Superposition of Waves · AP Physics 2

叠加是逐点相加，干涉则强调相位差怎样组织持续的增强与削弱。先从两列波出发，再把同一逻辑应用于双缝、薄膜、光栅、单缝和驻波。

1. Constructive and destructive interference

Constructive interference 相长干涉使振幅增强，destructive interference 相消干涉使振幅减小。相位差由传播路程差和源或反射原有相位差共同决定。

对于同相、同波长的相干源，

$\begin{gathered} \Delta r=m\lambda\quad\text{(constructive)}, \\ \Delta r=\left(m+\frac12\right)\lambda\quad\text{(destructive)}. \end{gathered}$

相消到零还需要两个振幅相等。强度与合振幅平方有关，相干同相叠加的两束等强光可达到单束强度的四倍；其他位置的削弱使总能量收支仍然守恒。接下来用双缝把路程差变为可测位置。

两窄缝间距为 $$d$$ ，在远处角度 $\theta$ 处的路程差近似 $d\sin\theta$ 。同相相干照明的亮纹满足

$d\sin\theta=m\lambda.$

屏离缝 $$L$$ ，小角度时 $y_m\approx m\lambda L/d$ ，相邻亮纹间距 $\Delta y\approx\lambda L/d$ 。波长更长、屏更远，条纹更疏；缝距更大，条纹更密。

缝距 $$d$$ 、缝宽、屏距 $$L$$ 和亮纹位置 $$y$$ 是不同量。对称的第 $$m$$ 级亮纹之间距离为 $$2|y_m|$$ ，不是相邻条纹间距。有限缝宽还会形成衍射包络。相位差也可以来自在介质内部往返的光。

薄膜上下表面反射的两束光相遇，一束在膜内多走一段路。近似正入射时，额外光程为 $$2n_ft$$ ， $$n_f$$ 为膜折射率、 $$t$$ 为厚度，比较时使用真空波长 $\lambda_0$ 。

反射还可能带相位变化：从低折射率射向高折射率界面，反射电场有 $\pi$ 相位改变；从高到低通常没有。若两束反射光恰有一次这样的相位反转，反射相长满足

$2n_ft=\left(m+\frac12\right)\lambda_0,$

反射相消满足 $2n_ft=m\lambda_0$ 。若有零次或两次相位反转，两个条件对调；斜入射还需加入膜内方向余弦。

肥皂膜颜色来自不同波长的条件不同。减反膜常用约四分之一光学波长厚度，但还需要合适折射率才能让两反射振幅接近、实现有效相消。多条周期性缝又怎样改变图样？

Diffraction grating 衍射光栅含许多等间距缝。主要亮纹仍满足

$d\sin\theta_m=m\lambda.$

多缝共同叠加使主亮纹更尖锐，因而更便于分辨不同波长。若每单位长度有 $$N_L$$ 条缝，间距 $$d=1/N_L$$ ；先统一长度单位。

$|\sin\theta|\le1$ 限制可存在的级次。白光零级通常重合，非零级按波长展开，较长波长偏转更大。这里 $$d$$ 是缝间距，下一部分的单缝则由一个缝自身的宽度控制。

宽度为 $$a$$ 的单缝内，各位置产生的波在远处叠加。某些方向可将缝内贡献配对抵消，暗纹满足

$\begin{gathered} a\sin\theta_m=m\lambda, \\ m=\pm1,\pm2,\ldots. \end{gathered}$

中央是最宽、通常最亮的主极大，第一暗纹之间的角宽约 $2\lambda/a$ ；小角度屏上中央宽度约 $2\lambda L/a$ 。缝越窄，图样越宽。

这条关系给暗纹，与双缝主亮纹关系不能混用； $$m=0$$ 不是暗纹。双缝有限宽度的衍射包络和干涉条纹可以同时存在。接下来不看屏上明暗，而看反向波在介质上怎样形成固定图样。

同频、同振幅、反向传播的波叠加，形成 standing wave 驻波。Node 波节始终位移为零，antinode 波腹振幅最大；相邻波节间距为 $\lambda/2$ ，波节到相邻波腹为 $\lambda/4$ 。

两端固定的绳长 $$L$$ 必须容纳整数个半波长：

$\begin{gathered} \lambda_n=\frac{2L}{n}, \\ f_n=\frac{nv}{2L}, \\ n=1,2,3,\ldots. \end{gathered}$

两端开口的空气柱，位移边界近似同类，也有整数谐波；一端封闭、一端开放时，一端位移节、另一端位移腹， $$f_n=nv/(4L)$$ ，其中 $n=1,3,5,\ldots$ 。压力节与位移腹对应，不能把压力和位移的边界画成相同。

驱动频率接近允许模态时可出现共振。理想驻波没有单一方向的平均净能量流，局部能量仍在变化。若频率只是接近而非完全相同，则出现下一种时间上的强弱变化。

频率相近的两列波叠加，相位差缓慢变化，造成振幅与响度的周期起伏，称为 beats 拍。拍频为

$f_{\mathrm{beat}}=|f_1-f_2|.$

听到的快速振动频率接近两者平均值，慢起伏由差值决定。图上一次“强到强”的间隔是拍周期，不能把带正负号的包络函数整个周期误当作同一个拍周期。

调音时减小拍频表示两音更接近，但仅凭拍频不能知道待调音偏高还是偏低。波动模型解释了干涉、衍射与偏振；下一单元用新的实验看看光和物质为什么还需要粒子与量子语言。