，可能降低相位裕度。

4. Active filters, oscillators, and feedback / 有源滤波、振荡与反馈

Knowledge ID: P14-U01-L01-K04

4.1 一阶滤波器

一阶低通

\[H(j\omega)=\frac{A_0}{1+j\omega/\omega_c}, \qquad \omega_c=\frac{1}{RC}.\]

其幅值在 \(\omega_c\) 为通带的 \(1/\sqrt2\)，相位为 \(-45^\circ\)；高频渐近斜率为 \(-20\ \mathrm{dB/dec}\)。

图 7 同时标出真实平滑转折与渐近线，不能把截止处画成尖角。

4.2 振荡是反馈系统的边界现象

若环路增益 \(L(j\omega)=A(j\omega)\beta(j\omega)\) 在某频率满足

\[\lvert L(j\omega_0)\rvert=1, \qquad \arg L(j\omega_0)=2\pi n,\]

微小噪声可维持为振荡。实际起振常需小信号环路增益略大于 1，随后由非线性把幅度限制到稳定值。Wien bridge 在理想对称 RC 时

\[f_0=\frac{1}{2\pi RC}, \qquad A=3.\]

图 8 把起振与稳幅分开：线性条件决定频率附近，非线性决定最终振幅。

5. Grounding, shielding, and impedance matching / 接地、屏蔽与阻抗匹配

Knowledge ID: P14-U01-L01-K05

5.1 “地”是导体网络，不是零电势魔法

信号地、机壳地和保护地承担不同功能。两点间只要有阻抗 \(Z_g\) 和电流 \(I_g\)，就有

\[V_g=I_gZ_g.\]

若敏感信号与大电流共享回流阻抗，就会出现 common-impedance coupling。低频电场干扰可用导电屏蔽与单点参考降低；高频下屏蔽连接的电感和缝隙决定效果。

图 9 说明干扰来自有限回路阻抗；画出真实回流路径比写一个地符号更有信息。

5.2 阻抗与共模纪律

测量链应满足：

• 源阻抗与输入偏置电流、输入电容相容；
• 传输端终端与电缆特性阻抗相容；
• 差分接收器的共模电压在范围内；
• CMRR 用于估算共模泄漏，而不是宣称完全消除。

若线性 CMRR 为 \(\mathrm{CMRR}\)，

\[v_{\rm err,cm}\simeq\frac{v_{\rm cm}}{\mathrm{CMRR}}, \qquad \mathrm{CMRR}_{\rm dB}=20\log_{10}(\mathrm{CMRR}).\]

图 10 将屏蔽、阻抗、差分接收和后级带宽放在同一信号链中，避免逐块都正确、系统却失败。

Worked Examples

Worked Example 1 — 全波整流器的纹波

已知： \(50.0\ \mathrm{Hz}\) 市电经全波整流，负载近恒流 \(I_L=0.100\ \mathrm A\)，\(C=1000\ \mu\mathrm F\)。
系统边界： 整流器输出电容与负载；忽略 ESR，假定小纹波和短导通。
求： 峰峰纹波。

\[f_r=2f_{\rm line}=100\ \mathrm{Hz},\]

\[\Delta V_{\rm pp} =\frac{0.100}{(100)(1000\times10^{-6})} =1.00\ \mathrm V.\]

检查： 单位 \(A/(s^{-1}F)=V\)。若峰值输出仅几伏，\(1\ \mathrm V\) 不再是小纹波，必须用时域模型重算。

Worked Example 2 — 分压偏置 BJT 的工作点

已知： \(V_{CC}=12.0\ \mathrm V\)，\(R_1=82.0\ \mathrm{k\Omega}\)，\(R_2=18.0\ \mathrm{k\Omega}\)，\(R_C=4.70\ \mathrm{k\Omega}\)，\(R_E=1.00\ \mathrm{k\Omega}\)，\(\beta=100\)，\(V_{BE}=0.700\ \mathrm V\)。
参考与模型： 地为 \(0\ \mathrm V\)；forward-active 假设，之后检查。
求： \(I_B,I_C,V_{CE}\)。

\[V_{\rm TH}=12\frac{18}{82+18}=2.16\ \mathrm V, \qquad R_{\rm TH}=82\parallel18=14.76\ \mathrm{k\Omega},\]

\[I_B=\frac{2.16-0.700}{14.76\ \mathrm{k\Omega}+101(1.00\ \mathrm{k\Omega})} =12.61\ \mu\mathrm A,\]

\[I_C=1.261\ \mathrm{mA},\qquad I_E=1.274\ \mathrm{mA},\]

\[V_C=12-(1.261\ \mathrm{mA})(4.70\ \mathrm{k\Omega})=6.073\ \mathrm V,\]

\[V_{CE}=V_C-I_ER_E=4.80\ \mathrm V.\]

检查： \(V_C>V_E\) 且 \(V_{CE}\) 远大于饱和压降，forward-active 假设自洽；\(\beta\) 漂移仍会改变工作点。

Worked Example 3 — 运放增益、带宽与 slew rate

已知： 反相放大器 \(R_{\rm in}=10.0\ \mathrm{k\Omega}\)、\(R_f=47.0\ \mathrm{k\Omega}\)，输入正弦峰值 \(0.400\ \mathrm V\)，\(f=100\ \mathrm{kHz}\)；运放 GBW \(=1.00\ \mathrm{MHz}\)，SR \(=0.500\ \mathrm{V\,\mu s^{-1}}\)，电源 \(\pm12\ \mathrm V\)。
求： 理想输出、闭环带宽尺度与 slew-rate 自洽性。

\[A_v(0)=-4.70,\qquad V_{o,\rm pk}^{(0)}=1.88\ \mathrm V.\]

噪声增益 \(G_N=1+4.70=5.70\)，故

\[f_{\rm BW}\approx\frac{1.00\ \mathrm{MHz}}{5.70}=175\ \mathrm{kHz}.\]

在单极点闭环近似下，\(100\ \mathrm{kHz}\) 已不是远低于 \(f_{\rm BW}\)，有限 GBW 先带来

\[\frac{\lvert A_v(jf)\rvert}{\lvert A_v(0)\rvert} =\frac{1}{\sqrt{1+(100/175)^2}}=0.868, \qquad V_{o,\rm pk}\simeq1.63\ \mathrm V.\]

即使先按这个小信号衰减后的振幅计算，所需 slew rate 仍为

\[\mathrm{SR}_{\rm req}=2\pi(100\ \mathrm{kHz})(1.63\ \mathrm V) =1.02\ \mathrm{V\,\mu s^{-1}}.\]

结论： 有限 GBW 已使幅值降至理想低频值的约 \(86.8\%\)，而 SR 仍不足，会再产生大信号失真；不能把“频率低于带宽”当作无衰减，也不能只检查 GBW。

Worked Example 4 — 地回路误差与 CMRR

已知： 传感器差分信号 \(10.0\ \mathrm{mV}\)；负端 sense lead 与一条 \(R_g=0.100\ \Omega\) 的电源回流路径共用导体并承载 \(50.0\ \mathrm{mA}\)，正端是独立 Kelvin lead；另有同时加到两输入端的 \(1.00\ \mathrm V\) 共模，接收器 CMRR \(=80.0\ \mathrm{dB}\)。
系统边界： 传感器端子到差分前端输入脚；共享压降只进入负端，因而是差模误差。若两根 sense lead 对称地获得相同压降，它将主要成为共模而非这里的 \(5\ \mathrm{mV}\) 差模项。忽略频率依赖。
求： 不对称共享阻抗造成的差模误差与有限 CMRR 的共模泄漏。

\[V_g=I_gR_g=(0.0500)(0.100)=5.00\ \mathrm{mV}.\]

\[\mathrm{CMRR}=10^{80/20}=10^4, \qquad v_{\rm err,cm}=\frac{1.00}{10^4}=100\ \mu\mathrm V.\]

解释： 因为共享只发生在一条 sense lead，\(5.00\ \mathrm{mV}\) 直接污染差模量，已达信号的 \(50\%\)，远大于 \(100\ \mu\mathrm V\) 的 CMRR 泄漏。首先应改为对称差分/Kelvin 回路并重构回流路径，而不是只换更高 CMRR 的放大器。

Lesson synthesis

一条稳健模拟链的执行顺序是：

1. 定义信号与参考： 幅度、带宽、源阻抗、共模范围、允许负载；
2. 先做 DC： 二极管导通状态、晶体管 \(Q\) 点、运放输入输出范围；
3. 再做 AC： 小信号增益、极点、噪声增益与相位；
4. 做大信号检查： 电流、功耗、输出摆幅、slew rate；
5. 画回流路径： 地、屏蔽、保护和电缆连接；
6. 做容差与最坏情况： 温度、器件散布、负载和电源；
7. 测量验证： 用不会显著加载被测点的探头，并记录带宽限制。

Formula-and-decision table

Model boundaries

• \(V_D=0.7\ \mathrm V\)、\(V_{BE}=0.7\ \mathrm V\) 都是工作点近似；
• \(\beta\)、\(g_m\) 与温度和电流有关；不能用单一标称值证明量产稳定；
• 理想运放规则只在负反馈且未触及输入输出限制时成立；
• GBW 单极点近似不保证任意容性负载稳定；
• 一阶 RC 模型要求互连可视为集总参数；
• 屏蔽对电场与磁场、低频与高频的作用机制不同；
• 保护地的安全功能优先于消除噪声，不能为“安静”而任意断开。

Misconception clinic

Practice and retrieval

1. [K01] 全波整流 \(60\ \mathrm{Hz}\)、\(I_L=50\ \mathrm{mA}\)、\(C=470\ \mu\mathrm F\)，估算纹波。
2. [K01] Zener 稳压器为何必须有串联电阻？
3. [K02] 画出 BJT 截止、active、饱和三个区在开关与放大中的对应。
4. [K02] \(I_C=2.0\ \mathrm{mA}\)、\(V_T=25.8\ \mathrm{mV}\)，求 \(g_m\)。
5. [K03] 反相器 \(R_f=100\ \mathrm{k\Omega}\)、\(R_{\rm in}=20\ \mathrm{k\Omega}\)，求信号增益与噪声增益。
6. [K03] \(V_{\rm pk}=5.0\ \mathrm V\)、\(f=20\ \mathrm{kHz}\)，求最低 SR。
7. [K04] \(R=10.0\ \mathrm{k\Omega}\)、\(C=10.0\ \mathrm{nF}\)，求一阶截止频率。
8. [K04] 为什么 Barkhausen 条件不能单独预测稳态振幅？
9. [K05] \(I_g=0.20\ \mathrm A\) 流过 \(50\ \mathrm{m\Omega}\) 共阻抗，求地电位差。
10. [综合] 传感器源阻抗 \(1.0\ \mathrm{M\Omega}\) 接到输入偏置电流 \(50\ \mathrm{nA}\) 的放大器，估算偏置误差并提出修法。

Exit ticket

1. 给出一条从微伏级传感器到 ADC 的模拟前端框图，并为每一级列出一个 DC、一个 AC 和一个接地风险。
2. 解释为什么“示波器上波形正确”仍不足以证明电路在温度、负载与量产散布下可靠。

References and source notes

以下来源于 2026-08-31 实际打开核验；图与例题均为原创：

1. William & Mary Physics 252, Analog Electronics — 二极管、晶体管、运放与实验课程框架。
2. MIT OpenCourseWare 6.012, Lecture 17: Biasing and Amplification — BJT/MOS 偏置与小信号分析方法。
3. Analog Devices, Basic Operational Amplifiers — 理想运放、闭环配置与实际限制。
4. Analog Devices, Op Amp Applications Handbook, Section 7: Hardware and Housekeeping Techniques — 接地、去耦、屏蔽与布线。
5. MIT OpenCourseWare RES.6-010, Electronic Feedback Systems lecture notes — 反馈、频率响应与稳定性课程体系。

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复习与拓展

• 下一课把模拟链输出连接 ADC，处理采样、量化、触发和数字接口；
• 可扩展 SPICE 小信号/瞬态仿真与 Monte Carlo 容差分析；
• 与实验物理接口：锁相放大、低噪声跨阻前置放大、四线制测量；
• 与 Feedback and Control 接口：把运放反馈推广到传递函数、裕度和状态空间。