热力循环 · Thermodynamic Cycles

Learning objectives / 学习目标

由 $\Delta U_{cycle}=0$ 推出 $Q_{net}=W_{net}$ ，用 $$p$$ – $$V$$ 有向面积判断功的符号。
画出 heat engine、refrigerator、heat pump 的能流图并建立效率或 COP。
识别 Otto、Diesel、Brayton、Rankine 理想循环的四个核心过程与适用装置。
在 air-standard、cold-air-standard 与稳流/闭式等不同理想化之间明确模型边界。
用压缩比、截止比、压力比或各状态焓计算理想性能并进行能量闭合检查。
解释为什么第一定律给出能量账本，却不能单独给出最大可能效率。

Prerequisites / 先修知识

$\Delta U=Q-W$ 、 $$pV$$ 功、热容与可逆绝热理想气体关系。
理想气体 $$pV=nRT$$ ，以及 $pV^\gamma=\mathrm{constant}$ 的条件。
闭合曲线有向面积和稳态功率 $P=Wf_{cycle}$ 。

Scope and conventions / 范围与约定

$$Q_H>0$$ 表示每循环从高温源吸收的热量大小； $$Q_C>0$$ 表示排向低温源的热量大小。
热机净输出功 $W_{out}=Q_H-Q_C>0$ ；制冷装置输入功 $W_{in}=Q_H-Q_C>0$ 。
$$p$$ – $$V$$ 图顺时针循环的 $\oint p\,dV>0$ ，代表系统净对外做功；逆时针代表需要净输入功。
Otto、Diesel、Brayton 公式采用理想气体、定 $$C_p,C_V$$ 的 cold-air-standard 模型；燃烧被等容或等压“加热”替代。
Rankine 是水/蒸汽两相稳流装置模型，应用焓差；本课不查蒸汽表，只建立状态账本。
最大效率与 Carnot 界属于下一课第二定律；本课不能用能量守恒证明现实可达性。

Notation / 符号与单位

Symbol	Meaning	Unit / definition
$$Q_H,Q_C$$	热源输入、向冷源排出的热量大小	J per cycle
$W_{net}$	系统每循环净功，输出为正	J per cycle
$\eta$	heat-engine thermal efficiency	$W_{net}/Q_H$
$$r$$	compression ratio $V_{max}/V_{min}$	1
$\rho$	Diesel cutoff ratio $$V_3/V_2$$	1
$$r_p$$	Brayton pressure ratio $$p_2/p_1$$	1
$$h_i$$	Rankine state-specific enthalpy	$\mathrm{J\,kg^{-1}}$
$\mathrm{COP}_R,\mathrm{COP}_{HP}$	refrigerator / heat-pump performance	1

Knowledge 1 — Net work and heat over a cycle / 循环中的净功与净热量

Knowledge ID: P03-U03-L03-K01

1.1 回到同一状态意味着状态函数净变化为零

完整循环末态等于初态，因此

$\Delta U_{cycle}=0.$

第一定律给

$\boxed{Q_{net}=W_{net}}.$

这不是说每一段 $$Q=W$$ ；而是所有吸热、放热和功相加后的净值相等。若只计准静态 $$pV$$ 功，

$W_{net}=\oint p\,dV.$

Thermodynamic Cycles — 1.1 回到同一状态意味着状态函数净变化为零（图 1） — 图 11.1 回到同一状态意味着状态函数净变化为零

图 1：顺时针闭合路径的上方膨胀功大于下方压缩功，围面积为净输出功。

1.2 分段账本

每一过程段 $$i$$ 满足 $\Delta U_i=Q_i-W_i$ ，而 $\sum_i\Delta U_i=0$ 。必须保留带符号的 $$Q_i,W_i$$ ；若用 $$Q_H,Q_C$$ 作为正的大小，则单独写 $Q_{net}=Q_H-Q_C$ 。

图 2：循环的零状态变化来自四段首尾相接，不代表任一段内能不变。

Worked Example 1 — 矩形循环的净功与排热

已知条件： 气体顺时针经过矩形 $$p$$ – $$V$$ 循环， $p_H=300\ \mathrm{kPa}$ 、 $p_L=100\ \mathrm{kPa}$ 、 $V_H=4.00\ \mathrm L$ 、 $V_L=1.00\ \mathrm L$ ；每循环吸热总量 $Q_H=900\ \mathrm J$ 。
系统： 活塞缸内固定气体。
方向与符号： 顺时针净输出功正； $$Q_C$$ 是排热大小。
模型理由： 四段准静态，只有 $$pV$$ 功。

$W_{net}=(p_H-p_L)(V_H-V_L) =(200\ \mathrm{kPa})(3.00\ \mathrm L)=600\ \mathrm J.$

循环内能净变化为零，故

$Q_C=Q_H-W_{net}=900-600=300\ \mathrm J.$

效率为 $\eta=600/900=0.667$ 。能量核对 $900=600+300\ \mathrm J$ ；围面积单位 $\mathrm{kPa\,L}=\mathrm J$ 。反向运行时几何面积相同但功变为 $-600\ \mathrm J$ 。

Knowledge 2 — Heat-engine cycle representation / 热机循环表示

Knowledge ID: P03-U03-L03-K02

2.1 装置图与状态图承担不同任务

热机从高温源吸热 $$Q_H$$ ，输出净功，并向低温源排热 $$Q_C$$ ：

$W_{out}=Q_H-Q_C, \qquad \boxed{\eta=\frac{W_{out}}{Q_H}=1-\frac{Q_C}{Q_H}}.$

能流图显示边界交换； $$p$$ – $$V$$ 、 $$T$$ – $$s$$ 图显示工作流体状态路径。效率是无量纲比值，不是功率；功率还要乘循环频率或质量流率。

Thermodynamic Cycles — 2.1 装置图与状态图承担不同任务（图 3） — 图 32.1 装置图与状态图承担不同任务

图 3：热机账本中三条箭头必须满足 $Q_H=W_{out}+Q_C$ 。

2.2 Ideal cycle 不是设备逐零件复制

理想循环把连续燃烧、进排气、摩擦、压降和有限速率传热替换成少数可解析过程。它用于比较参数趋势与上限式基准，不能直接当作真实排放、材料温度或机械效率预测。

图 4：air-standard analysis 是受控抽象；每次删去的现实机制都应列为模型边界。

Knowledge 3 — Otto, Diesel, Brayton, and Rankine idealizations / 奥托、柴油、布雷顿与朗肯理想循环

Knowledge ID: P03-U03-L03-K03

3.1 Otto：等容加热的 spark-ignition 基准

1–2 可逆绝热压缩；2–3 等容加热；3–4 可逆绝热膨胀；4–1 等容放热。定热容理想气体有

$\boxed{\eta_{Otto}=1-\frac{1}{r^{\gamma-1}}}, \qquad r=\frac{V_1}{V_2}.$

Thermodynamic Cycles — 3.1 Otto：等容加热的 spark-ignition 基准（图 5） — 图 53.1 Otto：等容加热的 spark-ignition 基准

图 5：Otto 理想循环用两条等容线和两条绝热线近似火花点火发动机。

3.2 Diesel：等压加热的 compression-ignition 基准

1–2 可逆绝热压缩；2–3 等压加热；3–4 可逆绝热膨胀；4–1 等容放热。令 cutoff ratio $\rho=V_3/V_2$ ，

$\eta_{Diesel}=1- \frac{1}{r^{\gamma-1}} \frac{\rho^\gamma-1}{\gamma(\rho-1)}.$

$\rho\to1$ 时 Diesel efficiency formula 的极限为 $1-r^{1-\gamma}$ ，与 Otto 效率公式相同；但在固定 state 2 下，等压加热段同时收缩且 $q_{in}\to0$ ，因此这只是公式极限，不能解释为有限 Otto 等容加热过程。真实柴油燃烧既非严格等压也非瞬时。

Thermodynamic Cycles — 3.2 Diesel：等压加热的 compression-ignition 基准（图 6） — 图 63.2 Diesel：等压加热的 compression-ignition 基准

图 6：Diesel 理想循环把燃烧段近似为等压加热，并引入 cutoff ratio。

3.3 Brayton：连续流气轮机基准

1–2 等熵压缩机；2–3 等压加热；3–4 等熵涡轮；4–1 等压放热。理想定热容模型给

$\boxed{\eta_{Brayton}=1-\frac{1}{r_p^{(\gamma-1)/\gamma}}}.$

真实装置是 open steady-flow system；把工作流体闭合冷却只是一种 cycle representation。增大 $$r_p$$ 的效率趋势受涡轮入口温度、材料、部件效率和净比功约束。

Thermodynamic Cycles — 3.3 Brayton：连续流气轮机基准（图 7） — 图 73.3 Brayton：连续流气轮机基准

图 7：Brayton 的净功是涡轮输出减压缩机输入；真实燃气轮机为连续流。

3.4 Rankine：两相蒸汽动力循环基准

1–2 泵近似等熵压缩液体；2–3 锅炉近似等压加热和汽化；3–4 涡轮近似等熵膨胀；4–1 冷凝器近似等压放热。以单位质量焓表示：

$w_t=h_3-h_4, \qquad w_p=h_2-h_1,$

$q_{in}=h_3-h_2, \qquad \eta_{Rankine}=\frac{w_t-w_p}{q_{in}}.$

泵处理液体、涡轮处理蒸汽；两相性质必须由可靠 property table/equation of state 获取。

Thermodynamic Cycles — 3.4 Rankine：两相蒸汽动力循环基准（图 8） — 图 83.4 Rankine：两相蒸汽动力循环基准

图 8：Rankine 用四个稳流部件闭合工作流体回路；状态编号对应焓差。

Worked Example 2 — Otto 压缩比与性能

已知条件： cold-air-standard Otto cycle， $$r=8.00$$ 、 $\gamma=1.40$ ，每循环等容吸热 $Q_H=1.50\ \mathrm{kJ}$ 。
系统： 理想化固定质量空气循环。
符号： 输出功与排热大小为正。
模型理由： 定热容理想气体、可逆绝热压缩/膨胀。

$\eta_{Otto}=1-\frac{1}{8.00^{0.400}}=0.565.$

$W_{out}=\eta Q_H=(0.565)(1.50)=0.847\ \mathrm{kJ},$

$Q_C=Q_H-W_{out}=0.653\ \mathrm{kJ}.$

三位有效数字； $0<\eta<1$ 且 $1.50=0.847+0.653\ \mathrm{kJ}$ 。提高 $$r$$ 在理想式中提高效率，但真实发动机受爆震、传热和材料限制。

Worked Example 3 — Ideal Brayton pressure-ratio estimate

已知条件： $$r_p=10.0$$ 、 $\gamma=1.40$ 的理想 Brayton cycle，每千克工作流体吸热 $q_{in}=800\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}}$ 。
系统： air-standard closed representation of steady-flow gas turbine。
模型理由： compressor/turbine 等熵，热容恒定，无压降。

$\eta=1-10.0^{-0.400/1.40}=0.482.$

$w_{net}=\eta q_{in}=386\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}}, \qquad q_{out}=414\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}}.$

能量闭合 $$800=386+414$$ 。效率式给能量比例，不能确定压缩机与涡轮各自功，也不能保证给定最高温度下的净比功最优。

Knowledge 4 — Coefficient of performance for refrigerators and heat pumps / 制冷机与热泵性能系数

Knowledge ID: P03-U03-L03-K04

4.1 同一反向装置，两种“有用输出”

制冷机用输入功把热量从冷区搬到热区：

$Q_H=Q_C+W_{in}.$

冰箱关心从冷区移走的 $$Q_C$$ ：

$\boxed{\mathrm{COP}_R=\frac{Q_C}{W_{in}}}.$

热泵关心送到热区的 $$Q_H$$ ：

$\boxed{\mathrm{COP}_{HP}=\frac{Q_H}{W_{in}} =\mathrm{COP}_R+1}.$

COP 可大于 1，因为装置搬运的热量不全由功“生成”；它不是热机效率。

Thermodynamic Cycles — 4.1 同一反向装置，两种“有用输出”（图 9） — 图 94.1 同一反向装置，两种“有用输出”

图 9：冰箱与热泵可由同一装置实现，但分子取不同的有用热量。

Thermodynamic Cycles — 4.1 同一反向装置，两种“有用输出”（图 10） — 图 104.1 同一反向装置，两种“有用输出”

图 10：按数值比例绘制的制冷账本；热端输出等于冷端搬运加输入功。

Worked Example 4 — 冰箱与热泵的 COP

已知条件： 稳态装置从冷室移走 $\dot Q_C=1.20\ \mathrm{kW}$ ，电输入 $\dot W_{in}=0.400\ \mathrm{kW}$ 。
系统边界： 包围制冷装置；质量流体在内部闭合循环。
模型理由： 周期稳态，装置储能率为零。

$\dot Q_H=\dot Q_C+\dot W_{in}=1.60\ \mathrm{kW}.$

$\mathrm{COP}_R=\frac{1.20}{0.400}=3.00, \qquad \mathrm{COP}_{HP}=\frac{1.60}{0.400}=4.00.$

两者无量纲且差为 1。COP 大于 1 不违反能量守恒； $1.60=1.20+0.400\ \mathrm{kW}$ 。这里未判断是否达到热力学最大值，温度给定后还需第二定律。

Lesson synthesis / 全课整合

先确认循环回到同一状态，从而 $\Delta U=0$ 。
用方向确定 $$Q_H,Q_C,W$$ 的角色，再闭合 $$Q_H=Q_C+W$$ 。
用 $$p$$ – $$V$$ 围面积判断功方向；用状态关系逐段求温度或焓。
选对 idealization：Otto 等容加热、Diesel 等压加热、Brayton 连续气相、Rankine 两相蒸汽。
最后才计算 efficiency 或 COP，并列出现实损失与第二定律限制。

Formula-and-decision table / 公式—决策表

Device/question	Formula	Conditions	Warning
cycle balance	$Q_{net}=W_{net}$	回到同一状态	各段不必 $$Q=W$$
$$pV$$ cycle work	$\oint p\,dV$	准静态 simple compressible	顺时针为正
heat-engine efficiency	$$1-Q_C/Q_H$$	$$Q_H,Q_C$$ 为正大小	不等于 power
Otto	$1-r^{1-\gamma}$	cold-air standard	真实燃烧非等容
Diesel	$1-r^{1-\gamma}(\rho^\gamma-1)/[\gamma(\rho-1)]$	cold-air standard	与 Otto 比较须固定同一条件
Brayton	$1-r_p^{-(\gamma-1)/\gamma}$	ideal compressor/turbine	净比功另受最高温度限制
Rankine	$(w_t-w_p)/q_{in}$	steady-flow enthalpy states	需可靠两相性质
refrigeration	$\mathrm{COP}_R=Q_C/W_{in}$	cyclic device	COP 可大于 1

Model boundaries / 模型边界

air-standard cycle 把开放燃烧设备替换为固定成分空气闭合循环。
cold-air-standard 进一步令热容与 $\gamma$ 常数；高温真实气体不满足。
理想压缩/膨胀取可逆绝热；真实压缩机、涡轮有熵产生与机械损失。
Rankine 的相变和湿度必须用蒸汽表；理想气体公式不适用液水/湿蒸汽。
efficiency 只衡量每份热输入的净功，不包含燃烧、发电机、摩擦等所有系统级效率。
第一律不禁止 $$Q_C=0$$ 的“完美热机”；为何不可能由第二定律解释。

Misconception clinic / 易错概念诊所

“循环中内能一直不变。” 只有一整圈净变化为零，各段 $$U$$ 可升降。
“围面积总是吸热。” 围面积是净 $$pV$$ 功；净热由第一律与其相等。
“四冲程就是 Otto 图上的四段。” 实际进排气和燃烧比 air-standard 四过程复杂。
“压缩比越高，真实效率必无限提高。” 理想趋势受爆震、温度、材料、摩擦和排放限制。
“COP 大于 1 违反守恒。” 制冷装置搬运环境热；热端输出等于搬运热加输入功。
“Rankine 也能直接用 $$pV=nRT$$ 。” 泵和冷凝器含液体/两相物质，需真实物性。

Practice and retrieval / 练习与检索

1. 循环账本（K01）

某循环 $Q_{net}=-250\ \mathrm J$ ，求 $W_{net}$ 并解释装置角色。

答案

$W_{net}=Q_{net}=-250\ \mathrm J$ ；系统需要净输入功，可能作为制冷/热泵型反向循环。

2. 有向面积（K01）

逆时针矩形循环的面积为 $400\ \mathrm J$ ，系统净功是多少？

答案

$W_{net}=-400\ \mathrm J$ ；环境每循环对系统净做功 $400\ \mathrm J$ 。

3. 热机效率（K02）

热机每循环吸热 $2.50\ \mathrm{kJ}$ 、排热 $1.60\ \mathrm{kJ}$ 。求功与效率。

答案

$W=0.900\ \mathrm{kJ}$ ， $\eta=0.900/2.50=0.360$ 。

4. 功率（K02）

上题装置以 $30.0\ \mathrm{cycles\,s^{-1}}$ 运行，求功率。

答案

$P=(0.900\ \mathrm{kJ})(30.0\ \mathrm{s^{-1}})=27.0\ \mathrm{kW}$ 。

5. Otto（K03）

$r=10.0,\gamma=1.40$ ，求理想 Otto 效率。

答案

$\eta=1-10^{-0.4}=0.602$ ，即 $60.2\%$ 。

6. Diesel 过程识别（K03）

列出 ideal Diesel 四段，并指出 $\rho$ 的定义。

答案

可逆绝热压缩、等压加热、可逆绝热膨胀、等容放热； $\rho=V_3/V_2$ 是等压加热段截止比。

7. Brayton（K03）

$r_p=8.00,\gamma=1.40$ ，求理想 Brayton 效率。

答案

$\eta=1-8^{-0.4/1.4}=0.448$ ，即 $44.8\%$ 。

8. Rankine 焓账本（K03）

$h_1=200,h_2=210,h_3=3200,h_4=2400\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}}$ ，求 $w_{net},q_{in},\eta$ 。

答案

$$w_t=800$$ 、 $$w_p=10$$ ，故 $w_{net}=790\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}}$ ； $q_{in}=2990\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}}$ ； $\eta=0.264$ 。

9. COP（K04）

冰箱 $\mathrm{COP}_R=4.00$ 、输入功率 $0.500\ \mathrm{kW}$ ，求 $\dot Q_C,\dot Q_H$ 。

答案

$\dot Q_C=2.00\ \mathrm{kW}$ ， $\dot Q_H=2.50\ \mathrm{kW}$ ；热泵 COP 为 5.00。

10. 模型审计（K02–K04）

为何单凭第一律不能宣布 $\eta=1$ 的单热源热机可实现？

答案

能量守恒只要求 $$Q_H=W+Q_C$$ ，令 $$Q_C=0$$ 在代数上可行；过程方向和不可逆性还受第二定律约束，下一课建立该限制。

Exit ticket / 课末检验

不看公式，分别用“加热约束”和“典型装置”区分 Otto、Diesel、Brayton、Rankine。
一台可逆运行方向未知的装置给出 $Q_H=9\ \mathrm{kJ},Q_C=6\ \mathrm{kJ}$ 。画两种可能能流方向并说明哪一方向是热机、哪一方向需要功输入。

References and source notes / 参考资料与来源说明

OpenStax University Physics Volume 2, 3.4 Thermodynamic Processes — 循环状态函数与 $Q_{net}=W_{net}$ 。
OpenStax University Physics Volume 2, 4.2 Heat Engines — 热机能流和效率定义。
OpenStax University Physics Volume 2, 4.3 Refrigerators and Heat Pumps — refrigerator/heat-pump COP。
MIT Unified Engineering Thermodynamics, Chapter 5 — Otto、Brayton 与 air-standard 模型。
MIT OCW 22.091, Power Cycles for Nuclear Plants: Rankine and Brayton — Rankine/Brayton 工程循环与压力比。
MIT OCW 10.40, Supplementary Notes for Chapter 14 Energy — Otto、Diesel、Brayton、Rankine 的功率转换框架。
NASA Glenn, Engine Thermodynamic Analysis — 理想 Otto 与真实四冲程差异。

以上来源均于 2026-08-24 实际打开核对。正文只重绘由方程定义的原创示意图；未复制 NASA、MIT 或 OpenStax 图。所有效率公式均明确限制于相应理想化。

Source-to-content map

Source	Used for	Knowledge ID / Section	Model boundary or convention
OpenStax 3.4	循环第一律	K01	closed cyclic system
OpenStax 4.2	heat-engine representation	K02	$$Q_H,Q_C$$ 取正大小
OpenStax 4.3	refrigerator/heat-pump COP	K04	cyclic steady device
MIT Unified Ch. 5	Otto/Brayton processes and formulas	K03	cold-air-standard
MIT 22.091	Rankine/Brayton components	K03	steady-flow states, enthalpy
MIT 10.40 supplement	four practical cycle idealizations	K03	ideal vs practical power conversion
NASA Glenn	Otto compression/expansion and real losses	K03	real engine differs from ideal cycle

复习与拓展

下一课用 Kelvin–Planck、Clausius 与 Carnot 原理回答第一律留下的“方向”问题。
Lesson 3.4.2 将用 $$T$$ – $$s$$ 图把循环热量与熵核算联系起来。
Unit 3.5 用焓和自由能统一稳流部件与相平衡。
工程热力学可继续加入 regeneration、reheat、intercooling 和 component isentropic efficiency。

Symbol	Meaning	Unit / definition
$\(Q_H,Q_C\)$	热源输入、向冷源排出的热量大小	J per cycle
$W_{net}$	系统每循环净功，输出为正	J per cycle
$\eta$	heat-engine thermal efficiency	$W_{net}/Q_H$
$\(r\)$	compression ratio $V_{max}/V_{min}$	1
$\rho$	Diesel cutoff ratio $\(V_3/V_2\)$	1
$\(r_p\)$	Brayton pressure ratio $\(p_2/p_1\)$	1
$\(h_i\)$	Rankine state-specific enthalpy	$\mathrm{J\,kg^{-1}}$
$\mathrm{COP}_R,\mathrm{COP}_{HP}$	refrigerator / heat-pump performance	1