The Big Five Equations · AP Physics C: Mechanics

位置、速度和加速度的关系已经建立。若加速度恒定，积分很简单；若加速度变化，关系仍然成立，只是不能继续套用同一组恒加速公式。

1. Deriving the big five equations

取这一段运动的初时刻为 $$t=0$$ ，初位置 $$x_0$$ 、初速度 $$v_0$$ ，并要求整个时间段内 $$a$$ 恒定。由 $$dv/dt=a$$ 积分得到

$\[v=v_0+at.\]$

再由 $$dx/dt=v$$ 积分，或计算 $$v$$ – $$t$$ 图的梯形面积：

$\Delta x=v_0t+\frac12at^2=\frac{v_0+v}{2}t.$

消去时间或初速度，就得到另外两个形式：

$\begin{gathered} v^2=v_0^2+2a\Delta x, \\ \Delta x=vt-\frac12at^2. \end{gathered}$

这五个关系来自同一个恒加速模型。 $\Delta x=x-x_0$ 是有符号位移；所有符号必须属于同一物体、同一方向、同一段运动。端点速度的平均值等于平均速度，只因为这时 $$v(t)$$ 是直线。

先说明研究对象、时间段、正方向，再判断恒加速条件。把 $\Delta x,v_0,v,a,t$ 放到这段运动中，选择只包含所需量的关系。先加速再刹车需要分段，前一段的末速度成为后一段的初速度。

由 $$v^2$$ 得到的是速度大小，方向要从运动判断；位置方程的两个时间根可能代表两次经过同一位置，也可能有一个超出讨论区间。最后检查量纲、方向和极限： $$a=0$$ 应退回匀速运动。

一旦发现加速度随时间、位置或速度变化，就要回到上一课的定义。下一部分正是把同一条逻辑用于更一般的运动。

如果给出 $$a(t)$$ ，速度由积分得到，积分常数由初速度决定；位置再由第二次积分得到。

$\begin{gathered} v(t)=v_0+\int_0^t a(t')\,dt', \\ x(t)=x_0+\int_0^t v(t')\,dt'. \end{gathered}$

这里 $$t'$$ 是积分变量，不能把积分常数漏掉。若给出 $$x(t)$$ ，则向相反方向求导得到 $$v(t)$$ 和 $$a(t)$$ 。图像仍然保留斜率、面积的意义。

若加速度是位置的函数，可以在运动平滑、适当分段的区间用链式法则：

$\begin{gathered} a=\frac{dv}{dt}=v\frac{dv}{dx}, \\ \int_{v_0}^{v}v'\,dv'=\int_{x_0}^{x}a(x')\,dx'. \end{gathered}$

于是 $v^2-v_0^2=2\int_{x_0}^{x}a(x')\,dx'$ 。这也为后面的功–动能定理做了准备。若 $$a=a(v)$$ ，则从 $$dv/dt=a(v)$$ 分离变量，并用初始条件确定解。方法改变了，定义没有变。下一课先讨论近地面重力这个恒加速度的二维应用。