Problem Solving Lesson 将电阻、电路和电容接成“找通路—标节点—写当前方程”的过程。可先回顾 Lesson 01：电路基础、Lesson 02：直流电路 和 Lesson 03：电容。未另行说明时使用理想导线、理想电源和题给恒定电阻。
1. 电阻先辨电流路径和工作点
均匀电阻体有 \(R=\rho L/A\)。\(L\) 沿电流路径，\(A\) 垂直电流；卷成线圈的圈半径决定路径长度，电阻丝半径决定截面，两者不能互换。
例题：改变尺寸。 材料和温度不变，圆电阻丝长度变为三倍，半径变为二倍。截面变为四倍，所以 \(R'/R=3/4\)，不是 \(3/2\)。
工作点电阻 \(R=V/I\) 必须使用同一元件的端压与电流。某元件端压 \(12\,\mathrm V\)、电流 \(20\,\mathrm{mA}=0.020\,\mathrm A\)，当前 \(R=600\,\Omega\)。单个点可以给这个比值，却不能单独证明整个范围内都具有恒定电阻。
2. 串并联由节点决定，先求总流再求支流
理想导线直接连通的点归为同一节点。同一对节点之间的支路同电压；无分支的一条路径才同电流。纸面位置、导线拐角和电阻画在上下，不决定串并联。
例题：共用电阻加并联。 理想 \(9\,\mathrm V\) 源接共用 \(3\,\Omega\)，再接 \(2\,\Omega\) 与 \(6\,\Omega\) 并联。
\[R_{\parallel}=\left(\frac12+\frac16\right)^{-1}=1.5\,\Omega, \qquad R_{\mathrm{total}}=4.5\,\Omega, \qquad I_{\mathrm{total}}=2\,\mathrm A.\]
共用电阻势降六伏，并联端压三伏。两支流为 \(3/2=1.5\,\mathrm A\) 与 \(3/6=0.50\,\mathrm A\)，相加等于总流两安培。不能把某一支流贯穿所有电阻，也不能让每只电阻都直接使用电源总压。
节点电流守恒只统计真正接到该节点的支路。若一个三支路节点有 \(1.4\,\mathrm A\) 流入、\(0.30\,\mathrm A\) 流出，第三支路必须为 \(1.1\,\mathrm A\) 流出；上游另处分开的支流不再重复加入。
3. 回路势降和功率都针对目标端点
沿闭合回路，所有电势变化相加为零。跨电源负到正记势升；沿电阻实际电流记势降。两个并联支路并不同时串在同一条遍历路径上。
例题：串联分压。 \(2R\) 与 \(3R\) 串联接理想十伏源，\(R>0\)。同电流给端压比 \(2:3\)，因此分别为四伏、六伏。总压正确，只能说明和正确，不能证明两个个别端压正确。
目标电阻功率使用自己的 \(V,I,R\)：\(P=VI=I^2R=V^2/R\)。例如 \(R=8\,\Omega\)、功率 \(72\,\mathrm W\)，电流大小 \(I=\sqrt{P/R}=3\,\mathrm A\)。
比较功率之前先写固定量。恒定 \(R\)、电流减半，功率变为四分之一；固定 \(V\) 比较不同电阻时，功率则与 \(R\) 反比。实际灯泡还需检查电阻与发光效率是否可采用同一模型。
4. 电容几何与状态分开，先确定 Q 还是 V 固定
理想大平行板电容 \(C=\kappa\varepsilon_0A/d\)。材料与几何决定 \(C\)；工作点有 \(Q=CV\)，\(Q\) 是一块板的电荷大小，不把两块板的绝对值相加成 \(2Q\)。
储能可写
\[U=\frac12CV^2=\frac{Q^2}{2C}.\]
例题：完整插入绝缘介质。 初 \(C=4\,\mu\mathrm F\)、\(V=6\,\mathrm V\)，初一板电荷大小 \(24\,\mu\mathrm C\)、储能 \(72\,\mu\mathrm J\)。完整填充 \(\kappa=3\) 的绝缘介质，几何不变，无漏电。
始终直接跨理想六伏源时，末 \(C=12\,\mu\mathrm F\)、\(Q=72\,\mu\mathrm C\)、\(V=6\,\mathrm V\)、\(U=216\,\mu\mathrm J\)。
先断开并隔离后再填充时，末 \(C=12\,\mu\mathrm F\)、\(Q=24\,\mu\mathrm C\)、\(V=2\,\mathrm V\)、\(U=24\,\mu\mathrm J\)。
同一个几何动作，在不同控制条件下可使储能增或减。介质极化不等于给孤立极板提供自由净电荷；接源版本也有源与机械装置的能量交换，不能强制电场能单独守恒。
5. 重新连通守恒节点总量，不固定每只原电荷
例题：两电容并联再平衡。 \(C_1=6\,\mu\mathrm F\)、初 \(V_1=4\,\mathrm V\)；\(C_2=2\,\mu\mathrm F\)、初未充电。将对应极板经有限电阻接成并联，整体与外界绝缘、无漏电，等到平衡。
初连通正节点总电荷为 \(24\,\mu\mathrm C\)，末同电势：
\[V_f=\frac{24\,\mu\mathrm C}{(6+2)\,\mu\mathrm F}=3\,\mathrm V, \qquad Q_{1f}=18\,\mu\mathrm C,\qquad Q_{2f}=6\,\mu\mathrm C.\]
初电場储能为 \(48\,\mu\mathrm J\)，末为 \(36\,\mu\mathrm J\)；按有限电阻耗散模型，减少的 \(12\,\mu\mathrm J\) 转为热。电荷守恒不表示电场能守恒。若反极性相连，守恒量要先带符号；无耗散理想导线瞬接也不能直接保证这一平衡过程。
6. 初态与长期直流画两张等效图
电容电压连续，初未充电时 \(V_C=0\)；预充电初态则需保留原电压。长期直流时电容支路电流为零，但它的电压可以非零，其他闭合支路仍可持续导电。
例题：简单 RC 充电。 理想八伏源串联 \(R=4\,\mathrm{k\Omega}\) 与 \(C=50\,\mu\mathrm F\)，初未充电。
时间尺度 \(\tau=RC=0.20\,\mathrm s\)。初 \(I=8/4000=2\,\mathrm{mA}\)、\(V_C=0\)；长期 \(I=0\)、\(V_C=8\,\mathrm V\)。电容电压上升，电阻电压下降，不是同一条曲线。
7. 单一 RC 模式先找电容看见的电阻
单一充电模式有
\[I(t)=I_0e^{-t/\tau},\qquad V_C(t)=V_\infty+(V_{C0}-V_\infty)e^{-t/\tau}.\]
对于上例，\(t=\tau\) 时，\(I=2/e\,\mathrm{mA}\)，\(V_C=8(1-e^{-1})\approx5.06\,\mathrm V\)。一个时间常数不是“已经充满”；若初压不为零，必须使用实际初值。
更复杂但确为单一模式的网络，独立理想电压源置零为短路后，从电容端口求 \(R_{\mathrm{seen}}\)，再用 \(\tau=R_{\mathrm{seen}}C_{\mathrm{eq}}\)。例如串联 \(2R+3R\)、末端并联 \(C+2C\)，得到 \(\tau=15RC\)。多个独立储能状态的网络不一定只有一个时间常数。
8. 自主练习先重画当前状态
练习 1：支路功率。 理想八伏源接共用 \(2\,\Omega\)，再接两只 \(4\,\Omega\) 并联。求总流、每支流和一只四欧电阻的功率。
展开练习 1 解析
并联等效两欧，总电阻四欧，总流两安培。并联端压四伏，每支一安培，目标功率四瓦。它没有直接跨八伏源，不能用 \(8^2/4\)。
练习 2：隔离电容拉开极板。 理想大平行板电容断开并隔离，无漏电，材料、重叠面积固定，板距加倍。比较 \(C,Q,V,U\)。
展开练习 2 解析
\(C\) 减半，\(Q\) 不变，\(V=Q/C\) 加倍，\(U=Q^2/(2C)\) 加倍。先检查电荷通路；储能增加由分开极板所需机械功提供。
练习 3：总量重新分配。 两只相同电容各为 \(C\)，甲初电压为 \(V_0\)、乙初未充电。对应极板经有限电阻并联，整体孤立，无漏电。求末共同电压与末/初电场能比。
展开练习 3 解析
初节点总量 \(CV_0\)，末总电容 \(2C\)，所以末压 \(V_0/2\)。末能 \(\tfrac12(2C)(V_0/2)^2=CV_0^2/4\)，为初能 \(CV_0^2/2\) 的一半，另一半按该耗散模型转成热。
练习 4：初压不能忽略。 一只电容初压为三伏，随后经电阻接到理想九伏源，极性相同，单一 RC 模式，\(\tau=0.50\,\mathrm s\)。求初、末电压及 \(t=\tau\) 时电压。
展开练习 4 解析
\(V_C(t)=9+(3-9)e^{-t/0.50}\)。初三伏，末九伏，一个时间常数后 \(9-6/e\approx6.79\,\mathrm V\)。不能从零起画这次充电曲线。
做 workbook 时，为所求元件标出两端节点，给电流和电压加下标；电容题先画电荷通路和初终两种状态，再决定哪些量固定或守恒。
9. 选学真实电源、图线与实验
正向放电电池电动势 \(\varepsilon\)、内阻 \(r\)，外接 \(R\)，\(I=\varepsilon/(R+r)\)、\(V_{\mathrm{terminal}}=\varepsilon-Ir\)。若 \(\varepsilon=6\,\mathrm V\)、\(r=0.50\,\Omega\)、\(R=2.5\,\Omega\)，电流两安培，端压五伏；开路电流为零时端压才等于电动势。
拟合图纵轴 \(I\)、横轴端压 \(V\)，若 \(I=4\,\mathrm A-(0.80\,\mathrm{A/V})V\)，斜率为 \(-1/r\)，得 \(r=1.25\,\Omega\)、\(\varepsilon=5\,\mathrm V\)。交换成纵 \(V\) 横 \(I\) 后，斜率为 \(-r\)；先看实际坐标，不能仅记“斜率是电阻”。
验证同一元件的欧姆性时，电压表跨目标两端、电流表串联于目标支路；保持元件及温度条件，改变工作点并比较多组 \(V,I\)。两点相同比值只能支持所考范围，不能证明所有电压和温度下都恒定。
电阻率实验中 \(R\) 对 \(L/A\) 的斜率为 \(\rho\)。若测量式根本不含所求参数，重复更多同类读数也不能确定它；两条等价约束不提供两个独立未知量的信息。