Problem Solving Lesson 先处理中心距、引力能量与圆轨道，再处理局部受力和同一椭圆。可分段阅读，但每次都先确认所用模型。对应 Lesson 01：万有引力、Lesson 02：圆周运动 和 Lesson 03：行星运动。另出的近地数值题取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)；行星题使用球对称源外部、轻物体及固定中心近似，特殊条件另行说明。
1. 先把表面高度换成中心距
行星半径为 \(R\)，表面高度为 \(h\)，中心距是 \(r=R+h\)。球对称源外部的引力大小与场大小为
\[F=\frac{GMm}{r^2},\qquad g(r)=\frac{GM}{r^2}.\]
例题：位于表面上方一个行星半径。 此处 \(h=R\)、\(r=2R\)，场是表面场的 \(1/4\)。把试探物体质量加倍，场不变，所受引力加倍；源质量 \(M\) 与试探质量 \(m\) 有不同作用。
两行星质量比为四、半径比为二，则表面场之比 \(4/2^2=1\)。只有题目给相同平均密度时，才可进一步由 \(M\propto R^3\) 建立质量关系。图上的圆大小本身不代表密度或质量。
2. 引力场先按方向叠加
两球对称行星质量相同，中心距为 \(d\)。两中心中点到各源距离相同，两场方向相反，所以净场为零。若两行星半径不同，但中点仍在两球外，这一结论不改变。
净场为零不表示每个场都为零，也不表示引力势能为零。场是矢量，势能或势是标量；取无穷远势能为零时，两源对中点处物体提供的引力势能都为负，需要相加。
对于不在中点的位置，先写各中心距离和场方向。中心连线之间两场反向，外侧则同向；不要只比较两个正的大小而省去方向。
3. 大范围下落使用两个负势能状态
取 \(U(\infty)=0\)，球外引力势能为 \(U=-GMm/r\)。向外移时 \(U\) 增大、变得较不负；引力做负功。向内落时 \(U\) 减小，减少量可转为动能。
例题：从高处静止径向落到表面。 固定球对称行星质量 \(M\)、半径 \(R\)。物体从表面上方 \(2R\) 处静止释放，无大气，只有行星引力做功。
先写 \(r_i=3R\)、\(r_f=R\)，再列
\[-\frac{GMm}{3R}=\frac12mv_f^2-\frac{GMm}{R}, \qquad v_f=\sqrt{\frac{4GM}{3R}}.\]
运动物体质量约去。高度跨越行星尺度时，\(g\) 沿程变化，不能把表面 \(g\) 当常数而用 \(mg(2R)\)。一般初末关系是
\[v_f^2=v_i^2+2GM\left(\frac1{r_f}-\frac1{r_i}\right).\]
这一式给速率，需要另用运动条件确定方向；它也没有提供下落时间。
4. 逃逸阈值与径向转折点分开
从表面发射且此后只有引力，逃逸阈值对应无穷远速率趋近零：
\[\frac12mv_e^2-\frac{GMm}{R}=0, \qquad v_e=\sqrt{2GM/R}.\]
引力并不会在某个有限位置突然消失。超过阈值时，物体仍减速，但能保留非零无穷远速率。
例题：径向向外发射。 若 \(v_0=1.5v_e\)，则 \(v_\infty^2=v_0^2-v_e^2\)，得 \(v_\infty=\sqrt5\,v_e/2\)。
若改为 \(v_0=v_e/2\)，初总能量为 \(E=-3GMm/(4R)<0\)，不能逃逸。径向运动的最高点总速度为零，因此
\[-\frac{3GMm}{4R}=-\frac{GMm}{r_{\max}}, \qquad r_{\max}=\frac{4R}{3},\qquad h_{\max}=\frac R3.\]
“最高中心距”与“离表面最高高度”差一个 \(R\)。椭圆近远点只表示径向速度为零，切向速度仍存在，不能把这里的总速度为零照搬过去。
5. 圆轨道从径向方程推出速度与周期
只有引力提供圆轨道所需径向合力时，
\[\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}, \qquad v=\sqrt{GM/r},\qquad T=2\pi\sqrt{r^3/(GM)}.\]
圆轨道中 \(K=GMm/(2r)\)、\(U=-GMm/r\)、\(E=-GMm/(2r)\)。关系 \(K=-U/2\) 依赖圆轨道，不能当成任意引力运动的恒等式。
例题：比较两条圆轨道。 同一行星周围、同一轻卫星，另一圆轨道半径为原来九倍，则 \(v'/v=1/3\)、\(T'/T=27\)、\(E'=E/9\)。\(E\) 是负数，所以新总能量更高；最终圆轨道速率却更低。两条圆轨道比较不能用来描述变轨途中每个状态。
仅有速率恰等于 \(\sqrt{GM/r}\)，还不足以确定圆轨道。速度方向必须适合圆轨道；径向下落的物体即使恰有同样速率，也没有在绕圆。
6. 径向与切向加速度由不同变化产生
曲线运动中，速度方向变化产生径向加速度，速率变化产生切向加速度：
\[a_r=\frac{v^2}{r},\qquad a_t=\frac{dv}{dt}, \qquad |\vec a|=\sqrt{a_r^2+a_t^2}.\]
例题：沿圆周减速。 半径 \(9\,\mathrm m\)，当前速率 \(6\,\mathrm{m/s}\)，以 \(3\,\mathrm{m/s^2}\) 减速。径向大小为 \(4\,\mathrm{m/s^2}\)，方向向圆心；切向大小为 \(3\,\mathrm{m/s^2}\)，方向反速度；总大小为 \(5\,\mathrm{m/s^2}\)，不是七。
若 \(x=2\cos4t\)、\(y=2\sin4t\)，长度以米、时间以秒，半径为 \(2\,\mathrm m\)。求导给 \(v_x=-8\sin4t\)、\(v_y=8\cos4t\)，速率恒为 \(8\,\mathrm{m/s}\)；径向加速度为 \(32\,\mathrm{m/s^2}\)，切向为零。在 \(t=0\)，速度向 \(+y\)，加速度向 \(-x\)。
匀速圆周运动的速率恒定，速度矢量仍改变，所以总加速度不为零。
7. 向心合力来自真实力及其分量
先画重力、支持力、张力、摩擦等真实力，再沿局部指向圆心列 \(\sum F_{\mathrm{in}}=mv^2/r\)。不要额外加一支“向心力”再与这些力相加。
例题：水平弯道。 \(1000\,\mathrm{kg}\) 汽车以 \(10\,\mathrm{m/s}\) 沿半径 \(50\,\mathrm m\) 的固定水平弯道行驶，轮胎不侧滑，\(\mu_s=0.30\)。
竖直平衡给 \(N=mg=10000\,\mathrm N\)。所需侧向静摩擦为 \(mv^2/r=2000\,\mathrm N\)，低于上限 \(\mu_sN=3000\,\mathrm N\)，模型成立；实际摩擦是 \(2000\,\mathrm N\)。临界速率为
\[v_{\max}=\sqrt{\mu_sgr}=\sqrt{150}\approx12.25\,\mathrm{m/s}.\]
不侧滑条件使用不等式，只在临界状态取最大静摩擦。水平弯道没有斜面支持力的水平分量，不能套用倾斜弯道模型。
8. 竖直圆周先查接触，再接能量
例题：内侧光滑圆轨道。 小物块沿半径 \(r\) 的固定竖直圆轨道内侧滑动，不被卡住，轨道只能推不能拉。忽略尺寸、自身转动、空气及其他耗散。
顶点向下为径向正方向，\(N_{\mathrm{top}}+mg=mv_{\mathrm{top}}^2/r\)。由于 \(N\ge0\)，需要 \(v_{\mathrm{top}}^2\ge gr\)。刚好维持接触时才令 \(N_{\mathrm{top}}=0\)。
底到顶高差 \(2r\)，支持力不做功，故
\[\frac12mv_{\mathrm{bottom}}^2 =\frac12mv_{\mathrm{top}}^2+mg(2r), \qquad v_{\mathrm{bottom,min}}=\sqrt{5gr}.\]
当 \(r=2\,\mathrm m\)，临界顶速为 \(\sqrt{20}\,\mathrm{m/s}\)，临界底速为 \(10\,\mathrm{m/s}\)。若顶速 \(5\,\mathrm{m/s}\)，\(N/m=25/2-10=2.5\,\mathrm{m/s^2}\)；若顶速只有四，会要求负支持力，接触模型失效。
在此理想模型中顶点是全圈支持力最小处，可检查顶点阈值来保证全圈接触。刚性杆、双侧卡住的轨道、滚动的球或存在耗散时，应重新列受力与能量，不能沿用同一底速阈值。
9. 同一椭圆守角动量，区别两条圆轨道
固定中心引力对该中心力矩为零；没有推进或耗散，角动量与机械能守恒。近点与远点的速度垂直半径，所以
\[mr_pv_p=mr_av_a,\qquad \frac{v_p}{v_a}=\frac{r_a}{r_p},\qquad \frac{\omega_p}{\omega_a}=\left(\frac{r_a}{r_p}\right)^2.\]
例题：同一轨道的两端。 远点半径是近点三倍，远点速率为 \(2\,\mathrm{m/s}\)，则近点速率为六，近/远角速率比为九。近点势能更负、动能更大，总机械能却相同。
一般位置用 \(L=mr v_\perp=mr^2\dot\theta\)，不无条件使用全部速率。椭圆某点的中心距也不是轨迹局部曲率半径；不能把圆轨道方程 \(GMm/r^2=mv^2/r\) 逐点套入任意椭圆。
比较两条圆轨道时才使用 \(v\propto r^{-1/2}\)。同一椭圆近远点使用半径倒比；先确认比较对象，再选半径指数。
10. 自主练习逐题说明模型
练习 1：中心距与下落。 固定球对称行星质量 \(M\)、半径 \(R\)。轻物体从中心距 \(2R\) 静止径向落到表面，只有引力做功。求表面速率与质量依赖。
展开练习 1 解析
\(-GMm/(2R)=mv_f^2/2-GMm/R\)，所以 \(v_f=\sqrt{GM/R}\)，不依赖运动物体质量。初始表面高度是 \(R\)；不能把中心距 \(2R\) 当成落差。
练习 2：两颗圆轨道卫星。 两轻卫星质量为 \(m\)、\(2m\)，在同一行星周围相同半径的圆轨道。比较引力、速率、周期及机械能。
展开练习 2 解析
引力为二倍，速率和周期相同，机械能为同一负值的二倍。速度方程中 \(m\) 约去，不表示引力也不依赖 \(m\)。
练习 3：局部加速度。 半径 \(2\,\mathrm m\) 的圆周，当前速率四，且以 \(3\,\mathrm{m/s^2}\) 加速。求总加速度大小；若之后保持恒定速率，总加速度是否为零？
展开练习 3 解析
\(a_r=4^2/2=8\,\mathrm{m/s^2}\)，\(a_t=3\,\mathrm{m/s^2}\)，两者垂直，总大小 \(\sqrt{73}\,\mathrm{m/s^2}\)。恒定速率时切向分量为零，径向分量仍非零。
练习 4：圆环接触。 小质点在半径 \(2\,\mathrm m\) 的固定光滑竖直圆轨道内侧运动，单侧接触、不转动、无耗散。底点速率为 \(12\,\mathrm{m/s}\)。求顶点速率及顶点 \(N/m\)，判断能否完成全圈接触。
展开练习 4 解析
能量给 \(v_t^2=12^2-4gr=144-80=64\)，顶速八。顶点 \(N/m=64/2-10=22\,\mathrm{m/s^2}>0\)。底速超过 \(\sqrt{5gr}=10\,\mathrm{m/s}\)，全圈接触条件成立。
练习 5：两种轨道比较。 同一椭圆远点半径为近点二倍，求近/远线速率与角速率比。另比较同一中心源的两条圆轨道，外半径为内半径二倍，求外/内速率比。
展开练习 5 解析
同一椭圆近/远线速率比二，角速率比四；不同圆轨道外/内速率比 \(1/\sqrt2\)。三问的指数不同，原因来自所比较的轨道模型。
回到 workbook，每次先写中心距、参考系和受力或守恒条件。接触与绳强度题求出当前力值后，还要检查允许范围；得到一个代数数值不等于模型成立。
11. 选学球内引力与双星
均匀实心球内部只有包围质量贡献净场
半径 \(R\)、质量 \(M\) 的均匀实心球，内部 \(0\le r\le R\) 的包围质量为 \(M_r=M(r/R)^3\)。球对称壳层在内部净场为零，所以
\[g(r)=\frac{GM_r}{r^2}=\frac{GM}{R^3}r.\]
中心场为零，内部场随 \(r\) 线性增大，外部才按 \(1/r^2\) 减小。把整个球质量直接放入内部的 \(GM/r^2\) 会给错模型。均匀密度是这里的必要条件。
双星不能把其中一个大质量星当成固定中心
两质量为 \(M_1,M_2\) 的星做圆周双星运动，中心间距为 \(d\)，两者绕共同质心。质心距离满足 \(M_1r_1=M_2r_2\)、\(r_1+r_2=d\)；角速率相同。
对星一写 \(GM_1M_2/d^2=M_1\omega^2r_1\)，再代质心关系，得到
\[\omega^2=\frac{G(M_1+M_2)}{d^3}, \qquad T=2\pi\sqrt{\frac{d^3}{G(M_1+M_2)}}.\]
\(d\) 是两中心间距，不是任一星绕质心的半径。若两质量都为 \(M\)，每颗的轨道半径为 \(d/2\)，总能量需包含两颗星的动能及一次相互作用势能，不能重复计算势能。