Problem Solving Lesson 从静止液体的压强和浮力出发，逐步连接连续性与伯努利方程。可回顾 Lesson 01：流体。先标几何、方向和模型条件，再代数计算。新数值题取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)、水密度 \(1000\,\mathrm{kg/m^3}\)。选学内容放在最后。
1. 密度与压强各自先认分子分母
密度（density）是被研究物质的质量除以其体积；压强（pressure）是垂直接触力除以受压面积。
\[\rho=\frac mV,\qquad P=\frac{F_\perp}{A}.\]
用杯子装液体称重时，先扣空杯质量。若测量是牛顿单位的重量，先用 \(m=W/g\) 换成质量。\(1\,\mathrm L=10^{-3}\,\mathrm{m^3}\)，\(1\,\mathrm{cm^2}=10^{-4}\,\mathrm{m^2}\)；长度与面积换算的倍率不同。
例题：先去皮，再换单位。 空杯 \(0.12\,\mathrm{kg}\)、装液后 \(0.72\,\mathrm{kg}\)，液体体积 \(0.50\,\mathrm L\)。液体质量 \(0.60\,\mathrm{kg}\)，体积 \(5.0\times10^{-4}\,\mathrm{m^3}\)，所以 \(\rho=1200\,\mathrm{kg/m^3}\)。
两面均受压时，单侧的 \(PA\) 与净压力不同。例题： 平板两面分别 \(110000\) 和 \(100000\,\mathrm{Pa}\)，面积 \(0.0060\,\mathrm{m^2}\)。高压面单独施力 \(660\,\mathrm N\)，净压力却为
\[F_{\mathrm{net}}=(P_{\mathrm{high}}-P_{\mathrm{low}})A=60\,\mathrm N,\]
方向由高压侧推向低压侧。两面的共同大气压不能在净力中只加一次。
2. 静液压从真正的自由液面向下量
静止、均匀液体中，深度 \(h\) 是点到实际自由液面的竖直距离。表压（gauge pressure）与绝对压强（absolute pressure）分别为
\[P_{\mathrm g}=\rho gh,\qquad P_{\mathrm{abs}}=P_{\mathrm{surface}}+\rho gh.\]
开口容器的液面接大气，\(P_{\mathrm{surface}}=P_{\mathrm{atm}}\)。密闭或加压液面则用题目给定的边界压强，不能一律填大气压。
例题：坐标不是深度。 水面高度坐标 \(z_s=1.50\,\mathrm m\)，测点 \(z=0.80\,\mathrm m\)，大气压 \(100000\,\mathrm{Pa}\)。
\[h=z_s-z=0.70\,\mathrm m,\quad P_{\mathrm g}=7000\,\mathrm{Pa},\quad P_{\mathrm{abs}}=107000\,\mathrm{Pa}.\]
同一种静液体、同一自由液面边界压强、同一深度时，容器宽窄和侧壁形状不单独改变该点压强。竖直管的长度、点离槽底的高度，只有经过几何关系才能换成所需的 \(h\)。
3. 浮力用排液体积，方向来自压强差
物体下表面更深，液体向上的压力通常大于上表面向下的压力。对表面正常受液体压力、未密封贴底的物体，合压力形成向上的浮力（buoyant force）：
\[F_b=\rho_{\mathrm{fluid}}gV_{\mathrm{displaced}}.\]
部分浸入时用浸入体积；完全浸没的刚性物体用物体外部排液体积。不能用物体质量替代液体密度，也不能把整个容器的水量当成排液量。
例题：更深不代表浮力更大。 刚性物体体积 \(3.0\times10^{-4}\,\mathrm{m^3}\)，完全浸没在均匀静水中，浮力 \(3.0\,\mathrm N\)。再下移 \(0.40\,\mathrm m\)，两面压强都增加，排液体积不变，浮力仍为 \(3.0\,\mathrm N\)；旋转也不改变这个体积。
上述结论需要液体能正常作用于物体表面。物体密封贴底、下面无液体时，要重新分析实际压力，不能直接照搬“完全浸没”的结论。浮力也不是物体重力的反作用力：地球与流体是不同施力者。
4. 自由静浮时，先让浮力等于重量
均匀物体自由漂浮且静止，没有额外绳力或接触支持时，
\[F_b=mg,\qquad \frac{V_{\mathrm{sub}}}{V_{\mathrm{object}}} =\frac{\rho_{\mathrm{object}}}{\rho_{\mathrm{fluid}}}.\]
例题：换液体后浸入比例改变。 物体密度 \(750\,\mathrm{kg/m^3}\)，在水中浸入比例 \(3/4\)；改放密度 \(900\,\mathrm{kg/m^3}\) 的液体，自由静浮比例 \(5/6\)，浸得更深。两次浮力都等于同一物体重量，没有因为液体密度较小就变成较小的平衡浮力。
若推导比例超过一，说明该物体在这个模型中不能仅靠部分浸入自由静浮，需要检查完全浸没后的运动或另有支持。密度小于液体的物体完全浸没并绑住时，也不能套自由静浮条件。
5. 绳、压簧和浮力先画方向再平衡
顶部绳向上拉、底部绳向下拉、底部压缩弹簧向上推。位置在下面并不自动表示力向下。
例题：顶部绳。 物体重 \(9\,\mathrm N\)、浮力 \(4\,\mathrm N\)，静止时 \(T+F_b=W\)，所以 \(T=5\,\mathrm N\)。换成下表面仍正常接触水的底部压簧，它也需向上支持 \(5\,\mathrm N\)。若 \(k=100\,\mathrm{N/m}\)，压缩量 \(x=F_s/k=0.050\,\mathrm m\)。
例题：底部绳。 物体重 \(6\,\mathrm N\)、浮力 \(10\,\mathrm N\)，绳向下拉，\(F_b=W+T_d\)，所以 \(T_d=4\,\mathrm N\)。同一完全浸没体积下，\(\rho_{\mathrm{object}}/\rho_{\mathrm{fluid}}=W/F_b=0.60\)。
遇到图中总长度、平衡长度与形变量，先读文字定义。弹簧力用相对自然长度的压缩或伸长；不能因为原图某个标签画在物体内部，就擅自把文字指定的压缩量改为物体高度。
6. 连续性先守恒质量流率
稳定流动的质量流率（mass flow rate）为 \(\dot m=\rho Av\)。没有积累和支路损失的串联管段满足
\[\rho_1A_1v_1=\rho_2A_2v_2.\]
同密度、近似不可压缩时才能约为体积流量（volume flow rate）相等：
\[Q=A_1v_1=A_2v_2.\]
例题：宽管更慢。 水流在面积 \(0.010\,\mathrm{m^2}\) 处速率 \(3.0\,\mathrm{m/s}\)，\(Q=0.030\,\mathrm{m^3/s}=30\,\mathrm{L/s}\)。进入面积 \(0.030\,\mathrm{m^2}\) 的管段，速率变为 \(1.0\,\mathrm{m/s}\)。每秒经过各截面的同密度液体体积相同，不是两处速率相同。
气体若题目明确近似恒密度，可以同样用 \(Av\)；若密度变化，回到 \(\rho Av\)，不要仅凭“气体”或“液体”名称省略已给的密度变化。
7. 圆管倍率和液位条件各自读清
圆管面积 \(A=\pi r^2=\pi D^2/4\)。直径或半径三倍意味着面积九倍；若题直接说面积三倍，直接用三倍。
例题： 窄管直径 \(2\,\mathrm{cm}\)、宽管 \(6\,\mathrm{cm}\)，窄处速率 \(9\,\mathrm{m/s}\)，宽处速率 \(1\,\mathrm{m/s}\)。
液位保持不变，意味着储水箱没有体积积累，所以 \(Q_{\mathrm{in}}=Q_{\mathrm{out}}\)。例题： 入水 \(4.0\,\mathrm{L/s}\)，单一出水口面积 \(0.0020\,\mathrm{m^2}\)，出流水速为 \(0.0040/0.0020=2.0\,\mathrm{m/s}\)。这里的面积是出水口截面，不能换成箱体水平面积。
8. 伯努利比较同时保留速率和高度
沿适用的同一流线，对稳定、不可压缩、黏性损失可忽略且两点间无泵输入的理想流动，伯努利方程（Bernoulli equation）为
\[P+\frac12\rho v^2+\rho gz=\text{constant}.\]
两点静压比较可写为
\[P_2-P_1=\frac12\rho(v_1^2-v_2^2)+\rho g(z_1-z_2).\]
例题：同高。 水流两点速率 \(2.0\) 和 \(4.0\,\mathrm{m/s}\)，同高时 \(P_1-P_2=6000\,\mathrm{Pa}\)，较慢处静压较高。
例题：高低也变。 点1绝对压 \(130000\,\mathrm{Pa}\)、\(z_1=0\)、\(v_1=3.0\,\mathrm{m/s}\)；点2高 \(2.0\,\mathrm m\)、速率 \(1.0\,\mathrm{m/s}\)。速率降低使压强项增加 \(4000\,\mathrm{Pa}\)，上升使其减少 \(20000\,\mathrm{Pa}\)，所以 \(P_2=114000\,\mathrm{Pa}\)。
“流得快、压强低”需要这里的同高和适用流动条件。若算出负绝对压强，先检查边界、单位与模型；普通敞口水流可能已经空化或模型失效，不能把形式计算自动当可实现的实验。表压为负与绝对压为负也不是同一件事。
9. 孔口速率用液面到孔口的水头
敞口大水箱、小孔、液面速率可忽略，液面与孔口均接同一大气，在理想流动近似下：
\[v_{\mathrm{out}}\simeq\sqrt{2gh},\qquad h=z_{\mathrm{surface}}-z_{\mathrm{outlet}}.\]
共同大气压在伯努利两端相消，并不表示两端没有压强。
例题： 水头 \(0.80\,\mathrm m\)，出流速率约 \(4.0\,\mathrm{m/s}\)。槽底单独降低、液面和孔口位置不变，水头不变，出流速率也不变。孔更深只有在相对于同一液面更深时才表示水头较大。
10. 用较高静压的推动解释流体作用
局部低压与邻近高压共同造成净推动。描述薄片或液体移动时，写出哪侧压强较高、哪侧压力较大、净力朝哪侧，避免只写“被吸过去”。
例题：空气两侧。 明确采用同高理想稳定、近似恒密度模型，空气密度 \(1.2\,\mathrm{kg/m^3}\)，两侧速率 \(20\) 和 \(5\,\mathrm{m/s}\)。慢侧静压高出
\[\Delta P=\frac12(1.2)(20^2-5^2)=225\,\mathrm{Pa},\]
所以慢侧的较高压流体把薄片推向快侧。复杂真实流场、分离流或泵输入不能只凭一个速率直接套这套比较，需要相应的流线和边界条件。
11. 核心练习：先写方向或起始式
下面练习用于自查方法；先独立写出关键式，再展开答案。
练习1：静水深度。 使用第2节数据，写出真实深度、表压和绝对压。
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\(h=0.70\,\mathrm m\)，表压 \(7000\,\mathrm{Pa}\)，绝对压 \(107000\,\mathrm{Pa}\)。深度是液面减测点高度。
练习2：换液体。 密度 \(750\,\mathrm{kg/m^3}\) 的物体从水中改到密度 \(900\,\mathrm{kg/m^3}\) 的液体，始终自由静浮。分别求浸入比例，比较浮力。
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比例从 \(3/4\) 变为 \(5/6\)；两次浮力都等于物体重量。额外绳力存在时需重新平衡。
练习3：底部系绳。 重量 \(6\,\mathrm N\)、浮力 \(10\,\mathrm N\)，物体完全浸没静止。求底绳张力。
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绳向下：\(10=6+T_d\)，所以 \(T_d=4\,\mathrm N\)。不是把绳和浮力一起向上相加。
练习4：圆管。 同流量下，窄管直径 \(2\,\mathrm{cm}\)、宽管 \(6\,\mathrm{cm}\)，窄管速率 \(9\,\mathrm{m/s}\)。宽管速率多少？
展开练习4答案
面积比 \(9\)，速率反比，因此宽管 \(1\,\mathrm{m/s}\)。若给的是面积比则不再平方。
练习5：完整伯努利式。 用第8节高低两点的数据求 \(P_2\)，分别指出两个变化项。
展开练习5答案
\(P_2=130000+4000-20000=114000\,\mathrm{Pa}\)。速率降低的正贡献不能取代高度升高的负贡献。
练习6：出流模型。 水头 \(0.80\,\mathrm m\) 的大水箱小孔出流，若槽底下移但液面和孔口都不动，出流速率是否改变？
展开练习6答案
水头不变，理想速率仍约 \(4.0\,\mathrm{m/s}\)。起始式只使用液面到孔口的高度差。
12. 选学：称重反求密度与分层静液压
练习7：浸水称重。 空气中重量 \(8\,\mathrm N\)，完全浸没静水后顶部绳张力 \(5\,\mathrm N\)，表面全部正常受水压。求体积与密度。
展开练习7答案
浮力 \(3\,\mathrm N\)，体积 \(V=3/(1000\times10)=3.0\times10^{-4}\,\mathrm{m^3}\)；质量 \(0.80\,\mathrm{kg}\)，密度约 \(2667\,\mathrm{kg/m^3}\)。牛顿读数先除以 \(g\)。
练习8：两层液体。 上层密度 \(800\,\mathrm{kg/m^3}\)、厚 \(0.25\,\mathrm m\)，下层水厚 \(0.15\,\mathrm m\)，敞口液面接 \(100000\,\mathrm{Pa}\) 大气。求底部两种压强。
展开练习8答案
各层使用自己的密度与厚度，\(P_{\mathrm g}=\rho_1gh_1+\rho_2gh_2=3500\,\mathrm{Pa}\)。绝对压强为 \(P_{\mathrm{abs}}=103500\,\mathrm{Pa}\)。
理想静止、平坦界面的压强连续，斜率 \(\rho g\) 可改变。不能把全部深度乘同一种密度。
13. 选学：初加速度与缓慢浸入的支持力图
练习9：释放初时刻。 密度 \(800\,\mathrm{kg/m^3}\) 的刚性物体已经完全浸没于静水，刚从静止释放。仅研究初相对速率为零、瞬时阻力可忽略的时刻。
展开练习9答案
向上为正，\(ma=F_b-W\)，因此 \(a=\left(\frac{\rho_{\mathrm{fluid}}}{\rho_{\mathrm{object}}}-1\right)g\)，得到 \(2.5\,\mathrm{m/s^2}\)，方向向上。
后来相对流速、阻力或出水改变条件，不能据此断言全程恒加速度。有限大小物体的入水过程也不等于已完全浸没模型。
练习10：支持力图。 重量 \(12\,\mathrm N\)、截面积 \(0.0030\,\mathrm{m^2}\)、高 \(0.30\,\mathrm m\) 的柱体缓慢浸入静水，顶部支持、未密封贴底。求 \(S(d)\) 与完全浸没后的平台值。
展开练习10答案
部分浸入阶段 \(S=12-\rho gAd=12-30d\,\mathrm N\)。\(d=0.20\,\mathrm m\) 时 \(S=6\,\mathrm N\)；完全浸没后 \(S=3\,\mathrm N\)。初截距反映重量，下降斜率反映 \(-\rho gA\)；平台来自固定排液体积，不是加速度为零的图像定义。
14. 选学：分支、出流射程与接触模型
练习11：对称分支。 总流量 \(6.0\,\mathrm{L/s}\) 进入两个相同、边界条件对称的支路，题已给等分，每支截面 \(2.0\,\mathrm{cm^2}\)。求各支速率。
展开练习11答案
各支 \(Q=3.0\,\mathrm{L/s}=0.0030\,\mathrm{m^3/s}\)，截面 \(2.0\times10^{-4}\,\mathrm{m^2}\)，所以 \(v=15\,\mathrm{m/s}\)。分支总流量相加；相同管径本身不保证等分，边界条件也要对称。
孔口速率与出孔后的飞行时间用两个高度：液面到孔口的水头 \(h\) 决定速率，孔口到地面的落差 \(y\) 决定时间。
\[v\simeq\sqrt{2gh},\qquad t=\sqrt{2y/g},\qquad x=vt=2\sqrt{hy}.\]
练习12：射程。 液面距地 \(2.0\,\mathrm m\)，孔口距地 \(1.0\,\mathrm m\)、水平出流，地面平坦。求射程；孔口移至 \(0.50\,\mathrm m\) 后如何？
展开练习12答案
原先 \(h=y=1.0\,\mathrm m\)，速率 \(\sqrt{20}\,\mathrm{m/s}\)，时间 \(\sqrt{0.2}\,\mathrm s\)，射程 \(2.0\,\mathrm m\)。移低后 \(h=1.50\,\mathrm m\)、\(y=0.50\,\mathrm m\)，射程 \(\sqrt3\approx1.732\,\mathrm m\)。出流更快、飞行更短，不能只比较速率判断射程。
练习13：宏观与微观。 浮力、重力与题目指定的简化电磁接触模型，各在解释哪一层？
展开练习13答案
宏观浮力是流体压力在物体表面的合力，用静压梯度与排液体积计算；重力由地球施加，其反作用是物体对地球的引力。流体微观接触可在原题指定的简化模型下用电磁相互作用表述，但这不替代宏观压强方程，也不等于完整量子推导。浮力的反作用是物体对流体的接触作用。