从哲学争论到实验资源

前置知识： 概率与平均值；量子态符号会在文中说明。

把一副手套分装在两个盒子里，分别送往两地。一个人打开盒子看见左手手套，就能推断另一个盒子里装着右手手套。两地结果有关联，却没有什么东西必须在开盒时瞬间传过去：手套装箱时已经分好了。

面对量子纠缠，人们很自然地提出类似解释：粒子是否也只是带着我们暂时不知道的“答案”，到测量时才把答案显示出来？

真正困难的地方，是量子实验允许测量者选择不同的问题。我们需要解释的，不只是同一种测量下的一组相关结果，而是不同测量选择之间整套可比较的统计关系。

从这个问题出发，物理学经历了一次很特别的转变：争论中的概念被写成约束，约束接受实验检验，实验中难以制备的关联又逐渐成为可以使用的资源。

一、1935 年：一个理论算得准，是否就已经完整？

1935 年，爱因斯坦、波多尔斯基和罗森发表了一篇论文，通常简称 EPR 论文。他们没有简单否认量子力学的计算成绩，而是追问：量子态是否已经给出了关于物理实在的完整描述？

他们提出一种判断思路：如果不扰动一个系统就能确定地预言某个物理量的值，那么这个值应对应某种物理实在。论文利用两个系统的位置、动量关联，把这一判断与量子力学对状态的描述放在一起，得出了描述不完整的结论。EPR 原始论文，1935

同年，玻尔回应了这个论证。他认为 EPR 对“物理实在”的判据用于量子现象时存在关键歧义，并从互补性的角度解释为什么不能把不同实验条件下的预言简单拼成同一幅图景。玻尔的回应，1935

阅读这段历史，不必先把自己分到某位科学家的阵营。更有价值的是辨认双方争论的层次：他们在谈预测是否正确、状态是否完整，以及我们凭什么把某个量说成系统已经具有的性质。

二、纠缠比“两个结果相同”多了什么？

先用两个可以测得 0 或 1 的量子系统作例子。符号 \(|0\rangle\)、\(|1\rangle\) 表示选定测量基下的两个基态；\(|00\rangle\) 表示第一个系统和第二个系统都处于对应的 0 态。

考虑整体状态：

\[|\Phi^+\rangle=\frac{|00\rangle+|11\rangle}{\sqrt{2}}.\]

按这个基测量，两个结果要么都是 0，要么都是 1，各有一半概率。单看一边，结果无法预先指定；把两边记录配对，相关性就出现了。

只看到这里，仍然无法排除“事先各放好同样数字”的经典解释。一半盒子装 00，另一半装 11，也能产生相同的统计。

区别在于：上式是一个保持相位关系的量子叠加态，而随机准备 00 或 11 得到的是另一种状态。改变测量基后，两者可能给出不同的关联。对于这里的纯态，纠缠意味着整体状态不能写成“第一个系统的态”与“第二个系统的态”的简单乘积。

例如，把 \(|+\rangle=(|0\rangle+|1\rangle)/\sqrt{2}\)、\(|-\rangle=(|0\rangle-|1\rangle)/\sqrt{2}\) 作为新基，上面的纠缠态又可写成 \((|++\rangle+|--\rangle)/\sqrt{2}\)。在新基下，它仍给出完全相同的两边结果；随机混合的 00、11 则没有这种完全关联。这里是一个辨认两种已知候选状态的例子，还不是完整的贝尔检验。

纠缠的数学描述与混合态的区别，可以结合 复合系统与纠缠、混合态与退相干 阅读。

三、贝尔的转折：让一种解释承担可检验的后果

1964 年，约翰·贝尔研究了这样的可能性：能否用更深一层的变量补充量子描述，同时保持特定的局域性要求？他证明，这类解释对关联强度施加约束，而量子力学能够预言违反约束的结果。贝尔原始论文，1964

1969 年，克劳泽、霍恩、希莫尼和霍尔特给出了适合实验讨论的一种形式，通常称为 CHSH 不等式。下面用“本地回答规则”推导它，重点看清假设怎样通向数字界限。CHSH 原始论文，1969

四种测量组合，一个共同上限

设两位实验者相隔很远。甲每次选择设置 \(a\) 或 \(a'\)；乙每次选择 \(b\) 或 \(b'\)。每次测量只记录 \(+1\) 或 \(-1\)。

考虑一种局域隐藏变量模型：每对系统具有共同信息 \(\lambda\)，甲的结果只依赖自己的设置和 \(\lambda\)，乙也一样。再假定测量设置的选择与这份共同信息在统计上独立。

在一份确定的本地规则中，把四种可能回答记为 \(A,A',B,B'\)，它们各为 \(\pm1\)。构造：

\[T=AB+AB'+A'B-A'B'=A(B+B')+A'(B-B').\]

如果 \(B=B'\)，那么 \(B-B'=0\)，另一括号等于 \(\pm2\)；如果 \(B=-B'\)，情况正好交换。因此，无论这份规则具体怎样填写，都有 \(T=+2\) 或 \(T=-2\)。

将许多份规则按概率平均，定义 \(E(a,b)\) 为设置组合 \((a,b)\) 下两边结果乘积的平均值，就得到：

\[S=E(a,b)+E(a,b')+E(a',b)-E(a',b'),\qquad |S|\leq2.\]

这不要求实验者在同一对粒子上实际测出四种互不相容的设置。实验在大量试次中随机选择设置，再分别估计四个相关平均值。共同信息与设置选择独立，保证这种比较针对同一类来源。允许局域响应带有随机性，也不会使这类模型越过该上限。

量子力学对适当的纠缠态与测量设置，可以给出 \(|S|=2\sqrt{2}\)。这里用 \(Z\) 表示在 \(|0\rangle,|1\rangle\) 基下测量，并把两种结果标成 \(+1,-1\)；\(X\) 则表示在 \(|+\rangle,|-\rangle\) 基下的对应测量。

例如对前面的 \(|\Phi^+\rangle\)，甲选择 \(Z\) 或 \(X\)，乙选择 \((Z+X)/\sqrt{2}\) 或 \((Z-X)/\sqrt{2}\)，理想相关值依次为 \(1/\sqrt{2},1/\sqrt{2},1/\sqrt{2},-1/\sqrt{2}\)，代入就得到这个结果。这里的方向是双态系统的状态空间方向；不能不作转换便当成光学偏振片的实际角度。

四、从能测关联，到认真处理实验漏洞

1972 年，弗里德曼与克劳泽报告了用光子偏振关联检验局域隐藏变量理论的实验。1982 年，阿斯佩、达利巴尔与罗歇使用随时间切换的分析器设置，使检验更直接地触及两地测量选择之间是否可能通过普通信号相互影响的问题。1972 年实验；1982 年实验

实验并不止于画出一条接近量子预言的曲线。两个问题尤其重要：

2015 年，Hensen 等人的实验利用相隔约 1.3 千米的电子自旋，在同一实验中处理了主要的探测与局域性漏洞。论文题目中的“无漏洞”有明确的实验语境，不能扩张成没有任何逻辑前提或统计假设。Hensen 等，2015

这段历史的变化，发生在“什么才算足够好的证据”上。早期实验建立了可观测的违反；后续实验逐步收紧了替代解释可利用的空间。每一次进步，都要求光源、控制、探测、时间安排与数据分析共同改进。

五、为什么这些关联不能用来超光速发消息？

回到 \(|\Phi^+\rangle\)。甲测出 0 时，能够据此预测乙在相同基下的结果。但甲不能任意决定这一次测出 0 还是 1。乙单独看自己的记录，仍只得到一串随机的 0 和 1。

即使甲改变测量基，乙在没有获知甲的设置和结果时，本地的统计分布也不会因此成为可读取的消息。量子理论的无信号性质，与它允许违反贝尔不等式的关联，可以同时成立。

事后双方通过普通通信比较记录，才看得出特定的联合关系。条件化后的描述发生变化，不等于乙收到了一条由甲控制的瞬时信号。

因此，纠缠可以改变协作任务能够做到什么，却没有取消通信中需要传递的经典信息。这个区别，在量子隐形传态中尤其清楚。

六、量子隐形传态：传递未知状态需要哪些资源？

1993 年，Bennett 等人提出：借助预先共享的纠缠，以及一个经典通信信道，可以把一个未知量子态转移到远方的系统上。原始论文与 IBM 研究档案

对最基本的一个量子比特协议，可以这样理解其资源流程：

1. 甲持有待传送的未知状态；甲、乙另外共享一对纠缠系统。
2. 甲对待传送系统和自己持有的纠缠伙伴作联合测量，得到四种结果之一。
3. 甲把结果用两个经典比特告诉乙。
4. 乙根据消息执行相应操作，使自己系统的状态成为原来的未知状态。

在经典消息抵达之前，乙无法取得可用的完整传态结果。协议也没有先测出未知态的所有振幅，再把这些数值发送过去；原系统不会同时保留一份独立、完整的未知态副本。

“隐形传态”这个名字很容易让人联想到搬运物体。这里转移的是量子状态，仍需要预先分配资源、执行本地操作和传递经典消息。

七、从理解量子态，到用它处理信息

密钥分发：扰动怎样成为可以检查的线索？

1984 年，Bennett 与 Brassard 提出后来称为 BB84 的量子密钥分发方案。发送者用不同测量基对应的量子态编码，接收者选择测量基；双方再通过经典通信筛选和检验数据。一个不知道所用基的窃听者若试图测量并转发，通常会引入可供检验的扰动。BB84 原始会议论文扫描本

BB84 的常见制备—测量实现不要求先共享纠缠。量子信息的发展有多条路径，不能把每一种量子通信方案都归结为同一种纠缠实验。

实际密钥分发还需要经过认证的经典通信、误差处理与隐私放大，并分析器件、有限样本和攻击模型。量子规律提供的是安全论证的物理基础；“使用量子”几个字不能替代对实际装置的论证。Shor 与 Preskill 的安全性证明，2000

量子计算：优势要对应具体任务

1994 年，Shor 提出用于整数分解和离散对数的量子算法，其计算步骤数随输入长度按多项式增长。这里的输入长度大致对应整数的位数，而不是整数本身的大小。链接中的扩展稿上传于 1995 年，不能把上传日期误当成最初提出算法的年份。Shor 算法扩展论文及原会议说明

这使一个具体问题变得鲜明：量子装置能否利用振幅的相干演化和干涉，完成经典计算机已知方法难以高效完成的任务？

一个含 \(n\) 个量子比特的纯态需要 \(2^n\) 个基态振幅来描述，但一次测量不会把这整张振幅表交给我们。算法必须组织演化，使所需信息以足够高的概率出现在可读取的结果中。量子计算的优势需要逐项讨论任务、算法、误差和成本，不能由状态空间维数直接推出“所有问题都会加速”。

纠错：怎样保护不能随意复制的信息？

量子态会受到环境扰动，计算越长，维持正确相干关系越困难。1995 年，Shor 提出量子纠错方案，展示了在相应噪声假设下保护量子存储信息的办法。Shor 的量子纠错论文，1995

量子纠错不是把一个未知态原样复印许多份。它把一个逻辑状态编码到多个物理系统的联合状态中，通过专门的校验提取错误信息，同时避免直接读出并破坏所保护的逻辑信息。

到了这里，历史问题再次发生变化。早先人们问：“这种量子关联是否存在？”现在还要问：“能否稳定制备、控制、传递和保护它，使整个任务的效果优于付出的成本？”

八、把本篇放回时间线

九、读后思考

1. 两边测量结果总是相同，为什么单凭这一点还不能证明纠缠？
2. 在 CHSH 推导中，为什么 \(B+B'\) 和 \(B-B'\) 总有一个为零？这一点怎样给出上限？
3. 违反贝尔不等式，为什么不等于能超光速发出一个由自己选择的比特？
4. 量子隐形传态中，哪一步明确要求普通通信？原状态是否被完整复制了一份？
5. 为什么“\(n\) 个量子比特有 \(2^n\) 个振幅”不能独自证明任意计算都可加速？