把球抛出去时，轨迹弯曲，但两个垂直方向可以分别研究。先从自由落体建立竖直运动，再把水平运动叠加上去；它们共享同一个时间。
1. Free fall
Free fall 自由落体只要求物体仅受重力，不要求初速度为零。地面附近忽略空气阻力时，\(g\approx9.8\,\mathrm{m/s^2}\)，方向向下。若取向上为正，\(a_y=-g\)，因此
\[\begin{gathered} v_y=v_{y0}-gt, \\ y-y_0=v_{y0}t-\frac12gt^2. \end{gathered}\]
从静止释放只是其中 \(v_{y0}=0\) 的一种情形。质量没有出现在这些式子中，所以在同一重力场、相同初始条件下，不同质量物体的理想运动相同。空气阻力存在时，加速度可能变化；不能继续把它算作这个自由落体模型。
2. Vertical projectile motion
竖直上抛仍是自由落体。上升时速度向上，加速度向下，速率减小；最高点只有 \(v_y=0\)，加速度仍为 \(-g\)；下降时速度与加速度同向，速率增大。
\[v_y^2=v_{y0}^2-2g(y-y_0).\]
若 \(v_{y0}>0\)，从发射点到最高点的时间为 \(v_{y0}/g\)，上升高度为 \(v_{y0}^2/(2g)\)。只有返回同一高度、忽略阻力时，上升和下降时间才对称。最高点是方向改变的连接点，不能把它误认为“受力平衡点”。现在让球同时有水平速度。
3. Horizontal projectile motion
Projectile motion 抛体运动在理想模型中只受重力。水平发射时 \(v_{y0}=0\)，水平方向没有加速度，竖直方向自由落体：
\[\begin{gathered} x-x_0=v_{x0}t, \\ y-y_0=-\frac12gt^2. \end{gathered}\]
水平速度不会“延缓”下落。水平抛出和同高度静止释放的球，如果同时开始、落到同一水平面，就同时落地。落地时间由竖直条件确定，水平位移再由这个时间得到。
瞬时速度沿轨迹的切线，加速度始终向下。消去时间可得到抛物线轨迹，但这条空间轨迹与 \(x\)–\(t\) 图不同。水平发射只是斜抛的一个特例。
4. Oblique projectile motion
初速率为 \(v_0\)、与水平夹角为 \(\theta\) 时，先分解初速度：
\[\begin{gathered} v_{x0}=v_0\cos\theta, \\ v_{y0}=v_0\sin\theta. \end{gathered}\] \[\begin{gathered} x-x_0=v_0\cos\theta\,t, \\ y-y_0=v_0\sin\theta\,t-\frac12gt^2. \end{gathered}\]
飞行中 \(v_x\) 不变、\(v_y=v_0\sin\theta-gt\)。最高点 \(v_y=0\)，但只要 \(v_x\ne0\)，总速度就不为零。若发射、落地点等高，才有飞行时间 \(2v_0\sin\theta/g\) 和射程
\[R=\frac{v_0^2\sin2\theta}{g}.\]
等高条件下同一初速的最大射程对应 \(45^\circ\)；落点高度变化、阻力存在时不能直接沿用结论。以上速度都是相对于选定观察者的。下一课换一个观察者，看哪些量变化、哪些关系保留下来。
