静力平衡

Learning objectives / 学习目标

完成本课后，你应当能够：

1. 从线动量和角动量平衡写出三维刚体的六个独立静力方程，并正确退化到二维三个方程。
2. 证明平衡时力矩方程与取矩点无关，并选择能消去未知反力的取矩点。
3. 用积分把线分布载荷化为等效合力与正确作用线，识别不能只用一个力替代的力偶。
4. 用重力作用线与支承域判断倾覆，并把倾覆与滑动作为两个不同失效模式比较。
5. 根据滚子、铰、固支和二力杆的理想化模型列出反力；分析简单梁与平面桁架。
6. 说明静定性、稳定性、刚体近似及支座模型的边界。

Prerequisites / 先修知识

• 受力分析与自由体图：只把环境对所选系统的外作用画入账本。
• 力矩的矢量定义：会使用 \(\mathbf M_O=\mathbf r\times\mathbf F\) 与右手定则。
• 需要矢量分解、一次积分、面积形心和基本三角函数；连续载荷只回顾必要积分，不重复前课正文。

0. Notation and modeling contract / 记号与建模协议

静力题首先要写清楚“系统边界”。对所选系统，只画环境施加的外力与外力偶；把结构切开时，切面上的 \(N,V,M\) 才成为该部分的外作用。完整结构内部成员之间的力不能重复画到整体自由体图上。

Figure 0.1 — 系统隔离：力有作用线，力偶没有唯一作用点。

Knowledge 1 — Translational and rotational equilibrium conditions / 平动与转动平衡条件

Knowledge ID: P01-U06-L01-K01

1.1 从动量定律到六个独立方程

对定质量刚体，质心平动和关于质心的转动分别满足

\[\sum \mathbf F_{\mathrm{ext}}=m\mathbf a_G, \qquad \sum \mathbf M_G=\frac{d\mathbf H_G}{dt}.\]

静力平衡要求物体在所选参考系中保持静止，因此 \(\mathbf a_G=\mathbf 0\) 且角动量不变：

\[\boxed{\sum \mathbf F=\mathbf 0}, \qquad \boxed{\sum \mathbf M_O=\mathbf 0}.\]

在三维中，这是六个独立标量方程：

\[\sum F_x=\sum F_y=\sum F_z=0, \qquad \sum M_x=\sum M_y=\sum M_z=0.\]

若所有力与几何都在 \(xy\) 平面，只有 \(F_x,F_y,M_z\) 非平凡，故二维刚体只有三个独立平衡方程。不能把同一力矩方程换几个取矩点就当作无限多个独立方程。

Figure 1.1 — 三维刚体平衡共有六个独立分量条件。

1.2 取矩点为何可以自由选择

从点 \(A\) 改到点 \(B\)，定义 \(\mathbf r_{AB}:=\mathbf r_B-\mathbf r_A\) 为由 \(A\) 指向 \(B\) 的位置矢量，则外力系的矩满足

\[\sum\mathbf M_B =\sum\mathbf M_A-\mathbf r_{AB}\times\sum\mathbf F.\]

一旦 \(\sum\mathbf F=0\)，两点的合矩相同。所以完整平衡中可把取矩点放在两个未知反力作用线的交点，以直接消去它们。反过来，若只验证了某一点 \(\sum M_O=0\)，却未验证 \(\sum\mathbf F=0\)，不能断言物体平衡。

力偶 \(\mathbf M_c\) 是自由向量：把它画在图上不同位置不会改变对任何点的矩。单个力则不能随意平移；若把力平移距离，必须附加力偶保持静力等效。

Worked Example 1 — Sign and pivot check / 符号与取矩点检查

长 \(4.00\ \mathrm m\) 的水平均匀梁在左端铰支、右端滚支，自重 \(600\ \mathrm N\)，在距左端 \(3.00\ \mathrm m\) 处另有 \(400\ \mathrm N\) 向下载荷。求反力。

以左铰 \(A\) 取矩：

\[4B_y-600(2)-400(3)=0 \quad\Rightarrow\quad B_y=600\ \mathrm N.\]

竖直平衡给

\[A_y+B_y-600-400=0 \quad\Rightarrow\quad A_y=400\ \mathrm N,\]

且 \(A_x=0\)。改以 \(B\) 点取矩得 \(-4A_y+600(2)+400(1)=0\)，仍有 \(A_y=400\ \mathrm N\)，构成独立回查。单位、方向和总竖向力均一致。

Knowledge 2 — Distributed loads and equivalent forces / 分布载荷与等效力

Knowledge ID: P01-U06-L01-K02

2.1 合力是载荷图面积，作用线由一阶矩决定

作用于 \(a\le x\le b\) 的竖直线载荷 \(w(x)\) 可看成微元力 \(dF=w(x)\,dx\)。若合力非零，等效集中力与作用位置为

\[R=\int_a^b w(x)\,dx, \qquad \bar x=\frac{\int_a^b xw(x)\,dx}{\int_a^b w(x)\,dx}.\]

\(R\) 是 \(w\)--\(x\) 图的带符号面积，\(R\bar x\) 是其对原点的一阶矩。只算面积、不算作用线，会保住合力却破坏合矩。

Figure 2.1 — 一般分布载荷的等效合力同时匹配总力和总矩。

均布载荷 \(w_0\) 在长度 \(L\) 上等效为 \(w_0L\)，作用于中点。由零端线性增到 \(w_0\) 的三角载荷等效为 \(w_0L/2\)，作用于距零端 \(2L/3\)（距最大端 \(L/3\)）处。

Figure 2.2 — 三角载荷合力穿过载荷图三角形的形心。

2.2 更一般的力—力偶等效

对面力、体力或任意离散力系，先在参考点 \(O\) 保留

\[\mathbf R=\int d\mathbf F, \qquad \mathbf M_O=\int \mathbf r\times d\mathbf F+\sum\mathbf M_c.\]

若 \(\mathbf R=0\) 但 \(\mathbf M_O\ne0\)，系统是纯力偶，不存在可替代它的单一集中力。三维中即使 \(\mathbf R\ne0\)，若 \(\mathbf R\cdot\mathbf M_O\ne0\)，一般也不能仅靠改变一条作用线消去全部矩；需要保留沿合力方向的剩余力偶。

Worked Example 2 — A triangular snow load / 三角形雪载

简支梁长 \(6.00\ \mathrm m\)，向下载荷从左端 \(0\) 线性增至右端 \(9.00\ \mathrm{kN/m}\)。合力

\[R=\frac12(6.00)(9.00)=27.0\ \mathrm{kN},\]

作用于距左端 \(2L/3=4.00\ \mathrm m\)。设支反力为 \(A_y,B_y\)：

\[6B_y-27(4)=0\Rightarrow B_y=18.0\ \mathrm{kN},\]

\[A_y=27.0-18.0=9.00\ \mathrm{kN}.\]

较大反力位于载荷较强的右侧，符合极限与方向判断。若误把合力放在中点，会错误得到相等反力。

Knowledge 3 — Center of gravity and tipping stability / 重心与倾覆稳定性

Knowledge ID: P01-U06-L01-K03

3.1 重心不是永远等于质心

离散重力 \(m_i\mathbf g_i\) 的合力作用点由力矩等效定义。若 \(\mathbf g\) 在物体尺度内可视为均匀，则

\[\mathbf r_G =\frac{\sum_i m_i\mathbf r_i}{\sum_i m_i} =\mathbf r_{\mathrm{CM}}.\]

在显著非均匀引力场中，“重心”可能依姿态而变，不能无条件与质心等同。本课日常尺度均采用均匀重力。

3.2 支承域与倾覆边界

静止物体与水平地面接触时，分布法向力的合力作用点必须落在接触面的凸包（support polygon，支承域）内。重力作用线投影在域内时可存在非负法向压力；到达边缘时另一侧法向力降为零，进入临界倾覆；投影越界后，假设“整个底面仍接触”已自相矛盾。

Figure 3.1 — 重力作用线到支承边缘的距离是一个直接的倾覆裕度。

对宽 \(b\)、重心高 \(h\) 的箱体，在重心处施加水平力 \(P\)，以将要离地的一侧底边取矩：

\[P_{\mathrm{tip}}h=mg\frac b2, \qquad P_{\mathrm{tip}}=\frac{mgb}{2h}.\]

但箱体也可能先滑动，最大静摩擦约为 \(P_{\mathrm{slide}}=\mu_smg\)。比较两个阈值，较小者对应首先发生的模式。

Figure 3.2 — 临界倾覆时法向合力移到边缘；滑动阈值必须另行比较。

Figure 3.3 — 透视示意：重心 \(G\) 位于支承面上方，其重力线在支承面上的投影必须位于接触点凸包内。

Worked Example 3 — Tip or slide first? / 先倾覆还是先滑动

质量 \(80.0\ \mathrm{kg}\)、底宽 \(0.800\ \mathrm m\)、重心高 \(1.20\ \mathrm m\) 的柜子受过重心的水平推力，\(\mu_s=0.40\)。取 \(g=9.81\ \mathrm{m/s^2}\)。

\[P_{\mathrm{tip}} =\frac{(80.0)(9.81)(0.800)}{2(1.20)} =261.6\ \mathrm N,\]

\[P_{\mathrm{slide}}=\mu_smg =0.40(80.0)(9.81)=313.9\ \mathrm N.\]

因此理想刚体模型预测先倾覆。临界时背离转轴一侧的法向力为零；不能继续使用 \(N\) 均匀分布的假设。

Knowledge 4 — Trusses, beams, and support reactions / 桁架、梁与支座反力

Knowledge ID: P01-U06-L01-K04

4.1 支座反力来自“被禁止的运动”

二维理想模型中：光滑滚子禁止法向平移，给一个法向反力；铰支禁止两个方向平移，给 \(A_x,A_y\)，但允许转动；固支同时禁止两向平移和转动，给 \(A_x,A_y,M_A\)。绳只拉不推；二力杆两端力必须等大、反向且沿杆轴。

Figure 4.1 — 二维滚子、铰和固支的理想约束反力。

Figure 4.2 — 理想平面桁架：每根直杆在无中间载荷时是二力构件。

平面桁架可用节点法逐节点写 \(\sum F_x=0,\sum F_y=0\)；截面法切过不多于三个未知杆件，以整体平衡快速求指定杆力。对简单平面桁架，计数条件

\[m+r=2j\]

是静定的必要条件之一，其中 \(m\) 为杆数、\(r\) 为外反力分量数、\(j\) 为节点数；几何退化或布局不稳定时，即使计数相等也可能成为机构，因此它不是充分条件。

梁承受横向载荷时，切面一般出现剪力 \(V\) 与弯矩 \(M\)；桁架杆在理想假设下只承受轴向拉压。把真实焊接框架误画成理想铰接桁架，会漏掉弯矩传递。

Figure 4.3 — 梁的整体反力与切面内力属于两个不同层次的自由体图。

Worked Example 4 — Symmetric triangular truss / 对称三角桁架

等腰桁架跨距 \(6.00\ \mathrm m\)、高 \(4.00\ \mathrm m\)，顶点受 \(10.0\ \mathrm{kN}\) 向下载荷，两斜杆与水平夹角满足 \(\sin\theta=4/5\)。对称性给 \(A_y=B_y=5.00\ \mathrm{kN}\)、\(A_x=0\)。

在顶节点，假设两斜杆均受拉并把杆力画成离开节点。竖直平衡为

\[-2T\sin\theta-10.0=0 \quad\Rightarrow\quad T=-\frac{10.0}{2(4/5)}=-6.25\ \mathrm{kN}.\]

负号表示初始“受拉”假设相反，两斜杆实际各受 \(6.25\ \mathrm{kN}\) 压缩。在左底节点，水平平衡给底杆拉力

\[F_b=6.25\cos\theta=6.25(3/5)=3.75\ \mathrm{kN}.\]

节点竖向分量 \(6.25(4/5)=5.00\ \mathrm{kN}\) 正好匹配支反力，完成回查。

5. Lesson synthesis / 全课整合

5.1 A reliable statics workflow / 静力分析工作流

Figure 5.1 — 静力题不是“套三个式子”，而是从约束模型到独立回查的完整链条。

5.2 Formula and decision table / 公式与决策表

5.3 Model boundaries / 模型边界

• Rigid body: 本课先忽略形变；下一课说明反力会产生应力和应变。
• Ideal support: 真实铰可能传递摩擦矩，真实固支会有柔度和局部应力集中。
• Quasi-static: 缓慢加载不等于任何时刻都严格静止；若惯性力不可忽略，必须回到动力学。
• Two-force member: 仅当杆件只有两个端部力、无中间载荷或端矩时成立。
• Static determinacy: 平衡方程只能求静定结构；超静定结构还需要形变协调与本构关系。
• Tipping: 支承域判据假设接触只能推不能拉；锚栓可提供拉力时模型会改变。

6. Misconception clinic / 易错概念诊所

7. Practice and retrieval / 练习与检索

A. Conceptual questions

1. 为什么静力平衡必须在一个明确参考系中陈述？
2. 若 \(\sum\mathbf F=0\)，证明合矩与取矩点无关。
3. 一对等大反向但不共线的力为何不能由单个零力替代？
4. 二维滚子、铰、固支各有几个未知反力分量？
5. 解释“重力投影到支承域边缘”在接触力上的物理含义。
6. 为什么桁架计数条件 \(m+r=2j\) 不是稳定性的充分条件？

B. Quantitative and derivation questions

7. 长 \(5.0\ \mathrm m\) 的简支梁承受 \(2.0\ \mathrm{kN/m}\) 均布载荷，求两端反力。
8. 长 \(4.0\ \mathrm m\) 的梁承受从左端 \(6.0\ \mathrm{kN/m}\) 线性降为右端零的载荷，求合力及距左端的位置。
9. 底宽 \(0.60\ \mathrm m\)、重心高 \(0.90\ \mathrm m\)、质量 \(50\ \mathrm{kg}\) 的箱体，求过重心水平推力的倾覆阈值。
10. 上题若 \(\mu_s=0.25\)，判断先滑还是先倒。
11. 对三角桁架顶节点，两根相同斜杆与水平夹角 \(30^\circ\)，顶载 \(12\ \mathrm{kN}\)，求每根斜杆力及拉压性质。
12. 一个二维刚体有铰支与固支各一个。仅靠三个平衡方程能否求出所有反力？说明原因。

Exit ticket

一条向下载荷 \(w(x)=w_0x/L\) 作用在 \(0\le x\le L\)。不查表，写出其合力大小、作用位置，并说明若把它错误放在 \(L/2\) 会破坏哪个静力等效量。

8. References and source notes / 参考资料与使用说明

8.1 Source-to-content map

来源最后核对：2026-08-20。正文、例题和全部 TikZ 均依据上述原理重新推导与原创绘制；图不是来源页面的复制。