应力、应变与弹性

Learning objectives / 学习目标

完成本课后，你应当能够：

1. 区分截面平均工程应力与一点处的 Cauchy 应力张量，并从 \(\mathbf t(\mathbf n)=\boldsymbol\sigma\mathbf n\) 求任意切面的正、剪应力。
2. 定义轴向、横向、剪切和体积应变，说明工程剪应变与张量剪应变的因子 \(2\)。
3. 在适用条件内使用 \(E,G,K\)，并判断某次加载究竟测量哪一个模量。
4. 从应力—应变曲线积分得到弹性能密度，并把它与整根杆或弹簧的能量相连。
5. 用泊松比预测横向收缩和体积变化，推导各向同性线弹性关系。
6. 对每个公式说明小变形、线性、均匀、各向同性和单轴应力等假设是否成立。

Prerequisites / 先修知识

• 静力平衡：会隔离结构、求支反力并区分外力与切面内力。
• 需要向量分量、偏导数、矩阵转置和一次积分；张量只使用本课明确给出的 Cauchy 应力与小应变定义。
• 熟悉面积、体积、功与能量密度的 SI 单位换算。

0. Notation and modeling contract / 记号与建模契约

The continuum bridge / 连续介质的三层桥梁

“应力大所以应变大”并不是纯粹的牛顿定律；中间必须指定材料模型。钢与橡胶在同一应力下可产生完全不同应变。

Figure 0.1 — 平衡、运动学与本构是不同逻辑层，不能相互替代。

Knowledge 1 — Normal and shear stress / 正应力与剪应力

Knowledge ID: P01-U06-L02-K01

1.1 从平均应力到一点处的面力

直杆横截面积为 \(A\)、轴向内力为 \(N\) 时，若应力近似均匀，平均正应力为

\[\sigma_{\mathrm{avg}}=\frac{N}{A}.\]

剪力 \(V\) 在面积 \(A\) 上的平均剪应力写成 \(\tau_{\mathrm{avg}}=V/A\)，但实际分布通常不均匀；例如梁横截面剪应力在自由表面常为零。因此 \(F/A\) 是截面平均量，不是普适的点值公式。

在一点取法向为单位向量 \(\mathbf n\) 的微小切面，其牵引向量（traction）为

\[\boxed{\mathbf t(\mathbf n)=\boldsymbol\sigma\mathbf n}.\]

正应力是法向分量，剪应力向量位于切面内：

\[\sigma_n=\mathbf n\cdot\mathbf t, \qquad \boldsymbol\tau=\mathbf t-\sigma_n\mathbf n, \qquad \tau=\lVert\boldsymbol\tau\rVert.\]

Figure 1.1 — 任意切面上的牵引可唯一分成正应力与面内剪应力。

1.2 应力张量为什么需要九个分量

在笛卡尔基下

\[\boldsymbol\sigma= \begin{pmatrix} \sigma_{xx}&\tau_{xy}&\tau_{xz}\\ \tau_{yx}&\sigma_{yy}&\tau_{yz}\\ \tau_{zx}&\tau_{zy}&\sigma_{zz} \end{pmatrix}.\]

这里第一下标指牵引分量方向，第二下标指切面法向方向（不同教材可能交换约定，使用前必须声明）。在没有体力偶、经典 Cauchy 连续体的局部角动量平衡下，\(\boldsymbol\sigma=\boldsymbol\sigma^{\mathsf T}\)，故只有六个独立分量。对有微结构偶应力的广义连续体，这个结论需要修改。

Figure 1.2 — 点应力元：剪应力对需满足局部力矩平衡。

Figure 1.3 — 正应力与剪应力按牵引相对切面的方向分类。

Worked Example 1 — Traction on an inclined plane / 斜面牵引

二维应力状态（单位 MPa）为

\[\boldsymbol\sigma= \begin{pmatrix}80&30\\30&20\end{pmatrix},\]

切面单位法向 \(\mathbf n=(\cos30^\circ,\sin30^\circ)\)。先算

\[\mathbf t=\boldsymbol\sigma\mathbf n =(84.28,\ 35.98)\ \mathrm{MPa}.\]

正应力

\[\sigma_n=\mathbf n\cdot\mathbf t=90.98\ \mathrm{MPa}.\]

牵引大小为 \(\lVert\mathbf t\rVert=91.64\ \mathrm{MPa}\)，故

\[\tau=\sqrt{\lVert\mathbf t\rVert^2-\sigma_n^2} =10.98\ \mathrm{MPa}.\]

检查：两个分量平方和恢复牵引大小；单位向量确有长度 \(1\)。这说明“某一点的应力”若不说明切面方向并不完整。

Knowledge 2 — Tensile, compressive, shear, and volume strain / 各类应变

Knowledge ID: P01-U06-L02-K02

2.1 工程正应变与局部小应变

均匀直杆由初长 \(L_0\) 变为 \(L_0+\Delta L\)，工程应变

\[\varepsilon=\frac{\Delta L}{L_0}.\]

它无量纲；拉伸为正、压缩为负。若形变不均匀，一维局部小应变为 \(\varepsilon_{xx}=du/dx\)。三维小应变张量是

\[\boldsymbol\varepsilon =\frac12\left(\nabla\mathbf u+\nabla\mathbf u^{\mathsf T}\right).\]

刚体转动只出现在位移梯度的反对称部分，不应被误算成形变。

Figure 2.1 — 工程正应变用原始长度归一化伸长量。

2.2 剪应变与体积应变

小角度简单剪切中，工程剪应变

\[\gamma_{xy}=\tan\phi\approx\phi.\]

张量分量满足 \(\varepsilon_{xy}=\gamma_{xy}/2\)；这个因子 \(2\) 来自对称化。若边长分别发生小正应变 \(\varepsilon_{xx},\varepsilon_{yy},\varepsilon_{zz}\)，忽略二阶小量：

\[\varepsilon_v=\frac{\Delta V}{V_0} \approx\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz} =\operatorname{tr}\boldsymbol\varepsilon.\]

Figure 2.2 — 工程剪应变是原本直角的总角度变化。

Figure 2.3 — 小体积应变是一阶正应变之和；剪应变不改变一阶体积。

Worked Example 2 — Axial and shear strain / 轴向与剪切形变

长 \(2.00\ \mathrm m\)、直径 \(10.0\ \mathrm{mm}\) 的钢丝伸长 \(1.20\ \mathrm{mm}\)：

\[\varepsilon=\frac{1.20\times10^{-3}}{2.00} =6.00\times10^{-4}.\]

另一个高 \(50.0\ \mathrm{mm}\) 的橡胶块顶面水平移动 \(2.00\ \mathrm{mm}\)，若变形近似均匀：

\[\gamma=\frac{2.00}{50.0}=0.0400\ \mathrm{rad}, \qquad \varepsilon_{xy}=0.0200.\]

二者均无量纲；把 \(\gamma\) 与 \(\varepsilon_{xy}\) 混用会造成两倍误差。

Knowledge 3 — Young's, shear, and bulk moduli / 杨氏、剪切与体积模量

Knowledge ID: P01-U06-L02-K03

3.1 三种实验，三种刚度

在线性弹性范围：

\[\sigma=E\varepsilon, \qquad \tau=G\gamma, \qquad p=-K\frac{\Delta V}{V_0}.\]

\(E\) 对应单轴应力下的轴向伸长，\(G\) 对应简单剪切，\(K\) 对应各向均匀压力下的体积压缩。三者单位都是 Pa，却描述不同形变模式，不能仅凭单位互换。

Figure 3.1 — \(E,G,K\) 是三种不同加载路径的线性斜率。

对均匀、各向同性、线性弹性材料，只有两个独立常数：

\[G=\frac{E}{2(1+\nu)}, \qquad K=\frac{E}{3(1-2\nu)}.\]

这些关系不适用于各向异性晶体、复合材料、非线性橡胶、大塑性或频率相关黏弹材料。正定弹性能要求理想三维各向同性材料满足 \(-1<\nu<1/2\)；多数常见固体 \(0<\nu<1/2\)，但负泊松比（auxetic）材料也可稳定存在。

Worked Example 3 — Inferring moduli / 由 \(E,\nu\) 推其余模量

某各向同性线弹性材料 \(E=70.0\ \mathrm{GPa}\)、\(\nu=0.330\)。则

\[G=\frac{70.0}{2(1.330)}=26.3\ \mathrm{GPa},\]

\[K=\frac{70.0}{3(1-0.660)}=68.6\ \mathrm{GPa}.\]

\(K>G\) 表示该材料相对更抗体积改变；当 \(\nu\to0.5\) 时 \(K\to\infty\)，对应近似不可压缩极限，但 \(G\) 仍可有限。

Knowledge 4 — Elastic energy density / 弹性能密度

Knowledge ID: P01-U06-L02-K04

4.1 应力—应变曲线下面积

准静态单轴加载中，每单位原始体积所做增量功为 \(du=\sigma\,d\varepsilon\)，故

\[u(\varepsilon)=\int_0^\varepsilon\sigma(\varepsilon')\,d\varepsilon'.\]

线弹性时

\[\boxed{u=\frac12\sigma\varepsilon =\frac{\sigma^2}{2E} =\frac12E\varepsilon^2}.\]

同理，纯剪 \(u=\tau^2/(2G)\)；均匀静水压缩 \(u=p^2/(2K)\)。一般小应变线弹性写成

\[u=\frac12\boldsymbol\sigma:\boldsymbol\varepsilon =\frac12\sum_{i,j}\sigma_{ij}\varepsilon_{ij}.\]

双点积中 \(xy\) 与 \(yx\) 两项会共同给出 \(\tau\gamma/2\)；若改用工程剪应变向量，必须相应调整记号，不能再机械重复因子 \(2\)。

Figure 4.1 — 线弹性储能密度是加载直线下的三角形面积。

Worked Example 4 — Energy stored in a rod / 杆内弹性能

均匀杆 \(L=1.50\ \mathrm m\)、\(A=200\ \mathrm{mm^2}=2.00\times10^{-4}\ \mathrm{m^2}\)、\(E=200\ \mathrm{GPa}\)，受轴向拉力 \(F=20.0\ \mathrm{kN}\)。

\[\sigma=F/A=100\ \mathrm{MPa}, \qquad \varepsilon=\sigma/E=5.00\times10^{-4}.\]

\[u=\frac{\sigma^2}{2E}=2.50\times10^4\ \mathrm{J/m^3}.\]

杆体积 \(AL=3.00\times10^{-4}\ \mathrm{m^3}\)，总能量

\[U=uAL=7.50\ \mathrm J.\]

独立检查：伸长 \(\delta=FL/(AE)=0.750\ \mathrm{mm}\)，而 \(U=\tfrac12F\delta=7.50\ \mathrm J\)，一致。

Knowledge 5 — Poisson ratio and coupled deformation / 泊松比与耦合形变

Knowledge ID: P01-U06-L02-K05

5.1 拉长往往伴随变细

单轴应力 \(\sigma_x\) 下，泊松比定义为

\[\boxed{\nu=-\frac{\varepsilon_{\mathrm{trans}}}{\varepsilon_{\mathrm{axial}}}}.\]

对各向同性线弹性材料：

\[\varepsilon_x=\frac{\sigma_x}{E}, \qquad \varepsilon_y=\varepsilon_z=-\nu\frac{\sigma_x}{E}.\]

所以一阶体积应变为

\[\varepsilon_v=(1-2\nu)\frac{\sigma_x}{E}.\]

注意“单轴应力”不等于“单轴应变”：自由侧面给 \(\sigma_y=\sigma_z=0\)，但横向应变通常不为零；若横向被夹住，反而会产生横向应力。

Figure 5.1 — 虚线为原尺寸；横向收缩是泊松耦合而非另加横向载荷。

三维各向同性柔度形式为

\[\varepsilon_x=\frac{1}{E} \left[\sigma_x-\nu(\sigma_y+\sigma_z)\right],\]

并循环置换 \(x,y,z\)；剪切部分为 \(\gamma_{xy}=\tau_{xy}/G\)。这揭示某方向应变由三个法向应力共同决定。

Figure 5.2 — 单轴应力在三维产生一正两负三个正应变分量。

Worked Example 5 — Diameter and volume change / 直径与体积变化

圆柱直径 \(d_0=20.0\ \mathrm{mm}\)，轴向拉应力 \(\sigma=120\ \mathrm{MPa}\)；\(E=200\ \mathrm{GPa}\)，\(\nu=0.300\)。

\[\varepsilon_x=\frac{120\times10^6}{200\times10^9} =6.00\times10^{-4},\]

\[\varepsilon_d=-\nu\varepsilon_x=-1.80\times10^{-4}.\]

直径变化

\[\Delta d=d_0\varepsilon_d =-3.60\times10^{-3}\ \mathrm{mm}.\]

体积应变

\[\varepsilon_v=(1-2\nu)\varepsilon_x =2.40\times10^{-4}.\]

虽直径减小，长度增加占优，体积仍略增。此结果只在小应变、自由侧面和均匀单轴应力下成立。

6. Lesson synthesis / 全课整合

6.1 Formula and model-selection table

6.2 Model boundaries / 模型边界

• Point versus average: \(N/A\) does not resolve stress concentrations near holes, notches, grips or load introduction.
• Small versus finite strain: \(du/dx\) and \(\varepsilon_v=\operatorname{tr}\varepsilon\) omit nonlinear geometric terms.
• Linear versus elastic: 弹性只要求卸载后恢复；弹性关系也可以非线性。
• Isotropic versus anisotropic: 木材、晶体、层合板不同方向的模量和泊松耦合不同。
• Material versus structure: \(E\) 是材料常数（在给定温度、速率与状态下），\(EA/L\) 才是杆的结构刚度。
• Rate and temperature: 聚合物的“模量”常随加载时间和温度改变，见下一课。

7. Misconception clinic / 易错概念诊所

8. Practice and retrieval / 练习与检索

A. Conceptual questions

1. 为什么“某点应力为 \(50\ \mathrm{MPa}\)”若不说明方向通常不完整？
2. 解释平均应力与点应力的区别。
3. 刚体小转动为什么不应产生小应变？
4. 工程剪应变与张量剪应变为何相差因子 \(2\)？
5. 单轴应力试验中为什么会出现三个非零正应变？
6. 为什么 \(G=E/[2(1+\nu)]\) 不能用于任意复合材料？

B. Quantitative and derivation questions

7. \(12.0\ \mathrm{kN}\) 轴向拉力作用于 \(150\ \mathrm{mm^2}\) 截面，求平均正应力。
8. 长 \(0.800\ \mathrm m\) 的杆伸长 \(0.240\ \mathrm{mm}\)，求工程应变。
9. 高 \(40.0\ \mathrm{mm}\) 的块顶面侧移 \(0.600\ \mathrm{mm}\)，求 \(\gamma\) 与 \(\varepsilon_{xy}\)。
10. \(E=210\ \mathrm{GPa},\nu=0.30\) 的各向同性材料，求 \(G\) 和 \(K\)。
11. 单轴应力 \(80.0\ \mathrm{MPa}\)、\(E=200\ \mathrm{GPa}\)，求弹性能密度。
12. 一圆杆直径 \(10.0\ \mathrm{mm}\)，轴向应变 \(8.0\times10^{-4}\)，\(\nu=0.25\)，求直径变化和体积应变。

Exit ticket

一个材料在单轴拉伸中测得 \(\varepsilon_x=10^{-3}\)、\(\varepsilon_y=\varepsilon_z=-3\times10^{-4}\)。求 \(\nu\) 与体积应变，并指出从这些数据 alone 能否断言材料各向同性。

9. References and source notes / 参考资料与使用说明

9.1 Source-to-content map

来源最后核对：2026-08-20。正文、数值例题与全部 TikZ 均为重新推导和原创绘制。