Problem Solving Lesson 帮助你为指定物体画出真实的力，再沿合适方向列方程。可以先回顾 Lesson 01：牛顿定律 和 Lessons 02–03：力及其应用。下面另出的近地数值题取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)。
1. 先指定物体，再逐个寻找施力者
受力图只画所研究物体受到的力。每画一个箭头，都能回答“哪个物体在施加这个力”：地球提供重力，接触面提供支持力及摩擦，绳提供张力。\(m\vec a\) 是合力的结果，不是额外一支力。
箱子沿粗糙水平面向右匀速滑动，同时受到向右的拉力。箱子有向下的重力、向上的支持力、向右的拉力和向左的动摩擦；水平合力为零。匀速运动表示合力为零，并不表示每个力都为零。
再区分平衡力与作用反作用。箱子受到的重力和支持力可以相互平衡，但二者作用在同一个物体上，不是第三定律力对。箱子受到地面的摩擦，与地面受到箱子的摩擦才是作用反作用；它们分别画在两个物体的受力图上。
起始判断： 先圈研究对象，画力，选方向，再写 \(\sum F_x=ma_x\) 和 \(\sum F_y=ma_y\)。不要依据运动方向预先决定合力方向。
2. 电梯示数先确定加速度，速度方向另行判断
秤的示数是它对人的支持力 \(N\)。以人为对象，向上为正：
\[N-mg=ma_y.\]
例题：电梯向下运动，秤却变重。 一名 \(60\,\mathrm{kg}\) 的学生站在秤上，读数为 \(720\,\mathrm N\)，此刻电梯向下运动。
\[a_y=\frac{720-60(10)}{60}=+2\,\mathrm{m/s^2}.\]
加速度向上，与向下的速度相反，所以电梯正在减速。若只给示数，没有给速度方向，就只能确定加速度，不能据此判断电梯此刻向上还是向下。
\(N=mg\) 对应竖直加速度为零，既可能静止，也可能匀速上升或下降。自由下落时，人与秤以相同的 \(g\) 下落，在理想模型中 \(N=0\)；失重表示支持力消失，地球的重力仍然存在。
3. 静摩擦先求需要值，再与上限比较
如果接触处没有相对滑动，静摩擦会在允许范围内调整：
\[|f_s|\le\mu_sN.\]
只有临界将滑时才取等号。实际方向应阻止相对滑动的趋势，不应一律按物体相对地面的速度判断。
例题：保持静止的箱子。 一只 \(2\,\mathrm{kg}\) 的箱子放在固定水平面上，\(\mu_s=0.40\)，受到向右 \(3\,\mathrm N\) 的水平拉力。竖直方向给 \(N=20\,\mathrm N\)，所以静摩擦上限为 \(8\,\mathrm N\)。
若箱子保持静止，水平平衡需要向左 \(3\,\mathrm N\) 的静摩擦。它低于上限，模型成立。因此实际静摩擦是 \(3\,\mathrm N\)，而不是 \(8\,\mathrm N\)。
若水平拉力增加到 \(9\,\mathrm N\)，静摩擦无法维持平衡，箱子开始滑动。之后的加速度需要动摩擦因数 \(\mu_k\) 才能确定，不能把原来的静摩擦上限无条件当作滑动摩擦。
物体与接触面已经相对滑动时，采用题目给定的理想动摩擦模型 \(f_k=\mu_kN\)，方向与接触处的相对滑动方向相反。
4. 斜向施力先改变支持力，再改变摩擦
支持力不是固定等于 \(mg\)。先沿接触面的法向列式，使用实际 \(N\)，再计算摩擦。
例题：斜向上拉动箱子。 一只 \(2\,\mathrm{kg}\) 的箱子沿固定水平面向右滑动，\(\mu_k=0.25\)。拉力为 \(20\,\mathrm N\)，向右上方，与水平夹 \(30^\circ\)。箱子保持接触，竖直加速度为零。
先列竖直方向：
\[N+20\sin30^\circ-20=0, \qquad N=10\,\mathrm N.\]
于是 \(f_k=0.25(10)=2.5\,\mathrm N\)。水平加速度为
\[a_x=\frac{20\cos30^\circ-2.5}{2} =5\sqrt3-1.25\approx7.41\,\mathrm{m/s^2}.\]
题目只说正在滑动，没有说匀速，所以不能再把水平合力设为零。若拉力改成斜向下压，竖直分量会增大 \(N\)，动摩擦也随之改变。
接触面只能推，不能向内拉住箱子。若接触模型给出 \(N<0\)，说明接触条件已经失效，应重新分析离开表面后的运动；不能用负支持力继续计算摩擦。
5. 斜面选轴让约束变得清楚
对固定直斜面上的物块，沿斜面与垂直斜面选轴通常更方便。重力仍竖直向下，只是在两个轴上投影；不要把重力和它的两个分量当作三支独立力。
例题：物块沿斜面下滑。 质量为 \(2\,\mathrm{kg}\) 的物块沿 \(30^\circ\) 固定斜面向下滑，\(\mu_k=0.20\)。取沿斜面向下为正、垂直斜面向外为正。
\[N=mg\cos30^\circ=10\sqrt3\,\mathrm N, \qquad f_k=\mu_kN=2\sqrt3\,\mathrm N.\]
动摩擦沿斜面向上，所以
\[mg\sin30^\circ-f_k=ma, \qquad a=5-\sqrt3\approx3.27\,\mathrm{m/s^2}.\]
如果物块此刻沿斜面向上滑，动摩擦改为向下，仍取沿斜面向下为正时，方程变为 \(mg\sin30^\circ+f_k=ma\)。加速度大小变成 \(5+\sqrt3\,\mathrm{m/s^2}\)。两次的摩擦大小相同，方向不同，运动状态也不同。
6. 整体求共同加速度，隔离求内部力
例题：两块共同加速。 光滑固定水平面上，左侧 \(2\,\mathrm{kg}\) 的物块接触右侧 \(3\,\mathrm{kg}\) 的物块，向左块施加水平向右 \(15\,\mathrm N\) 的力。
把两块作为整体，内部接触力相消，得到
\[a=\frac{15}{2+3}=3\,\mathrm{m/s^2}.\]
求接触力时，单独取右侧物块：其唯一水平力是左块对它的推力，所以 \(F_{\mathrm{左\to右}}=3a=9\,\mathrm N\)，向右。右块对左块的反作用力为 \(9\,\mathrm N\)，向左。对左块验算 \(15-9=2(3)\)。
整体方程适合消去内部力，隔离方程适合求内部力。第三定律力对能在整体中相消，却不能在单个物体的方程中相消。
再看理想固定滑轮。 轻绳不可伸长且始终绷紧，滑轮质量和轴摩擦可忽略。两端分别悬挂 \(m_1<m_2\)。绳约束给加速度大小相同，理想模型给张力相同。分别取各自加速方向为正：
\[T-m_1g=m_1a,\qquad m_2g-T=m_2a.\]
相加消去张力，得到 \(a=(m_2-m_1)g/(m_1+m_2)\)。若 \(m_1=1\,\mathrm{kg}\)、\(m_2=3\,\mathrm{kg}\)，则 \(a=5\,\mathrm{m/s^2}\)、\(T=15\,\mathrm N\)。悬挂并不表示静止，不能直接把张力设成某一块的重力。有转动惯量的滑轮需要另一套转动方程，留到转动单元处理。
7. 自主练习先检查受力对象
练习 1：速度与加速度。 一名 \(70\,\mathrm{kg}\) 的学生站在电梯内秤上，示数为 \(560\,\mathrm N\)，电梯此刻向上运动。求加速度的大小、方向及速率变化。
展开练习 1 解析
向上为正，\(560-70(10)=70a_y\)，所以 \(a_y=-2\,\mathrm{m/s^2}\)，加速度向下。此刻速度向上，与加速度反向，速率正在减小。
若只知道示数，无法单独确定速度方向；题目额外给出的“向上运动”才使减速判断成立。
练习 2：实际摩擦和最大摩擦。 \(1\,\mathrm{kg}\) 的物块被水平 \(30\,\mathrm N\) 的力压在竖直墙上，\(\mu_s=0.50\)，物块保持静止。求支持力、实际静摩擦和可防止下滑的最小水平推力。
展开练习 2 解析
水平平衡给 \(N=30\,\mathrm N\)，竖直平衡给向上静摩擦 \(f_s=mg=10\,\mathrm N\)。当前上限为 \(\mu_sN=15\,\mathrm N\)，不是实际摩擦。
防止下滑要求 \(mg\le\mu_sF\)，所以最小推力为 \(F_{\min}=mg/\mu_s=20\,\mathrm N\)。
练习 3：理想滑轮。 理想固定滑轮两端分别悬挂 \(2\,\mathrm{kg}\) 与 \(3\,\mathrm{kg}\) 的物块，轻绳绷紧且不可伸长。求加速度与张力。
展开练习 3 解析
重块向下、轻块向上，加速度大小为 \(a=(3-2)10/(2+3)=2\,\mathrm{m/s^2}\)。
对轻块列 \(T-20=2a\)，得到 \(T=24\,\mathrm N\)；对重块验算 \(30-24=3a\)。两式同时成立，才完成受力与绳约束的检查。
做 workbook 题时，先写“哪个物体受力”“哪个方向有加速度”和“摩擦使用什么状态”。把这三件事确定后，再代入质量和力的数值。
8. 选学约束与阻力函数
两绳与弹簧等效先判断哪个量相同
两根相同轻绳对称悬挂物体，分别与水平成 \(30^\circ\)，竖直平衡给 \(2T\sin30^\circ=mg\)，所以 \(T=mg\)。这里的结果来自特定角度；若角从竖直量起，竖直分量应改用余弦。
两根相同线性轻弹簧，刚度各为 \(100\,\mathrm{N/m}\)。并联时伸长相同、力相加，等效刚度为 \(200\,\mathrm{N/m}\)；串联时力相同、伸长相加，等效刚度为 \(50\,\mathrm{N/m}\)。先辨认约束，比只记名称与口诀更容易迁移。
速度相关阻力回到微分方程
物体沿水平直线运动，唯一水平力为 \(F_x=-cv\)，\(c>0\)，初速度 \(v_0>0\)。牛顿方程给
\[m\frac{dv}{dt}=-cv, \qquad v(t)=v_0e^{-ct/m}.\]
加速度随速度变化，不能用恒加速度公式。时间尺度 \(m/c\) 的单位是秒。检验解时，先查 \(v(0)=v_0\)，再代回微分方程；只符合初、末极限还不足以证明函数正确。
从静止竖直下落、阻力大小为 \(cv\) 时，取向下为正，方程是 \(m\dot v=mg-cv\)，解为
\[v(t)=\frac{mg}{c}\left(1-e^{-ct/m}\right).\]
终速为 \(v_T=mg/c\)。终速时合力为零，但重力与阻力都不为零。这个结果依赖线性阻力及恒质量模型，不能直接用于阻力正比于 \(v^2\) 的情形。