U10-11 PSL

Problem Solving Lesson 从电路的实际连接开始，把节点、回路、元件关系和初末状态接起来。阅读前可回顾 Lesson 01：电路基础、Lesson 02：直流电路 和 Lesson 03：电容器。下面使用理想导线、理想开关及题中指定的线性元件；另有内阻时明确写出。

1. 先标节点，再标时间

同一根理想导线连通的点等势，可画成一个节点。并联看共同的两个节点，串联看中间是否没有分支。 图上画成上下排列，不决定串并联。

带开关与电容的题还要先注明“切换前”“刚切换后”或“很久后”。电容的初始电压与稳态电压一般不同；同一电路不能在这些时刻沿用同一个代换。

起始方程通常来自三处：节点电流守恒 Kirchhoff's junction rule，回路电势变化和为零 Kirchhoff's loop rule，以及元件关系 \(V_R=IR\)、\(Q=CV_C\)。电阻或电容等效完成后，再算所问支路量；电池总电流不总是该支路电流。

2. 先化简网络，再回到每个支路

例题：给两支路供电的串联电阻。 理想 \(12\,\mathrm V\) 电池先接 \(2\,\Omega\)，随后分成 \(6\,\Omega\) 与 \(3\,\Omega\) 并联，再返回电池。求总电流与两支流。

并联部分为 \(R_p=(1/6+1/3)^{-1}=2\,\Omega\)，总阻 \(4\,\Omega\)，总电流 \(3\,\mathrm A\)。前一电阻掉压 \(3\times2=6\,\mathrm V\)，所以两并联支路各有 \(6\,\mathrm V\)。电流分别 \(1\,\mathrm A\) 与 \(2\,\mathrm A\)，相加回到总流 \(3\,\mathrm A\)。

不能把 \(12\,\mathrm V\) 直接给每一并联负载；它们共同的是分支两节点电压。理想导线若跨过某负载的两端，该负载会被旁路而端压零，重画节点比按外观列等效更可靠。

3. 电动势、内阻与端电压各是什么

电动势 emf \(\mathcal E\) 描述电源内部每单位电荷得到的能量，不必等于负载端压。电池放电时，电流通过内阻，端压为 \(V_T=\mathcal E-Ir\)。

例题：有内阻的电池。 \(\mathcal E=12\,\mathrm V\)、\(r=1\,\Omega\)，外接 \(5\,\Omega\)。全回路电流 \(I=12/(5+1)=2\,\mathrm A\)；端压 \(V_T=10\,\mathrm V\)，也等于外负载的 \(I R\)。

电源化学能输出率 \(\mathcal E I=24\,\mathrm W\)，内阻热功率 \(I^2r=4\,\mathrm W\)，外负载功率 \(20\,\mathrm W\)。三者的能量账相符。

充电时若电流从电池正端流入，端压通常为 \(\mathcal E+Ir\)。先画所选电流方向与电源极性，再决定符号。若只给理想同向并联电池、忽略内阻，通常能确定共同电压和总电流，不能无条件推出每颗电池支流均分。

4. 回路符号：按走向记录每次电势改变

沿所选电流走过电阻，电势改变量 \(-IR\)；逆电流走则 \(+IR\)。穿过理想电源从负到正为 \(+\mathcal E\)，从正到负为 \(-\mathcal E\)。这些规则决定式子，不由纸面左右方向决定。

例题：两个反向电源。 一个闭合串联回路含理想 \(12\,\mathrm V\) 与反向 \(4\,\mathrm V\) 电源、总阻 \(4\,\Omega\)。沿12 V电源驱动方向假设电流，写

\[+12-4-4I=0,\qquad I=2\,\mathrm A.\]

12 V源供能 \(24\,\mathrm W\)，4 V源吸能 \(8\,\mathrm W\)，电阻发热 \(16\,\mathrm W\)。若解出负电流，改的是实际方向，原假设与方程不必推倒重写。回到指定两点求电势差时，选择一条路径逐项相加即可。

5. 理想电表：先判断它会不会改变连接

理想电流表电阻为零，读取自己所在支路电流。理想电压表电阻无限大，不承载电流，跨两点读电势差。把电压表所在支路误当导线，会改变整个网络；把电流表跨在负载两端，可能把负载旁路。

例题：从支路电流辨认读数。 第2节电路中，电流表串在 \(6\,\Omega\) 支路读 \(1\,\mathrm A\)；若改串在电池旁的无分支通路，读 \(3\,\mathrm A\)。跨并联负载的电压表读 \(6\,\mathrm V\)，不是12 V。

非理想表头题须把给定表头电阻算入网络。扩电流量程时，分流电阻并联；扩电压量程时，限流电阻串联。选择来自电流分配或电压分配的目的。

6. 电阻几何：截面垂直于电流

均匀欧姆材料 \(R=\rho\ell/A\)。圆柱直径 \(d\) 给 \(A=\pi d^2/4\)；电流如果沿薄片长度流，截面是宽度乘厚度，不是整片表面积。

例题：把同一金属丝拉长。 材料电阻率与体积不变，长度变为原来两倍。面积因 \(A\ell\) 守恒变为一半，所以 \(R'/R=2/(1/2)=4\)。只看长度，会漏掉截面改变。

若横轴为 \(I\)、纵轴为 \(V\)，直线斜率给电阻；横纵交换后斜率给其倒数。非欧姆曲线的局部斜率与某点的 \(V/I\) 不是同一量，应按问题的定义作答。

7. 功率比较：先锁定哪个量保持不变

功率可写 \(P=IV=I^2R=V^2/R\)，但最后两式在比较时使用的固定量不同。

例题：相同两个电阻换接法。 \(4\,\Omega\) 与 \(8\,\Omega\) 串接理想12 V电池，电流 \(1\,\mathrm A\)，各耗散 \(4\,\mathrm W\) 与 \(8\,\mathrm W\)。改成并联接12 V，各端压相同，功率为 \(36\,\mathrm W\) 与 \(18\,\mathrm W\)。

同电流时大R功率较大；同端压时小R功率较大。额定功率只有在规定工作端压及元件模型下才对应实际功率，不能凭铭牌直接忽略电路。问耗能时，还需对功率在所问时间积分。

8. 电容器：先给Q与V指定同一对极板

线性电容满足 \(Q=CV_C\)。这里 \(Q\) 常指正极板自由电荷大小，另一板为 \(-Q\)；若用某一板的有符号量，端电压参考也必须与该板一致。

例题：接电池后的电容器。 \(4.0\,\mu\mathrm F\) 电容器接理想 \(10\,\mathrm V\) 电池并已达稳态，正板 \(Q=40\,\mu\mathrm C\)，储能

\[U_C=\frac12CV_C^2=200\,\mu\mathrm J.\]

容量 \(C\) 描述给定几何与材料下的电荷—电压比例，不是当前电荷本身。全填充平行板近似中 \(C=\kappa\epsilon_0 A/d\)，忽略边缘效应。部分插入、分层介质或导体片要按实际几何重建模型，不能自动当全填充。

9. 电容网络：串联同电荷需要中间节点条件

例题：最初中性的串联电容。 \(3.0\,\mu\mathrm F\) 与 \(6.0\,\mu\mathrm F\) 串接12 V源，浮置中间导体初始净量为零。两容量等效 \(2.0\,\mu\mathrm F\)，各电荷大小 \(24\,\mu\mathrm C\)，端压分别 \(8\,\mathrm V\) 与 \(4\,\mathrm V\)。

同电荷来自浮置中间节点净电荷守恒；较小容量承担较大端压。若该节点初始带有净电荷，就不能无条件套“串联电荷相同”。

改并联接同一12 V源，两者同端压，各电荷 \(36\,\mu\mathrm C\)、\(72\,\mu\mathrm C\)，总量 \(108\,\mu\mathrm C\)、等效 \(9.0\,\mu\mathrm F\)。重新连接预充电电容时，先对每个孤立节点守恒带符号净量，不把每块板的电荷大小全部正着相加。

10. 介质变化：先选择固定Q还是固定V

第8节电容器已稳态。在几何不变的全填充、线性介质模型下，插入 \(\kappa=3\) 的介质，容量变为 \(12\,\mu\mathrm F\)。但后续量由是否保持接电池决定。

孤立状态用 \(U=Q^2/(2C)\)，恒压状态用 \(U=CV^2/2\)。自由电荷和介质束缚电荷是不同账。恒压插入时电池还交换能量，不能只看电场储能就宣布能量不守恒。

11. 外力功：电池是否交换能量也要入账

例题：缓慢增大极板间距。 仍用第8节初始电容，理想平行板间距由 \(d\) 到 \(2d\)，面积不变，忽略边缘效应；外装置缓慢移动，初末静止且无其他耗散。

先断电池、自由电荷保持时，容量减半，场储能由 \(200\) 增至 \(400\,\mu\mathrm J\)，所以外力功 \(+200\,\mu\mathrm J\)。

若保持接10 V源，容量减半，电荷从40到 \(20\,\mu\mathrm C\)，场储能降至 \(100\,\mu\mathrm J\)。电源对电容系统的功为 \(W_{\rm source}=V\Delta Q=-200\,\mu\mathrm J\)，于是

\[\Delta U_C=W_{\rm ext}+W_{\rm source},\qquad W_{\rm ext}=+100\,\mu\mathrm J.\]

电池吸收 \(200\,\mu\mathrm J\)，其中100来自场能下降，100来自外装置。两种情况都不是“端压不变所以外力不做功”。若极板有净动能改变或额外耗散，须扩充这条账。

12. RC暂态：先画刚切换后与最终电路

对有限电流的理想电容，端压连续：\(V_C(0^+)=V_C(0^-)\)。未充电电容在接通瞬间可视为零端压；已达直流稳态时，电容支路电流零。这个规则与下一单元的电感电流连续不同。

例题：给电容充电再放电。 未充电的 \(5.0\,\mu\mathrm F\) 经 \(200\,\mathrm{k\Omega}\) 接理想12 V源。简单串联充电回路有 \(\tau=RC=1.0\,\mathrm s\)，

\[V_C=12(1-e^{-t/\tau}),\qquad i=60\,\mu\mathrm A\,e^{-t/\tau}.\]

初始 \(V_C=0\)、电流 \(60\,\mu\mathrm A\)；长时 \(V_C=12\,\mathrm V\)、电流零。经过一τ，端压约 \(7.59\,\mathrm V\)，电流约 \(22.1\,\mu\mathrm A\)。

充分充电后完全断开电池，另接 \(100\,\mathrm{k\Omega}\) 成闭合放电回路，新τ为 \(0.50\,\mathrm s\)，\(V_C=12e^{-t/0.50}\,\mathrm V\)；向外放电流大小初值为 \(120\,\mu\mathrm A\)。符号须由“流入正板”或“流出正板”的参考区分。

多支路电路的τ须用电容所见电阻：把独立理想电压源置零为短路，按实际开关位置求端点间等效。一般一电容线性电路 \(V_C(t)=V_\infty+(V_0-V_\infty)e^{-t/\tau}\)，终值未必零，不能把所有电流图都选成同一种简单衰减。

13. 自主练习：先交连接与约束判断

练习1：分支。 理想18 V源先经 \(3\,\Omega\)，再经过 \(6\,\Omega\) 与 \(3\,\Omega\) 并联。求总流、并联端压和各支流。

练习2：内阻。 电池 emf 为9 V、内阻1 Ω，接2 Ω外负载。求放电流、端压与内阻热功率。

练习3：几何。 同一均匀金属丝在体积、电阻率不变时，长度变为3倍。面积与电阻比分别多少？

练习4：功率。 两电阻 \(2\,\Omega\)、\(6\,\Omega\)，分别比较串联同流与并联同压时的功率比 \(P_2/P_6\)。

练习5：浮置节点。 初始中性的 \(2\,\mu\mathrm F\) 与 \(4\,\mu\mathrm F\) 串接12 V，浮置中间节点净量零。求各电荷大小及端压。

练习6：介质约束。 同一已充电电容容量变为4倍。分别判断极板孤立和保持接理想电池时的 \(Q,V,U\) 比。

练习7：缓慢移动。 孤立电容初储能 \(0.30\,\mathrm J\)，缓慢把容量减为原来一半，初末静止且无耗散。求末储能与外力功。

练习8：RC时间。 未充电电容经正电阻接恒压源，\(RC=2.0\,\mathrm s\)。充到最终电压一半需多久？不能以“一半电压就是一半τ”作答。

练习9：所见电阻。 求一电容线性电路τ时，将独立理想6 V源置零。它应被短路还是断路？若电容端点最终看见 \(4\,\mathrm{k\Omega}\)，容量 \(2\,\mu\mathrm F\)，τ多少？

14. 选学：电桥、非均匀电流与耗散积分

平衡电桥先使用中点等势

左右两条分压支路，上下电阻分别 \(R_1,R_2\) 与 \(R_3,R_4\)。桥中电流零意味着两中点等势，在相同总端压下 \(R_2/(R_1+R_2)=R_4/(R_3+R_4)\)，得到 \(R_1/R_2=R_3/R_4\)。桥中零流不代表每条分压支路零流，也不意味着任意四只电阻均可如此约化。

电流密度先选垂直截面元

半径R的导线轴向电流密度 \(J(u)=\alpha u^2\)，则薄圆环截面 \(dA=2\pi u\,du\)，

\[I=\int_0^R J(u)2\pi u\,du=\frac{\pi\alpha R^4}{2}.\]

不能用某一位置的 \(J\) 直接乘总面积，除非它在截面均匀。积分变量是源径向位置，导线长不进入横截面面积元。

指数电流的热量需要平方后再积分

若电阻R中电流为 \(i=I_0e^{-t/\tau}\)，从0到无穷的热量

\[E_{\rm heat}=\int_0^\infty Ri^2dt =RI_0^2\int_0^\infty e^{-2t/\tau}dt =\frac{RI_0^2\tau}{2}.\]

平方同时作用于幅值与指数。恒定功率乘时间的简法不适用于这个过程；积分结果的单位须为J。