广义坐标与变分原理

Learning objectives / 学习目标

完成本课后，你应当能够：

1. 用约束 Jacobian 的秩计算自由度，并区分完整、非完整、定常与随时间变化的约束。
2. 从嵌入映射 \(\mathbf r_a(\mathbf q,t)\) 写出实际速度和固定时刻的虚位移。
3. 在“理想约束”前提下由达朗贝尔原理消去约束反力，并构造广义力。
4. 精确表述 Hamilton's principle：真实轨迹使作用量 stationary / 驻定，不保证取得最小值。
5. 在固定端点与适当正则性条件下，由一阶变分推导 Euler–Lagrange 方程。
6. 对摆、Atwood machine 与旋转圆环等系统选择坐标、写出 \(L\) 并检查 SI 量纲。

0. Notation, dimensions, and logical route / 记号、量纲与逻辑路线

对 \(N\) 个质点，用 \(a=1,\ldots,N\) 标记粒子；每个 \(\mathbf r_a\in\mathbb R^3\)。用 \(i,j=1,\ldots,n\) 标记独立广义坐标。

Knowledge 1 — Degrees of freedom and holonomic constraints / 自由度与完整约束

Knowledge ID: P01-U09-L01-K01

1.1 Degrees of freedom are local independent directions

在无约束三维空间中，\(N\) 个质点有 \(3N\) 个位置坐标。若有 \(s\) 个彼此独立的完整约束

\[f_\alpha(\mathbf r_1,\ldots,\mathbf r_N,t)=0, \qquad \alpha=1,\ldots,s,\]

并且约束 Jacobian 对位置变量的秩为 \(s\)，则在正则点附近¹²

\[\boxed{n=3N-s}\]

个独立参数足以标记所有允许构型。这个结论是局部的：若 Jacobian 降秩、坐标图出现极点或约束面自交，就必须换坐标图或重新分析。

1.2 Holonomic, scleronomous, rheonomous, and nonholonomic

• Holonomic / 完整约束： 可写成有限个 \(f_\alpha(\mathbf r,t)=0\)，因此允许构型形成配置空间中的子流形。
• Scleronomous / 定常约束： \(f_\alpha\) 不显含 \(t\)。
• Rheonomous / 随动约束： \(f_\alpha\) 显含 \(t\)，配置空间本身随时间移动。
• Nonholonomic / 非完整约束： 速度关系不能积分为只含坐标和时间的约束；平面上方向可变的圆盘或球的无滑动滚动通常是标准例子。特殊的一维纯滚动关系则可以积分，不能笼统地把所有“无滑动”都判作非完整。

速度形式

\[\sum_i a_{\alpha i}(\mathbf q,t)\dot q_i+a_{\alpha t}(\mathbf q,t)=0\]

只有在相应微分形式可积时才等价于完整约束。不能因为它“看起来是一阶线性的”就自动称为 holonomic。

Worked Example 1 — A bead constrained to a circular wire

一颗珠子在竖直平面内沿半径 \(R\) 的固定圆环运动。用平面直角坐标 \((x,z)\) 描述时，有

\[f(x,z)=x^2+z^2-R^2=0.\]

环境维数为 2，独立约束数为 1，因此 \(n=1\)。可取

\[x=R\sin\theta,\qquad z=-R\cos\theta.\]

在 \(R=0.400\ \mathrm m\)、\(\theta=30.0^\circ\) 时，

\[(x,z)=(0.200,-0.346)\ \mathrm m.\]

约束梯度 \((2x,2z)\) 与切向量

\[\frac{\partial\mathbf r}{\partial\theta} =(R\cos\theta,R\sin\theta)\]

点积为零，直接验证了允许方向与约束法向正交。

Knowledge 2 — Generalized coordinates and virtual displacement / 广义坐标与虚位移

Knowledge ID: P01-U09-L01-K02

2.1 The embedding map

解开完整约束后，把粒子位置写成

\[\boxed{\mathbf r_a=\mathbf r_a(q_1,\ldots,q_n,t)}.\]

对真实运动取全导数：

\[\boxed{ \dot{\mathbf r}_a =\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial\mathbf r_a}{\partial q_i}\dot q_i +\frac{\partial\mathbf r_a}{\partial t} }.\]

最后一项只在嵌入显含时间时出现，例如被外部电机匀速转动的轨道。

2.2 Virtual displacement is not an infinitesimal time step

在同一时刻 \(t\) 比较两个相邻允许构型：

\[\boxed{ \delta\mathbf r_a =\sum_i\frac{\partial\mathbf r_a}{\partial q_i}\delta q_i }, \qquad \delta t=0.\]

而真实的微分位移是

\[d\mathbf r_a =\sum_i\frac{\partial\mathbf r_a}{\partial q_i}dq_i +\frac{\partial\mathbf r_a}{\partial t}dt.\]

因此对 rheonomous constraint，\(\delta\mathbf r_a\) 与 \(d\mathbf r_a\) 一般不同。虚位移是“允许方向的比较”，不是粒子在 \(dt\) 内真的走过的路。

2.3 Configuration space

一个瞬时构型对应 \(\mathbf q=(q_1,\ldots,q_n)\) 的一个点；整个运动对应配置空间 \(\mathcal Q\) 中的一条曲线。注意：

• configuration space 不是普通三维空间；
• 两个质点在三维空间通常给出六维配置空间；
• 坐标图可能有奇点，但物理构型本身不一定奇异。

2.4 Virtual work and generalized force

外力虚功可写成

\[\delta W =\sum_a\mathbf F_a\cdot\delta\mathbf r_a =\sum_i Q_i\,\delta q_i,\]

其中

\[\boxed{ Q_i=\sum_a\mathbf F_a\cdot \frac{\partial\mathbf r_a}{\partial q_i} }.\]

这一定义自动完成“把真实力投影到允许方向”。若 \(q_i\) 是角度，\(Q_i\) 就是相应轴的广义力矩。

Knowledge 3 — D'Alembert's principle / 达朗贝尔原理

Knowledge ID: P01-U09-L01-K03

3.1 Newton's law recast as virtual work

把 Newton 方程写成

\[\mathbf F_a^{\rm app}+\mathbf R_a-m_a\ddot{\mathbf r}_a=0,\]

其中 \(\mathbf R_a\) 是约束反力。与任意允许虚位移点乘并求和：

\[\sum_a \left( \mathbf F_a^{\rm app}+\mathbf R_a-m_a\ddot{\mathbf r}_a \right)\cdot\delta\mathbf r_a=0.\]

若约束是理想约束，

\[\sum_a\mathbf R_a\cdot\delta\mathbf r_a=0,\]

于是得到达朗贝尔原理：

\[\boxed{ \sum_a \left( \mathbf F_a^{\rm app}-m_a\ddot{\mathbf r}_a \right)\cdot\delta\mathbf r_a=0 }.\]

3.2 Kinetic-energy identity

对 \(\mathbf r_a(\mathbf q,t)\) 与

\[T=\frac12\sum_a m_a\dot{\mathbf r}_a^2,\]

可由链式法则证明

\[\sum_a m_a\ddot{\mathbf r}_a\cdot \frac{\partial\mathbf r_a}{\partial q_i} = \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot q_i}\right) -\frac{\partial T}{\partial q_i}.\]

代入达朗贝尔原理：

\[\sum_i \left[ Q_i-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot q_i}\right) +\frac{\partial T}{\partial q_i} \right]\delta q_i=0.\]

对已经解开完整约束的独立 \(q_i\)，各 \(\delta q_i\) 可独立选择，故

\[\boxed{ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot q_i}\right) -\frac{\partial T}{\partial q_i}=Q_i }.\]

3.3 Conservative and nonconservative forces

若施加力来自势能 \(V(\mathbf q,t)\)，

\[Q_i^{\rm cons}=-\frac{\partial V}{\partial q_i}.\]

令 \(L=T-V\)，得到

\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\right) -\frac{\partial L}{\partial q_i}=Q_i^{\rm nc}.\]

右端只保留不能纳入 \(L\) 的非保守广义力。粘滞力也可在某些线性模型中用 Rayleigh dissipation function 处理，但那不是 Hamilton principle 本身的一部分。

Worked Example 2 — The nonlinear pendulum

取摆角 \(\theta\) 自最低点量起：

\[T=\frac12m\ell^2\dot\theta^2, \qquad V=mg\ell(1-\cos\theta),\]

所以

\[L=\frac12m\ell^2\dot\theta^2-mg\ell(1-\cos\theta).\]

Euler–Lagrange 方程给出

\[m\ell^2\ddot\theta+mg\ell\sin\theta=0, \qquad \boxed{\ddot\theta=-\frac{g}{\ell}\sin\theta}.\]

若 \(\ell=0.800\ \mathrm m\)、\(\theta=30.0^\circ\)，

\[\ddot\theta =-\frac{9.81}{0.800}\sin30.0^\circ =-6.13\ \mathrm{rad\,s^{-2}}.\]

质量消去不是遗漏；重力矩与转动惯量都正比于 \(m\)。

Knowledge 4 — Action and Hamilton's principle / 作用量与哈密顿原理

Knowledge ID: P01-U09-L01-K04

4.1 Action is a functional of an entire path

固定 \(t_1,t_2\)，作用量定义为

\[\boxed{ S[\mathbf q]=\int_{t_1}^{t_2} L(\mathbf q,\dot{\mathbf q},t)\,dt }.\]

\(S\) 的输入不是某一时刻的数，而是一整条路径 \(\mathbf q(t)\)。它的 SI 单位是 \(\mathrm{J\,s}\)。

构造相邻可容许路径

\[q_i^{(\varepsilon)}(t) =q_i(t)+\varepsilon\eta_i(t), \qquad \eta_i(t_1)=\eta_i(t_2)=0.\]

固定端点意味着所有比较路径在两个端时刻具有相同坐标；并不要求它们的端点速度相同。

4.2 Hamilton's principle means stationary action

Hamilton's principle states

\[\boxed{ \delta S \equiv \left.\frac{d}{d\varepsilon} S[\mathbf q+\varepsilon\boldsymbol\eta] \right|_{\varepsilon=0} =0 }\]

for every admissible \(\boldsymbol\eta(t)\).

4.3 Scope and regularity

本课的标准推导假定：

1. \(L(q,\dot q,t)\) 对其变量至少有足够连续的偏导，通常取 \(C^2\)；
2. 候选轨迹分段 \(C^2\)，变分函数分段 \(C^1\)；
3. 两端时刻和两端位置固定；
4. 所有完整约束已由独立坐标解开，或以一致的 Lagrange multiplier 方法加入；
5. 运动没有冲击造成的速度跃变。

若端点可移动，会出现 natural boundary conditions；若轨迹分段光滑，角点还必须满足 Weierstrass–Erdmann matching conditions。这些不是标准固定端点式可以自动忽略的细节。

Knowledge 5 — Euler–Lagrange equations / 欧拉—拉格朗日方程

Knowledge ID: P01-U09-L01-K05

5.1 First variation and integration by parts

由

\[\delta\dot q_i=\frac{d}{dt}\delta q_i\]

得到

\[\delta S =\int_{t_1}^{t_2} \sum_i \left( \frac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i +\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\delta\dot q_i \right)dt.\]

对第二项分部积分：

\[\delta S = \left[ \sum_i\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\delta q_i \right]_{t_1}^{t_2} + \int_{t_1}^{t_2} \sum_i \left[ \frac{\partial L}{\partial q_i} -\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial\dot q_i} \right) \right]\delta q_i\,dt.\]

固定端点使边界项为零。由变分法基本引理，若积分对所有内部任意的 \(\delta q_i\) 都为零，则

\[\boxed{ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial\dot q_i} \right) -\frac{\partial L}{\partial q_i}=0, \qquad i=1,\ldots,n }.\]

5.2 Equivalent Lagrangians

若

\[L'(\mathbf q,\dot{\mathbf q},t) =L(\mathbf q,\dot{\mathbf q},t) +\frac{dF(\mathbf q,t)}{dt},\]

则

\[S'=S+F(\mathbf q_2,t_2)-F(\mathbf q_1,t_1).\]

固定端点下附加项不变，因此 \(L\) 与 \(L'\) 给出同一 Euler–Lagrange 方程。Lagrangian 不是唯一的；物理内容在运动方程，而不在某个孤立的 \(L\) 表达式。

Worked Example 3 — Atwood machine without solving the tension

令 \(m_2>m_1\)，取 \(q\) 为 \(m_2\) 向下的位移。绳不可伸长使另一块质量同时向上移动 \(q\)；系统只有一个自由度。

\[T=\frac12(m_1+m_2)\dot q^2, \qquad V=(m_1-m_2)gq.\]

所以

\[L=\frac12(m_1+m_2)\dot q^2+(m_2-m_1)gq.\]

Euler–Lagrange 方程直接给出

\[\boxed{ \ddot q=\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}g }.\]

对 \(m_1=2.00\ \mathrm{kg}\)、\(m_2=3.00\ \mathrm{kg}\)，

\[\ddot q=\frac{1.00}{5.00}(9.81) =1.962\ \mathrm{m\,s^{-2}}.\]

绳张力并未“消失”；它是理想约束的内部反力，对允许的成对位移总虚功为零。

Worked Example 4 — Bead on a uniformly rotating vertical hoop

半径 \(R\) 的竖直圆环绕竖直直径以恒定角速度 \(\Omega\) 转动。以最低点为 \(\theta=0\)：

\[\mathbf r= \left( R\sin\theta\cos\Omega t,\, R\sin\theta\sin\Omega t,\, -R\cos\theta \right).\]

由显含时间的嵌入求速度：

\[v^2=R^2\dot\theta^2+R^2\Omega^2\sin^2\theta.\]

于是

\[L= \frac12mR^2 \left( \dot\theta^2+\Omega^2\sin^2\theta \right) +mgR\cos\theta.\]

Euler–Lagrange 方程为

\[\boxed{ \ddot\theta =\sin\theta \left( \Omega^2\cos\theta-\frac{g}{R} \right) }.\]

取 \(R=0.500\ \mathrm m\)、\(\Omega=6.00\ \mathrm{rad\,s^{-1}}\)、\(\theta=10.0^\circ\)：

\[\ddot\theta =\sin10.0^\circ \left[ (6.00)^2\cos10.0^\circ-\frac{9.81}{0.500} \right] =2.75\ \mathrm{rad\,s^{-2}}.\]

正号说明在该位置小珠被驱离最低点；最低点的线性稳定性阈值为 \(\Omega^2=g/R\)。

6. Lesson synthesis / 全课整合

6.1 The complete derivation chain

\[\boxed{ \begin{aligned} &f_\alpha(\mathbf r,t)=0 \quad\Longrightarrow\quad \mathbf r_a=\mathbf r_a(\mathbf q,t),\\ &\delta\mathbf r_a =\sum_i\frac{\partial\mathbf r_a}{\partial q_i}\delta q_i,\\ &\sum_a \left( \mathbf F_a^{\rm app}-m_a\ddot{\mathbf r}_a \right)\cdot\delta\mathbf r_a=0,\\ &Q_i= \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial\dot q_i} \right) -\frac{\partial T}{\partial q_i},\\ &Q_i=-\frac{\partial V}{\partial q_i} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial\dot q_i} \right) -\frac{\partial L}{\partial q_i}=0. \end{aligned} }\]

Hamilton's principle reaches the same last line from a global path statement; D'Alembert reaches it from instantaneous virtual work. Their assumptions overlap strongly but their logical starting points are different.

6.2 Model-boundary checklist

7. Misconception clinic / 易错概念诊所

8. Practice and retrieval / 练习与检索

A. Conceptual questions

1. 两个质点在三维空间由一根不可伸长的轻杆连接，若没有其他约束，配置空间局部维数是多少？
2. 为什么 \(\partial\mathbf r/\partial t\) 出现在真实速度中，却不出现在固定时刻的虚位移中？
3. 一个粗糙固定曲面对滑块施加动摩擦，能否直接把接触力整体从达朗贝尔方程中消去？
4. Hamilton's principle 为什么不能笼统翻译为“作用量最小”？
5. 若 \(q=\theta\)，为什么 \(Q_\theta\) 的 SI 单位不是 N？
6. \(L\) 加上 \(dF/dt\) 后为何固定端点的运动方程不变？

B. Derivation and quantitative questions

7. 从 \(\mathbf r=R(\cos\theta,\sin\theta)\) 证明圆环约束的虚位移与法向力正交。
8. 对质量 \(m\) 的粒子在平面极坐标中运动，\(L=\frac12m(\dot r^2+r^2\dot\phi^2)-V(r,\phi)\)。推导两条 Euler–Lagrange 方程。
9. Atwood machine 中 \(m_1=1.50\ \mathrm{kg}\)、\(m_2=2.50\ \mathrm{kg}\)。求加速度。
10. 长度 \(\ell=1.20\ \mathrm m\) 的单摆在 \(\theta=20.0^\circ\) 处瞬时静止。求该瞬间角加速度与切向加速度。
11. 证明若 \(L'=L+dF(q,t)/dt\)，则两者的 Euler–Lagrange 表达式完全相同。
12. 对旋转圆环，在 \(\theta\ll1\) 下线性化并判定 \(\Omega^2<g/R\) 与 \(\Omega^2>g/R\) 时最低点的稳定性。

Exit ticket

不查公式，用五句话回答：

1. 完整约束怎样减少自由度？
2. 实际位移与虚位移有何不同？
3. 达朗贝尔原理消去约束力的必要条件是什么？
4. Hamilton's principle 的端点和“驻定”各指什么？
5. Euler–Lagrange 方程中的边界项为何消失？

9. References and source notes / 参考资料与使用说明

9.1 Source-to-content map

9.2 Bibliographic notes

1. Stewart, I. and MIT 8.09 course staff. A Review of Analytical Mechanics. 作为本课公式与符号的主要公开核对源。
2. Tong, D. Lectures on Classical Dynamics, Chapter 2: The Lagrangian Formulation. University of Cambridge DAMTP；用于对约束、作用量和 Lagrange multiplier 处理作独立核对。
3. 本文没有复制来源图形；所有 TikZ 图均由正文方程原创重绘。