想描述一个人的运动，先别急着找公式。我们需要知道他在哪里、经过了哪条路、用了多久。这一课从一条坐标轴出发，把同一段运动逐渐写成位置、速度、加速度和图像。
1. Position, distance, and displacement
把物体的位置标在一条轴上，必须先约定原点、正方向和刻度，并说明相对于谁观察。Position 位置 \(x\) 表示物体相对于原点的坐标，单位是 metre，\(\mathrm m\)。负的位置只表示在原点的负侧，不表示正在向负方向运动。如果物体的大小、形状和转动不影响讨论，可以把它当作一个质点；火车是否完全通过站台时，车长就不能忽略。
Distance 路程 \(d\) 是实际走过的路径长度，是非负的标量；displacement 位移 \(\Delta\vec r\) 是从初位置指向末位置的矢量。一维情况下写成有正负号的分量：
\[\Delta x=x_f-x_i.\]
这里 \(\Delta\) 读作 delta，表示“末状态减初状态”。走出去再走回来，路程继续增加，位移却可能回到零。路程和位移的大小一般不相同，只有沿直线、不折返时才有 \(d=|\Delta x|\)。描述运动时需要保留方向，这就引出了标量与矢量的区别。
2. Scalars and vectors
路程只要说明大小和单位，位移还要说明方向。Scalar 标量用一个数值和单位描述，如时间、质量、路程；vector 矢量还包含方向，如位移、速度、加速度、力。矢量写作 \(\vec A\)，其大小 \(A=|\vec A|\) 非负。在一维中，\(A_x\) 的正负号已经表达了方向；改变坐标轴的正方向会改变分量的符号，不会改变真实的运动。
矢量相加可以把箭头首尾相接，从第一个箭头的起点指向最后一个箭头的终点，就是合矢量。相减则是加上一个反向矢量。对于二维问题，也可以沿相互垂直的轴分解，再分别相加。若 \(\theta\) 从 \(+x\) 轴量起，
\[\begin{gathered} A_x=A\cos\theta, \\ A_y=A\sin\theta, \end{gathered}\] \[A=\sqrt{A_x^2+A_y^2}.\]
复原方向时还要看两个分量的正负，不能只凭 \(\tan\theta=A_y/A_x\) 的数值判断象限。分量是同一个矢量的表示，画受力图时不能把原力和它的两个分量同时当作三个力。有了“位移包含方向”的语言，我们就可以定义运动的快慢。
3. Speed and velocity
同样走完一段路，用时不同，运动的快慢不同。Average speed 平均速率用总路程除以总时间；average velocity 平均速度用总位移除以同一时间间隔。两者单位都是 \(\mathrm{m/s}\)，但速率是标量，速度是矢量。
\[\begin{gathered} \text{average speed}=\frac{d}{\Delta t}, \\ \bar v_x=\frac{\Delta x}{\Delta t}. \end{gathered}\]
绕操场一圈回到起点，平均速度为零，平均速率不为零。平均值描述整个时间间隔；instantaneous velocity 瞬时速度描述某个时刻。把测量间隔取得越来越短，可以接近这个时刻的速度。瞬时速率是瞬时速度的大小 \(|\vec v|\)，例如速度表显示的是速率。接下来要问的不是“运动有多快”，而是“速度有没有改变”。
4. Acceleration
Acceleration 加速度是速度的变化率，是矢量。平均加速度的定义是
\[\bar a_x=\frac{\Delta v_x}{\Delta t}=\frac{v_{x,f}-v_{x,i}}{t_f-t_i}.\]
单位 \(\mathrm{m/s^2}\) 的意思是，每秒钟速度改变多少 \(\mathrm{m/s}\)。比如加速度保持 \(+2\,\mathrm{m/s^2}\)，速度分量就每秒增加 \(2\,\mathrm{m/s}\)。把时间间隔缩短，可以得到瞬时加速度。
速度的大小改变、方向改变，或两者同时改变，都意味着有加速度。因此匀速绕弯也有加速度。在直线运动中，速度和加速度同向时速率增加，反向时速率减小。\(a<0\) 只表示加速度指向负方向，不能直接译成“减速”。物体在某一瞬间 \(v=0\)，也不一定有 \(a=0\)。这些区别最好放到运动图像上一起看。
5. Velocity-time graph (\(v\)-\(t\) graph)
在 \(v_x\)–\(t\) 图上，纵坐标是这个时刻的速度，而不是物体的位置。因为加速度是速度的变化率，连线的斜率给出平均加速度，切线的斜率给出瞬时加速度。水平线表示速度不变；更陡的上升直线表示更大的正加速度。
图线与时间轴之间的有符号面积给出位移。匀速时，面积是 \(v_x\Delta t\)；匀加速时，它是一个梯形：
\[\Delta x=\frac{v_{x,i}+v_{x,f}}{2}\Delta t.\]
轴上方的面积对应正位移，轴下方对应负位移。求路程时，要在速度换符号处拆开，再把各段面积的大小相加。面积的单位是 \((\mathrm{m/s})\mathrm s=\mathrm m\)，也说明它代表位移。同样的想法放到 \(a_x\)–\(t\) 图上，有符号面积代表 \(\Delta v_x\)。下一种图像则直接记录位置。
6. Position-time graph (\(x\)-\(t\) graph)
\(x\)–\(t\) 图的高度表示位置，斜率表示速度。两点连线的斜率是这段时间的平均速度，某一点切线的斜率是该时刻的瞬时速度：
\[\bar v_x=\frac{\Delta x}{\Delta t}.\]
水平线表示静止；向上倾斜表示沿正方向运动；向下倾斜表示沿负方向运动。曲线越来越陡，表示速度大小越来越大；曲线变平，表示速率减小。只有斜率变号，才能判断物体折返。两条图线相交表示两物体在同一时刻处于同一位置，速度未必相同。这个图不是物体在空间中的轨迹，不能把纸上曲线的弯曲直接当作物体转弯。
现在同一段运动有了三种相互联系的描述：位置怎样变、速度怎样变、图像怎样变。下一课会把“加速度保持不变”这一条件加进去，从斜率与面积推导 Big Five，而不是另外记五条没有联系的公式。
