上一课已经知道，\(v\)–\(t\) 图的斜率是加速度，面积是位移。如果加速度不变，图线就成为直线；这一个简单条件，足以推出本课的五个关系式。
1. Deriving the Big Five
约定这段运动从 \(t=0\) 开始，初位置为 \(x_0\)，初速度为 \(v_0\)，末速度为 \(v\)，位移为 \(\Delta x=x-x_0\)。所有量都描述同一个物体、同一段时间、同一坐标轴。Constant acceleration 匀加速模型要求这段时间内 \(a\) 不变。
由加速度的定义直接得到
\[v=v_0+at.\]
速度随时间线性变化，所以平均速度等于两个端点速度的平均值。把 \(v\)–\(t\) 图的梯形面积写出来：
\[\Delta x=\frac{v_0+v}{2}t.\]
将 \(v=v_0+at\) 代入，就得到
\[\Delta x=v_0t+\frac12at^2.\]
把 \(at=v-v_0\) 与梯形面积式结合，可以消去时间：
\[v^2=v_0^2+2a\Delta x.\]
也可以用 \(v_0=v-at\) 消去初速度：
\[\Delta x=vt-\frac12at^2.\]
这五个式子来自同一个模型，表达的是同一件事。平均速度等于端点平均值，只在速度随时间线性变化时成立；一般变加速运动不能直接这样平均。
2. Solving problems with the Big Five
使用这些关系时，先把运动讲清楚：研究谁、从哪个时刻到哪个时刻、正方向在哪里、加速度是否恒定。然后把 \(\Delta x,v_0,v,a,t\) 放在同一段运动里，看已知什么、要求什么、哪一个量不需要出现，再选关系式。
若物体先加速再刹车，就有两段不同的加速度；前一段的末速度成为后一段的初速度，时间也要重新从该段起点计算。方程中的位移有符号，不能自动替换成路程。由 \(v^2\) 求出的速度大小，还需要结合运动方向确定符号；由位置方程得到两个时间根，可能对应上升和下降时两次经过同一高度，也可能有一个根不属于讨论的时间区间。
最后把结果放回图像和情境：单位是否一致，方向是否合理，\(a=0\) 时是否退回匀速运动。下一课的抛体运动仍然使用这些关系，只是需要同时描述两个方向。