学习目标 / Learning objectives
- 用物质导数区分局部变化与对流变化，并把积分守恒局部化。
- 从 Cauchy 动量方程与 Newtonian 本构得到 Euler、不可压缩 Navier–Stokes 方程，辨认每一项的物理意义和边界条件。
- 计算涡量与环流，使用 Stokes 定理并准确陈述 Kelvin 环流定理的条件。
- 用 Young–Laplace 和 Young 接触角关系分析曲面压差、润湿与毛细上升。
- 写出可压缩质量—动量—能量守恒，解释声速、Mach 数、非线性波陡化与 Rankine–Hugoniot 跃迁。
先修知识 / Prerequisites
- 连续性与 Bernoulli、黏性应力与 Reynolds 数。
- 会使用梯度、散度、旋度、Gauss 定理与 Stokes 定理。
范围、约定与建模契约 / Scope, conventions, and modeling contract
- 固定惯性系，坐标 \(\mathbf x\)，速度 \(\mathbf v(\mathbf x,t)\)；\(D/Dt\) 跟随物质粒子，\(\partial/\partial t\) 固定空间点。
- Cauchy 应力采用拉为正：\(\boldsymbol\sigma=-p\mathbf I+\boldsymbol\tau\)。体力加速度写 \(\mathbf b\)，例如重力。
- 除可压缩小节外，Navier–Stokes 示例假设 \(\rho,\mu\) 常量且 \(\nabla\cdot\mathbf v=0\)。
- 界面法向从“内相”指向“外相”；Young–Laplace 的曲率符号在不同教材中不同，本文对半径 \(R>0\) 的球滴定义 \(p_{\rm in}-p_{\rm out}=2\gamma/R\)。
- 激波视为零厚度弱间断只用于宏观守恒；真实厚度由黏性、导热和分子尺度决定。
符号表 / Notation
| 符号 | 定义 | SI 单位 |
|---|---|---|
| \(D/Dt\) | 物质导数 | \(\mathrm{s^{-1}}\) 乘所作用量单位 |
| \(\boldsymbol\sigma\) | Cauchy 应力张量 | Pa |
| \(\mathbf D\) | 应变率张量 | \(\mathrm{s^{-1}}\) |
| \(\boldsymbol\omega=\nabla\times\mathbf v\) | 涡量 | \(\mathrm{s^{-1}}\) |
| \(\Gamma=\oint_C\mathbf v\cdot d\boldsymbol\ell\) | 环流 | \(\mathrm{m^2\,s^{-1}}\) |
| \(\gamma\) | 表面张力 | \(\mathrm{N\,m^{-1}}=\mathrm{J\,m^{-2}}\) |
| \(c\) | 等熵小扰动声速 | \(\mathrm{m\,s^{-1}}\) |
| \(M=v/c\) | Mach 数 | 1 |
Knowledge 1 — Material derivative and local conservation laws / 物质导数与局部守恒律
Knowledge ID: P01-U08-L04-K01
1.1 固定观察与随体观察
标量场 \(\phi(\mathbf x,t)\) 沿粒子轨迹 \(\mathbf X(t)\) 的变化率由链式法则给出：
\[\boxed{\frac{D\phi}{Dt}=\frac{\partial\phi}{\partial t}+\mathbf v\cdot\nabla\phi}.\]
第一项是固定点的局部变化，第二项是粒子穿过空间梯度产生的对流变化。对速度本身，
\[\mathbf a=\frac{D\mathbf v}{Dt} =\frac{\partial\mathbf v}{\partial t}+(\mathbf v\cdot\nabla)\mathbf v.\]
因此稳恒流 \(\partial_t\mathbf v=0\) 中粒子仍可有非零加速度，例如弯曲流线或收缩喷嘴。
图 1：物质导数把 Eulerian 场与 Lagrangian 粒子经历连接起来；橙线是物质轨迹。
Worked Example 1 — 稳恒温度场中的粒子升温
已知： 二维稳恒场 \(T(x,y)=300+4x-2y\ \mathrm K\)（\(x,y\) 以 m 代入），速度 \(\mathbf v=(3\mathbf e_x+1\mathbf e_y)\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)。
研究对象： 随流体运动的一小团物质。
模型： 给定光滑场，不考虑该温度场如何由能量方程维持。
\[\frac{DT}{Dt}=\underbrace{\frac{\partial T}{\partial t}}_{0} +\mathbf v\cdot\nabla T =(3)(4)+(1)(-2)=10\ \mathrm{K\,s^{-1}}.\]
场在固定点不随时间变，但粒子进入更热区域而升温。单位检查：\(\mathrm{m\,s^{-1}}\times\mathrm{K\,m^{-1}}=\mathrm{K\,s^{-1}}\)。
1.2 从积分账到局部守恒
对固定控制体，若单位质量性质为 \(b\)、非对流通量为 \(\mathbf j_b\)、体源为 \(s_b\)，可写统一形式
\[\frac{\partial(\rho b)}{\partial t} +\nabla\cdot(\rho b\mathbf v+\mathbf j_b)=s_b.\]
质量取 \(b=1\)、\(\mathbf j_b=\mathbf0\)、\(s_b=0\)，得到
\[\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\mathbf v)=0.\]
局部化要求积分平衡对任意控制体成立；跨激波等间断处，微分式逐点失去经典意义，但积分守恒仍定义其弱解和跃迁条件。
图 2：控制体可任意缩小，因而积分账转为局部守恒；红箭表示体源，不是面通量。
Knowledge 2 — Euler and Navier–Stokes equations / 欧拉与纳维—斯托克斯方程
Knowledge ID: P01-U08-L04-K02
2.1 Cauchy 动量方程
对物质体应用线动量守恒，局部化后得到
\[\boxed{\rho\frac{D\mathbf v}{Dt}=\nabla\cdot\boldsymbol\sigma+\rho\mathbf b}.\]
这是守恒结构；要闭合问题，还需本构关系、状态方程、质量/能量方程和边界初值。对 Newtonian 流体，
\[\boldsymbol\sigma=-p\mathbf I+2\mu\mathbf D +\lambda(\nabla\cdot\mathbf v)\mathbf I.\]
图 3：动量变化由边界应力通量与体力共同造成；箭头是面力和体力，不是速度。
2.2 Euler 与不可压缩 Navier–Stokes
无黏 \(\boldsymbol\tau=\mathbf0\) 时：
\[\rho\frac{D\mathbf v}{Dt}=-\nabla p+\rho\mathbf b \qquad\text{(Euler)}.\]
常 \(\rho,\mu\)、不可压缩时：
\[\boxed{ \rho\left[\frac{\partial\mathbf v}{\partial t}+(\mathbf v\cdot\nabla)\mathbf v\right] =-\nabla p+\mu\nabla^2\mathbf v+\rho\mathbf b, \qquad \nabla\cdot\mathbf v=0 }\]
Euler 方程不是“没有摩擦的 Bernoulli 公式”，而是局部矢量动量方程；Bernoulli 是它在进一步稳恒、沿流线等条件下的积分。
图 4：Navier–Stokes 是加速度与三类驱动/扩散项的局部平衡；“项小”必须由尺度分析而非愿望判断。
Worked Example 2 — 由速度场求压强梯度
已知： 稳恒不可压缩无黏流 \(\mathbf v=(ax)\mathbf e_x-(ay)\mathbf e_y\)，忽略体力，\(a=2.00\ \mathrm{s^{-1}}\)。求点 \((x,y)=(0.300,0.400)\ \mathrm m\) 的物质加速度与压强梯度。
模型： Euler 方程，二维光滑场。
\[(\mathbf v\cdot\nabla)\mathbf v =a^2x\mathbf e_x+a^2y\mathbf e_y,\]
因此
\[\mathbf a=(1.20\mathbf e_x+1.60\mathbf e_y)\ \mathrm{m\,s^{-2}}.\]
Euler 方程给
\[\nabla p=-\rho\mathbf a.\]
若 \(\rho=1000\ \mathrm{kg\,m^{-3}}\)，则 \(\nabla p=(-1200\mathbf e_x-1600\mathbf e_y)\ \mathrm{Pa\,m^{-1}}\)。散度 \(a-a=0\)，与不可压缩条件一致；加速度非零说明“稳恒”不等于“无加速度”。
Knowledge 3 — Vorticity and circulation / 涡量与环流
Knowledge ID: P01-U08-L04-K03
3.1 局部旋转与有限回路
涡量定义为
\[\boldsymbol\omega=\nabla\times\mathbf v.\]
在局部刚体转动 \(\mathbf v=\boldsymbol\Omega\times\mathbf r\) 中，\(\boldsymbol\omega=2\boldsymbol\Omega\)。环流定义为
\[\Gamma=\oint_C\mathbf v\cdot d\boldsymbol\ell.\]
Stokes 定理把二者联系：
\[\Gamma=\int_S\boldsymbol\omega\cdot\mathbf n\,dA.\]
图 5：刚体涡旋处处有均匀涡量；理想自由涡旋在核心外可无旋，却对围住核心的回路有非零环流。
图 6：回路取向与面法向按右手规则配对；改变取向会同时改变两个积分的符号。
3.2 Kelvin 环流定理及边界
对随流体运动的闭合物质回路 \(C(t)\)，若流体无黏、barotropic（\(p=p(\rho)\)）且体力保守，则
\[\frac{d\Gamma}{dt}=0.\]
黏性、非 barotropic 压强—密度结构、非保守体力或穿过激波都会产生/改变环流。Kelvin 定理不说“所有流动的环流恒定”，也不适用于任意固定空间回路。
图 7：Kelvin 定理跟踪同一组流体粒子组成的物质回路，允许回路形状改变。
Worked Example 3 — 刚体转动的涡量与环流
已知： \(\mathbf v=(-\Omega y)\mathbf e_x+(\Omega x)\mathbf e_y\)，\(\Omega=3.00\ \mathrm{s^{-1}}\)。求涡量及半径 \(R=0.200\ \mathrm m\) 圆周的逆时针环流。
约定： 圆面法向 \(+z\)，边界逆时针。
\[\boldsymbol\omega=\left(\frac{\partial v_y}{\partial x}-\frac{\partial v_x}{\partial y}\right)\mathbf e_z =2\Omega\mathbf e_z=6.00\mathbf e_z\ \mathrm{s^{-1}}.\]
由 Stokes 定理
\[\Gamma=\omega_z\pi R^2 =(6.00)\pi(0.200)^2 =0.754\ \mathrm{m^2\,s^{-1}}.\]
直接积分 \(v_\theta=\Omega R\) 也得 \(\Gamma=2\pi R(\Omega R)\)，两种方法一致。
Knowledge 4 — Surface tension, contact angle, and capillarity / 表面张力、接触角与毛细现象
Knowledge ID: P01-U08-L04-K04
4.1 界面自由能与曲率压差
表面张力 \(\gamma\) 既可看作界面内每单位长度的拉力，也可看作恒温可逆增加单位面积所需自由能。两主曲率半径为 \(R_1,R_2\) 时，Young–Laplace 关系为
\[p_{\rm in}-p_{\rm out}=\gamma\left(\frac1{R_1}+\frac1{R_2}\right).\]
球滴给 \(2\gamma/R\)；肥皂泡有内外两层界面，在薄膜两侧外压相同的理想模型中总压差为 \(4\gamma/R\)。不能漏掉界面数。
图 8：曲率界面允许法向应力跳跃；球半径越小，保持曲率所需的内外压差越大。
4.2 接触角与毛细上升
理想光滑、均匀固体表面上的平衡接触角 \(\theta\)（从液体一侧量）满足 Young 关系
\[\gamma_{SG}=\gamma_{SL}+\gamma_{LG}\cos\theta.\]
半径 \(r\) 的圆毛细管中，若忽略弯月面体积与接触角滞后，竖直表面张力与液柱重量平衡：
\[2\pi r\gamma\cos\theta=\rho g\pi r^2h,\]
\[\boxed{h=\frac{2\gamma\cos\theta}{\rho gr}}.\]
\(\theta<90^\circ\) 时上升，\(\theta>90^\circ\) 时 \(h<0\) 表示下降。
图 9：润湿液体的弯月面与竖直表面张力分量托住液柱；箭头为接触线合力的二维截面示意。
Worked Example 4 — 水在细玻璃管中的毛细上升
已知： \(r=0.400\ \mathrm{mm}\)，\(\gamma=0.0720\ \mathrm{N\,m^{-1}}\)，\(\theta=20.0^\circ\)，\(\rho=998\ \mathrm{kg\,m^{-3}}\)。
研究对象： 管内高于外液面的液柱。
模型： 静态、圆管、均匀接触角，忽略弯月面体积与滞后。
\[h=\frac{2(0.0720)\cos20.0^\circ}{(998)(9.81)(4.00\times10^{-4})} =3.46\times10^{-2}\ \mathrm m.\]
毛细上升为 \(34.6\ \mathrm{mm}\)。\(r\) 减半则理想 \(h\) 加倍；若管径进入使连续介质或恒定 \(\gamma\) 失效的尺度，不能无限外推 \(1/r\)。
Knowledge 5 — Compressible flow and shock formation / 可压缩流与激波形成
Knowledge ID: P01-U08-L04-K05
5.1 守恒方程与声速
无黏、无热传导且无体力的一维/三维可压缩流需同时守恒质量、动量、总能量：
\[\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\mathbf v)=0,\]
\[\frac{\partial(\rho\mathbf v)}{\partial t} +\nabla\cdot(\rho\mathbf v\mathbf v+p\mathbf I)=\mathbf0,\]
\[\frac{\partial E}{\partial t}+\nabla\cdot[(E+p)\mathbf v]=0, \qquad E=\rho\left(e+\frac12v^2\right).\]
再加状态方程闭合。小幅等熵扰动声速为
\[c^2=\left(\frac{\partial p}{\partial\rho}\right)_s, \qquad M=\frac{v}{c}.\]
当有限振幅压缩波的高压部分传播更快时，波形会逐渐陡化；耗散把数学多值趋势替换为薄激波。
图 10：有限振幅压缩波的特征速度随状态变化，前沿可陡化；曲线为机制示意而非特定气体数值解。
5.2 激波跃迁条件
在激波静止参考系中，一维平面稳态跃迁由积分守恒得到
\[\rho_1u_1=\rho_2u_2=j,\]
\[p_1+\rho_1u_1^2=p_2+\rho_2u_2^2,\]
\[h_1+\frac12u_1^2=h_2+\frac12u_2^2.\]
还需状态方程与熵增条件选出物理解。理想气体正常激波通常是上游超声速、下游亚声速，总温在绝热无功模型中保持而总压下降。不能仅用质量和动量两式随意指定所有上下游状态。
图 11：在激波固定系中，质量、动量和能量通量跨薄层连续；速度箭长定性表示常见正常激波后的减速。
Worked Example 5 — 仅用质量与动量检查候选跃迁
已知： 激波固定系中 \(\rho_1=1.00\ \mathrm{kg\,m^{-3}}\)、\(u_1=600\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)、\(p_1=80.0\ \mathrm{kPa}\)；候选下游密度 \(\rho_2=2.00\ \mathrm{kg\,m^{-3}}\)。
目标： 由质量、动量求候选 \(u_2,p_2\)，并说明还缺什么。
模型： 一维稳态平面间断，无外力。
\[u_2=\frac{\rho_1u_1}{\rho_2}=300\ \mathrm{m\,s^{-1}},\]
\[p_2=p_1+\rho_1u_1^2-\rho_2u_2^2 =80.0\ \mathrm{kPa}+360\ \mathrm{kPa}-180\ \mathrm{kPa} =260\ \mathrm{kPa}.\]
质量和动量通量闭合，且密度、压强升高、速度降低，符合压缩激波的定性趋势。但这仍不能证明候选状态物理可行；必须用能量方程、状态方程和熵增检查温度与 Mach 数。
课程综合 / Lesson synthesis
本课把流体模型组织成“守恒 + 本构 + 状态 + 边界/初值”：
- 物质导数给粒子加速度；
- 局部质量、动量和能量方程提供守恒骨架；
- \(\boldsymbol\sigma(\mathbf D)\) 与 \(p(\rho,e)\) 等关系闭合未知量；
- 涡量揭示速度梯度的旋转部分，环流把它积分到有限回路；
- 界面需要额外应力跳跃与接触线条件；
- 光滑解失效形成激波时，回到积分守恒选择弱解。
公式—决策表 / Formula-and-decision table
| 目的 | 关系 | 使用条件 |
|---|---|---|
| 跟随粒子求变化 | \(D/Dt=\partial_t+\mathbf v\cdot\nabla\) | 光滑 Eulerian 场 |
| 局部动量守恒 | \(\rho D\mathbf v/Dt=\nabla\cdot\boldsymbol\sigma+\rho\mathbf b\) | 连续介质；需本构闭合 |
| 不可压缩 NS | \(\rho D\mathbf v/Dt=-\nabla p+\mu\nabla^2\mathbf v+\rho\mathbf b\) | 常 \(\rho,\mu\)、Newtonian、\(\nabla\cdot\mathbf v=0\) |
| 涡量—环流 | \(\Gamma=\int_S\boldsymbol\omega\cdot\mathbf n\,dA\) | 回路与法向按右手规则 |
| Kelvin 定理 | \(d\Gamma/dt=0\) | 物质回路、无黏、barotropic、保守体力 |
| 曲率压差 | \(\Delta p=\gamma(1/R_1+1/R_2)\) | 静态界面、均匀 \(\gamma\)、本文曲率约定 |
| 毛细高度 | \(h=2\gamma\cos\theta/(\rho gr)\) | 圆管、静态、忽略滞后与弯月面体积 |
| 激波跃迁 | 质量、动量、能量通量连续 | 激波固定系、稳态一维；另需状态方程和熵条件 |
模型边界 / Model boundaries
- 连续介质方程在 Knudsen 数不小时需滑移或动理学修正。
- Newtonian 本构不是由动量守恒推导的，而是材料模型；复杂流体需其他本构。
- Navier–Stokes 的确定性瞬时解不等于湍流统计已闭合；RANS 仍需模型。
- Kelvin 定理的物质回路、无黏、barotropic 与保守体力条件缺一不可。
- Young 接触角会受粗糙度、化学异质性、动态接触线与滞后影响。
- 激波零厚度模型不解析内部耗散，却必须满足熵增；跨激波不可使用不可压缩 Bernoulli。
误区诊所 / Misconception clinic
- “稳恒流的物质导数为零。” 错；对流项可非零。
- “Navier–Stokes 只有一个方程就能解所有流体。” 还需质量、能量、状态、本构和边界初值。
- “涡量为零就没有环流。” 若区域含奇异核心或非单连通，围绕核心的环流可非零。
- “Kelvin 定理适用于固定在实验室的任意圆圈。” 它跟踪物质回路。
- “小水滴内外压强相等，因为同高。” 曲面表面张力造成 Young–Laplace 跳跃。
- “激波处微分方程坏了，所以守恒也坏了。” 积分守恒仍成立并给跃迁条件；经典光滑微分形式改由弱解解释。
练习与提取 / Practice and retrieval
- K01： 写出标量物质导数，并分别解释两项。
- K01： 场 \(C(x,t)=C_0e^{-t/\tau}(1+x/L)\)，速度 \(v=U\)。求 \(DC/Dt\)。
- K02： 为什么 Euler 方程不能施加 no-slip 壁面条件来预测壁面剪力？
- K02： 给出不可压缩 Navier–Stokes 中每项的 SI 单位，并说明其共同物理量。
- K03： 二维速度 \(\mathbf v=(-ay)\mathbf e_x+(ax)\mathbf e_y\) 的涡量是多少？
- K03： 均匀涡量 \(\omega_z=4.0\ \mathrm{s^{-1}}\) 穿过面积 \(0.30\ \mathrm{m^2}\)、法向 \(+z\) 的面，求正向环流。
- K03： 列出 Kelvin 环流定理的四个核心条件。
- K04： 半径 \(1.00\ \mathrm{mm}\) 的水滴，\(\gamma=0.0720\ \mathrm{N\,m^{-1}}\)，求内外压差。
- K04： 若同一毛细管中接触角从 \(30^\circ\) 变到 \(120^\circ\)，毛细高度符号怎样改变？
- K05： 激波固定系中若 \(\rho_2=3\rho_1\)，由质量守恒求 \(u_2/u_1\)。
- 综合： 为什么正常激波候选状态只满足质量和动量还不够？还需哪些关系与不等式？
参考答案 / Answers
1. \(D\phi/Dt=\partial\phi/\partial t+\mathbf v\cdot\nabla\phi\)；前者为固定点局部变化，后者为粒子穿过空间梯度的对流变化。
2. \[\frac{DC}{Dt}=C_0e^{-t/\tau}\left[-\frac{1+x/L}{\tau}+\frac{U}{L}\right].\]
3. Euler 模型删除黏性剪应力，不能同时满足黏性 no-slip 并预测壁面剪力；通常只施加不可穿透条件，壁面层需黏性模型。
4. \(\rho D\mathbf v/Dt\)、\(-\nabla p\)、\(\mu\nabla^2\mathbf v\)、\(\rho\mathbf b\) 均为 \(\mathrm{N\,m^{-3}}\)，即单位体积力。
5. \(\omega_z=\partial_x(ax)-\partial_y(-ay)=2a\)。
6. \(\Gamma=\omega_zA=(4.0)(0.30)=1.2\ \mathrm{m^2\,s^{-1}}\)。
7. 回路为物质回路；流体无黏；barotropic；体力保守（并需场/回路足够规则）。
8. \(\Delta p=2\gamma/R=144\ \mathrm{Pa}\)。
9. \(h\propto\cos\theta\)；\(30^\circ\) 时上升，\(120^\circ\) 时为负、发生毛细下降。
10. \(\rho_1u_1=\rho_2u_2\)，所以 \(u_2/u_1=1/3\)。
11. 还需总能量守恒、状态方程闭合，并满足熵增条件；否则可能得到热力学不可能或反熵的候选状态。
Exit ticket
- 用一句话分别说明“守恒律”“本构关系”“状态方程”“边界条件”在连续介质模型中的角色。
- 选择涡量、毛细或激波之一，写出其核心方程及至少两个不能省略的成立条件。
参考资料与来源说明 / References and source notes
- MIT OpenCourseWare 8.09, Chapter 6: Fluid Mechanics — 连续性、物质导数、Cauchy 动量与 Navier–Stokes 框架。
- NASA Glenn, Euler Equations — 可压缩 Euler 质量、动量和能量方程及变量解释。
- MIT OpenCourseWare 16.01, Fluid Mechanics resources — 16.01 流体讲义总索引。
- MIT OpenCourseWare 16.01, F10 Substantial Derivative — 物质导数与 Eulerian/Lagrangian 描述。
- MIT OpenCourseWare 16.01, F11 Vorticity and Circulation — 涡量、应变率、环流与 Stokes 定理。
- MIT OpenCourseWare 16.01, F13 Stagnation Quantities and Introduction to Shock Waves — 停滞量与激波入门。
- MIT OpenCourseWare 16.01, F14 Speed of Sound and Normal Shocks — 声速与正常激波。
- MIT OpenCourseWare 16.01, F15 Mach Number and Normal Shocks — Mach 数与激波关系。
- MIT OpenCourseWare 16.01, F16 Shock Losses and Pitot Pressure — 激波损失、熵增与停滞压强。
- MIT OpenCourseWare 18.357, Interfacial Phenomena lecture notes — Young–Laplace、接触角、毛细静力学与尺度边界。
- MIT OpenCourseWare 2.26, Compressible Fluid Dynamics lecture notes — 激波守恒、Hugoniot 关系与有限振幅波陡化的进阶边界。
- MIT OpenCourseWare 2.25, Vorticity and Circulation — Kelvin 定理与涡量动力学来源导航。
所有图依据本文方程原创绘制，没有复制来源插图。来源于 2026-08-20 实际核对；高阶 MIT 资料只用于核验 UG2 结论与模型边界，正文没有引入其研究生层级推导细节。
Source-to-content map
| Source | Used for | Knowledge ID / Section | Model boundary or convention |
|---|---|---|---|
| MIT 8.09 Chapter 6 | 物质导数、局部守恒、NS | K01, K02 | 连续介质、Newtonian 特例 |
| NASA Euler Equations | 可压缩质量—动量—能量形式 | K02, K05 | 无黏；需状态方程闭合 |
| MIT 16.01 F10 direct resource | 对流导数 | K01 | 统一 Eulerian/Lagrangian 记号到本文 SI 约定 |
| MIT 16.01 F11 direct resource | 涡量、环流与 Stokes 定理 | K03 | 回路与法向遵循右手规则 |
| MIT 16.01 F13–F16 direct resources | 停滞量、声速、Mach 数、正常激波与损失 | K05 | 正常、稳恒、绝热控制体；熵增选取物理解；守恒骨架另由 NASA Euler 与 MIT 2.26 支撑 |
| MIT 18.357 notes | \(\Delta p=\gamma\kappa\)、接触角、毛细上升 | K04 | 静态、均匀表面张力；说明接触角边界 |
| MIT 2.26 notes | 跃迁守恒与波陡化 | K05 | 弱解、状态方程、熵条件 |
| MIT 2.25 vorticity unit | Kelvin 定理条件 | K03 | 物质回路、无黏、barotropic、保守体力 |
复习与拓展
- Unit 1.9 将把粒子/连续体的约束与守恒重新表达为广义坐标和作用量；本课的场论形式是后续连续系统分析的接口。
- 更高阶流体力学可继续学习湍流闭合、边界层渐近、自由界面稳定性和可压缩特征线。
- 复习时应从守恒骨架开始，而不是背诵互不相连的 Euler、Kelvin、Laplace 与激波公式。