电偶极与多极展开

Learning objectives / 学习目标

完成本课后，你应当能够：

1. 按统一方向约定定义两点电荷及一般电荷分布的电偶极矩，并判断它对坐标原点的依赖。
2. 推导永久电偶极子在匀强场中的合力、力矩与势能，区分稳定和不稳定平衡。
3. 推导短偶极子在非匀强静电场中的首阶合力，并区分永久偶极与感生偶极的能量公式。
4. 写出有限两点电荷偶极子在轴线和中垂面上的精确场，并量化远场近似的误差。
5. 从精确 Coulomb 势的 Taylor 展开得到点偶极势与场，解释其角分布和 \(r^{-3}\) 场强衰减。
6. 将局域电荷分布的势展开到 monopole、dipole、quadrupole 阶，并在明确的四极矩 convention 下计算例子。
7. 根据总电荷、反演对称性和最低非零多极矩判断远场主导阶，同时说明模型边界。

0. Before starting: notation, units, and the forward use of potential

0.1 Source point and field point must remain distinct

本课始终使用：

\[\boxed{k_e\equiv\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}} \approx8.987\,551\,786\times10^9\ \mathrm{N\,m^2\,C^{-2}}.\]

0.2 Electric potential is used here as a forward tool

严格的课程顺序将在 Unit 4.3 系统学习电势。本课为高效处理远场，先局部使用三条关系：

\[\phi(\mathbf r) =k_e\int\frac{\rho(\mathbf r')}{|\mathbf r-\mathbf r'|}\,d^3r', \qquad \mathbf E=-\boldsymbol\nabla\phi, \qquad U=q\phi.\]

它们在本课中是前瞻工具（forward preview），并不替代 Unit 4.3 对电势、路径无关性和 Poisson 方程的完整讨论。

0.3 Three distinct objects

Knowledge 1 — Electric dipole moment / 电偶极矩

1.1 Definition and direction convention

令 \(-q\) 位于 \(-\mathbf d/2\)，\(+q\) 位于 \(+\mathbf d/2\)。分离矢量 \(\mathbf d\) 从负电荷指向正电荷，定义

\[\boxed{\mathbf p\equiv q\mathbf d}.\]

• 方向：\(-q\rightarrow+q\)；
• 大小：\(p=qd\)；
• SI 单位：\(\mathrm{C\,m}\)；
• \(\mathbf p\) 是电荷分布的一阶矩，不是力，也不是线动量。

1.2 General localized charge distribution

对离散点电荷：

\[\boxed{\mathbf p=\sum_a q_a\mathbf r'_a}.\]

对连续分布：

\[\boxed{\mathbf p=\int\rho(\mathbf r')\,\mathbf r'\,d^3r'}.\]

若电荷只分布在线或面上，分别把 \(\rho\,d^3r'\) 换成 \(\lambda\,d\ell'\) 或 \(\sigma\,dA'\)。

对于两点电荷，以中点为原点：

\[\mathbf p =(+q)\frac{\mathbf d}{2} +(-q)\left(-\frac{\mathbf d}{2}\right) =q\mathbf d.\]

分子的偶极矩常用 debye（D）表示：

\[1\ \mathrm D=3.335\,64\times10^{-30}\ \mathrm{C\,m}.\]

这里的 debye 是偶极矩单位，与 plasma physics 中的 Debye length 没有概念关系。

1.3 Origin dependence

若把原点平移 \(\mathbf a\)，同一源点的新坐标为

\[\mathbf r''=\mathbf r'-\mathbf a.\]

于是

\[\mathbf p'' =\int\rho(\mathbf r')(\mathbf r'-\mathbf a)\,d^3r' =\mathbf p-Q\mathbf a,\]

其中

\[Q\equiv\int\rho(\mathbf r')\,d^3r'.\]

因此

\[\boxed{Q=0\quad\Longrightarrow\quad\mathbf p\ \text{is origin independent}.}\]

若 \(Q\ne0\)，偶极矩会随原点变化；此时远场首项本来就是 monopole，不能把某个任意原点下的 \(\mathbf p\) 当作独立于坐标的绝对属性。¹²

1.4 Symmetry can force \(\mathbf p=0\)

若相对于原点

\[\rho(-\mathbf r')=\rho(\mathbf r'),\]

则 \(\rho(\mathbf r')\mathbf r'\) 是奇函数，积分为零：\(\mathbf p=0\)。例如具有反演中心的电荷分布没有永久电偶极矩。

反之，\(Q=0\) 并不自动保证 \(\mathbf p\ne0\)：中性只消去 monopole；是否存在 dipole 还由正、负电荷的空间分离与对称性决定。

1.5 Worked Example 1 — A finite SI dipole

两电荷 \(\pm3.0\ \mathrm{nC}\) 相距 \(4.0\ \mathrm{mm}\)，从负电荷指向正电荷的方向为 \(+x\)：

\[p=qd =(3.0\times10^{-9})(4.0\times10^{-3}) =\boxed{1.20\times10^{-11}\ \mathrm{C\,m}}.\]

\[\boxed{\mathbf p=(1.20\times10^{-11}\ \mathrm{C\,m})\,\hat{\mathbf x}}.\]

若整体把两电荷同时平移，\(Q=+q-q=0\)，所以关于任何原点计算都得到同一 \(\mathbf p\)。

Knowledge 2 — Torque and energy of a dipole in a field / 偶极子在电场中的力矩与能量

2.1 Uniform field: zero net force but generally nonzero torque

把有限偶极子置于匀强外电场 \(\mathbf E\)，两端受力

\[\mathbf F_+=q\mathbf E, \qquad \mathbf F_-=-q\mathbf E.\]

因此

\[\boxed{\mathbf F_{\rm net}=\mathbf F_++\mathbf F_-=0}.\]

关于偶极中点的合力矩是

\[\boldsymbol\tau =\frac{\mathbf d}{2}\times q\mathbf E +\left(-\frac{\mathbf d}{2}\right)\times(-q\mathbf E) =q\mathbf d\times\mathbf E,\]

即

\[\boxed{\boldsymbol\tau=\mathbf p\times\mathbf E}, \qquad \boxed{\tau=pE\sin\theta}.\]

其中 \(\theta\) 是 \(\mathbf p\) 与 \(\mathbf E\) 的夹角；叉积方向决定真实转动轴。³⁴

2.2 Orientation energy

取 \(\theta=\pi/2\) 为零势能参考。外力缓慢转动偶极子时，

\[dU=-\tau_{\rm field}\,d\theta,\]

积分得到

\[\boxed{U(\theta)=-pE\cos\theta=-\mathbf p\cdot\mathbf E}.\]

若规定正 \(\theta\) 方向为逆时针，场的广义力矩分量满足

\[\boxed{\tau_\theta=-\frac{dU}{d\theta}=-pE\sin\theta}.\]

“力矩大小 \(pE\sin\theta\)”与“有符号恢复力矩 \(-pE\sin\theta\)”必须区分。

2.3 Nonuniform field: leading force on a short permanent dipole

设偶极中心在 \(\mathbf r\)。精确合力为

\[\mathbf F_{\rm exact} =q\mathbf E\!\left(\mathbf r+\frac{\mathbf d}{2}\right) -q\mathbf E\!\left(\mathbf r-\frac{\mathbf d}{2}\right).\]

若外场在距离 \(d\) 上缓慢变化，Taylor 展开：

\[\mathbf E\!\left(\mathbf r\pm\frac{\mathbf d}{2}\right) =\mathbf E(\mathbf r) \pm\frac12(\mathbf d\cdot\boldsymbol\nabla)\mathbf E +O(d^2).\]

相减后偶数阶消去，得到

\[\boxed{\mathbf F=(\mathbf p\cdot\boldsymbol\nabla)\mathbf E}\]

以及首阶力矩

\[\boxed{\boldsymbol\tau\simeq\mathbf p\times\mathbf E(\mathbf r)}.\]

若 \(\mathbf p\) 在空间中视为常量，向量恒等式给出

\[\boldsymbol\nabla(\mathbf p\cdot\mathbf E) =(\mathbf p\cdot\boldsymbol\nabla)\mathbf E +\mathbf p\times(\boldsymbol\nabla\times\mathbf E).\]

在静电场中 \(\boldsymbol\nabla\times\mathbf E=0\)，所以

\[\boxed{\mathbf F=(\mathbf p\cdot\boldsymbol\nabla)\mathbf E =\boldsymbol\nabla(\mathbf p\cdot\mathbf E) =-\boldsymbol\nabla U}.\]

离开静电、固定 \(\mathbf p\) 的条件后，这两种写法不能不加说明地互换。²⁵

2.4 Permanent versus induced dipoles

对给定的永久偶极矩，能量是

\[U_{\rm perm}=-\mathbf p\cdot\mathbf E.\]

对各向同性、线性、可极化的小物体，若

\[\mathbf p_{\rm ind}=\alpha\mathbf E,\]

建立偶极矩本身也需要逐步极化；正确能量为

\[\boxed{U_{\rm ind}=-\frac12\alpha E^2}\]

而不是把 \(\mathbf p=\alpha\mathbf E\) 直接代入永久偶极公式。于是

\[\boxed{\mathbf F_{\rm ind}=\frac12\alpha\boldsymbol\nabla(E^2)}\]

（静电、标量且位置无关的 \(\alpha>0\)）。这里的 \(\mathbf E\) 是不含粒子自场的外部驱动场，并假定固定外部场源、无永久偶极、极化可逆且处在线性响应区；一般非线性响应应使用 \(U_{\rm ind}=-\int_{\mathbf 0}^{\mathbf E}\mathbf p_{\rm ind}(\mathbf E')\cdot d\mathbf E'\)，不能机械保留 \(1/2\)。各向同性感生偶极与局域场平行，因而没有 \(\mathbf p\times\mathbf E\) 力矩；各向异性极化率则可能产生取向力矩。⁶

2.5 Worked Example 2 — Torque and energy in a uniform field

沿用 \(p=1.20\times10^{-11}\ \mathrm{C\,m}\)，置于

\[E=2.50\times10^4\ \mathrm{N\,C^{-1}}, \qquad \theta=30.0^\circ.\]

力矩大小：

\[\tau=pE\sin\theta =(1.20\times10^{-11})(2.50\times10^4)\sin30^\circ =\boxed{1.50\times10^{-7}\ \mathrm{N\,m}}.\]

以 \(U=0\) at \(90^\circ\)：

\[U=-pE\cos\theta =\boxed{-2.60\times10^{-7}\ \mathrm J}.\]

合力仍严格为零，因为外场均匀。

2.6 Worked Example 3 — Force in a one-dimensional gradient

刚性永久偶极沿 \(+x\)，

\[p_x=6.0\times10^{-12}\ \mathrm{C\,m},\]

外场在偶极附近为

\[\mathbf E(x)=(E_0+Gx)\hat{\mathbf x}, \qquad G=3.0\times10^6\ \mathrm{V\,m^{-2}}.\]

则

\[F_x=p_x\frac{\partial E_x}{\partial x} =p_xG =\boxed{1.8\times10^{-5}\ \mathrm N}.\]

方向为 \(+x\)。若把同一永久偶极反向固定，\(p_x<0\)，力也反向；这再次说明永久偶极并非无条件朝 \(|E|\) 较大处运动。

2.7 Model boundary

Knowledge 3 — Dipole field and far-field approximation / 偶极场与远场近似

3.1 Exact potential and field of two finite charges

继续令 \(+q\) 位于 \(+\mathbf d/2\)，\(-q\) 位于 \(-\mathbf d/2\)。对任意场点 \(\mathbf r\)，精确势为

\[\boxed{ \phi_{\rm exact}(\mathbf r) =k_eq\left[ \frac{1}{|\mathbf r-\mathbf d/2|} -\frac{1}{|\mathbf r+\mathbf d/2|} \right] }.\]

直接叠加两点电荷场：

\[\boxed{ \mathbf E_{\rm exact}(\mathbf r) =k_eq\left[ \frac{\mathbf r-\mathbf d/2}{|\mathbf r-\mathbf d/2|^3} -\frac{\mathbf r+\mathbf d/2}{|\mathbf r+\mathbf d/2|^3} \right] }.\]

这两式对源点之外的任意位置成立，没有使用 \(r\gg d\)。远场公式必须从它们近似得到，不能反过来拿远场公式计算靠近某一个电荷的场。

3.2 Exact special cases: axis and equatorial plane

令 \(\mathbf p=p\hat{\mathbf z}\)，两电荷位于 \(z=\pm a\)，其中

\[a=\frac d2, \qquad p=2qa.\]

On the positive axis / 正轴线，\(r>a\)

电势：

\[\phi_{\rm ax}^{\rm exact}(r) =k_eq\left(\frac1{r-a}-\frac1{r+a}\right) =\boxed{\frac{k_ep}{r^2-a^2}}.\]

电场沿 \(+\hat{\mathbf z}=\hat{\mathbf p}\)：

\[\boxed{ \mathbf E_{\rm ax}^{\rm exact}(r) =\frac{2k_epr}{(r^2-a^2)^2}\,\hat{\mathbf p} }.\]

在负轴线一侧，电势变号，但场仍沿 \(\hat{\mathbf p}\)；上式的场强大小可用 \(r\) 表示从中心到场点的正距离。

On the equatorial plane / 中垂面

两电荷到场点距离相等，所以电势精确为零：

\[\boxed{\phi_{\rm eq}^{\rm exact}=0}.\]

但两场的横向分量抵消、沿偶极轴的分量同向相加：

\[\boxed{ \mathbf E_{\rm eq}^{\rm exact}(r) =-\frac{k_ep}{(r^2+a^2)^{3/2}}\,\hat{\mathbf p} }.\]

3.3 Far-field derivation from the exact potential

若

\[r\gg d,\]

则对 \(|\mathbf r'|<r\)，Coulomb kernel 的前几项为

\[\frac1{|\mathbf r-\mathbf r'|} =\frac1r +\frac{\hat{\mathbf r}\cdot\mathbf r'}{r^2} +O\!\left(\frac{r'^2}{r^3}\right).\]

分别令 \(\mathbf r'=\pm\mathbf d/2\)：

\[\frac1{|\mathbf r-\mathbf d/2|} \simeq\frac1r+\frac{\hat{\mathbf r}\cdot\mathbf d}{2r^2},\]

\[\frac1{|\mathbf r+\mathbf d/2|} \simeq\frac1r-\frac{\hat{\mathbf r}\cdot\mathbf d}{2r^2}.\]

相减时两个 \(1/r\) monopole 项抵消：

\[\phi_{\rm dip}(\mathbf r) =k_eq\frac{\hat{\mathbf r}\cdot\mathbf d}{r^2} =\boxed{k_e\frac{\mathbf p\cdot\hat{\mathbf r}}{r^2}}.\]

等价地，

\[\boxed{ \phi_{\rm dip}(\mathbf r) =k_e\frac{\mathbf p\cdot\mathbf r}{r^3} =-k_e\mathbf p\cdot\boldsymbol\nabla\left(\frac1r\right) }.\]

对关于中点反对称的理想两电荷偶极，所有偶数 \(\ell\) 项消失，所以下一个修正是 octupole；相对误差从 \(O[(d/r)^2]\) 开始，而不是 \(O(d/r)\)。⁷⁸

3.4 Point-dipole electric field

对 \(\mathbf p\) 为空间常矢量且 \(r\ne0\)，

\[\mathbf E_{\rm dip} =-\boldsymbol\nabla\phi_{\rm dip} =-k_e\boldsymbol\nabla\left(\frac{\mathbf p\cdot\mathbf r}{r^3}\right).\]

利用

\[\boldsymbol\nabla(\mathbf p\cdot\mathbf r)=\mathbf p, \qquad \boldsymbol\nabla(r^{-3})=-3r^{-4}\hat{\mathbf r},\]

得到

\[\boxed{ \mathbf E_{\rm dip}(\mathbf r) =\frac{k_e}{r^3} \left[3(\mathbf p\cdot\hat{\mathbf r})\hat{\mathbf r}-\mathbf p\right] }, \qquad r\ne0.\]

若 \(\mathbf p=p\hat{\mathbf z}\)，球坐标分量为

\[\boxed{E_r=\frac{2k_ep\cos\theta}{r^3}}, \qquad \boxed{E_\theta=\frac{k_ep\sin\theta}{r^3}}, \qquad E_\varphi=0.\]

场强大小：

\[\boxed{ E(r,\theta) =\frac{k_ep}{r^3}\sqrt{1+3\cos^2\theta} }.\]

两条经典方向结果：

\[\boxed{\mathbf E_{\rm ax}\simeq\frac{2k_ep}{r^3}\hat{\mathbf p}}, \qquad \boxed{\mathbf E_{\rm eq}\simeq-\frac{k_ep}{r^3}\hat{\mathbf p}}.\]

轴线场强是同距离中垂面场强的两倍；两者方向相反。

3.5 Angular structure

在固定 \(r\) 上：

\[\frac{\phi}{k_ep/r^2}=\cos\theta, \quad \frac{E_r}{k_ep/r^3}=2\cos\theta, \quad \frac{E_\theta}{k_ep/r^3}=\sin\theta,\]

\[\frac{|\mathbf E|}{k_ep/r^3}=\sqrt{1+3\cos^2\theta}.\]

3.6 How far is “far”?

将精确轴线与中垂面场除以各自的点偶极远场：

\[\boxed{ \frac{E_{\rm ax}^{\rm exact}}{E_{\rm ax}^{\rm dip}} =\frac{1}{[1-(a/r)^2]^2} },\]

\[\boxed{ \frac{E_{\rm eq}^{\rm exact}}{E_{\rm eq}^{\rm dip}} =\frac{1}{[1+(a/r)^2]^{3/2}} }.\]

二者都在 \(r/a\to\infty\) 时趋近 1，但轴线近似从下方低估精确值，中垂面近似从上方高估精确值。

3.7 Worked Example 4 — Exact versus far-field numbers

取

\[q=2.0\ \mathrm{nC}, \qquad d=6.0\ \mathrm{mm}, \qquad a=3.0\ \mathrm{mm},\]

所以

\[p=qd=1.20\times10^{-11}\ \mathrm{C\,m}.\]

观察距离 \(r=4.0\ \mathrm{cm}\)，即 \(r/a=13.3\)。

Positive axis

\[E_{\rm ax}^{\rm exact} =\frac{2k_epr}{(r^2-a^2)^2} =\boxed{3.409\times10^3\ \mathrm{N\,C^{-1}}},\]

\[E_{\rm ax}^{\rm dip} =\frac{2k_ep}{r^3} =\boxed{3.370\times10^3\ \mathrm{N\,C^{-1}}}.\]

远场值比精确值低 \(1.12\%\)。

Equatorial plane

\[E_{\rm eq}^{\rm exact} =\frac{k_ep}{(r^2+a^2)^{3/2}} =\boxed{1.671\times10^3\ \mathrm{N\,C^{-1}}},\]

\[E_{\rm eq}^{\rm dip} =\frac{k_ep}{r^3} =\boxed{1.685\times10^3\ \mathrm{N\,C^{-1}}}.\]

远场值比精确值高 \(0.845\%\)。方向为 \(-\hat{\mathbf p}\)。

3.8 Model boundary

Knowledge 4 — Multipole expansion and leading-order behavior / 多极展开与主导阶行为

4.1 The geometry and the small parameter

设所有源电荷位于以原点为中心、半径不超过 \(a\) 的有限区域：

\[|\mathbf r'|\le a.\]

观察点在源区之外，并满足

\[\boxed{r>a}, \qquad \text{far field: }\boxed{a/r\ll1}.\]

多极展开就是把 kernel \(1/|\mathbf r-\mathbf r'|\) 按无量纲小参数 \(r'/r\) 展开。⁹

4.2 Expanding the Coulomb kernel through quadrupole order

对 \(0\le r'<r\)，Legendre 形式是

\[\frac1{|\mathbf r-\mathbf r'|} =\frac1r\sum_{\ell=0}^\infty \left(\frac{r'}r\right)^\ell P_\ell(\cos\gamma),\]

其中 \(\gamma\) 是 \(\mathbf r\) 与 \(\mathbf r'\) 的夹角。取前三阶：

\[\boxed{ \frac1{|\mathbf r-\mathbf r'|} =\frac1r +\frac{\hat{\mathbf r}\cdot\mathbf r'}{r^2} +\frac{3(\hat{\mathbf r}\cdot\mathbf r')^2-r'^2}{2r^3} +O\!\left(\frac{a^3}{r^4}\right) }.\]

代入

\[\phi(\mathbf r) =k_e\int\frac{\rho(\mathbf r')}{|\mathbf r-\mathbf r'|}\,d^3r'\]

并逐项定义：

\[\boxed{Q\equiv\int\rho(\mathbf r')\,d^3r'},\]

\[\boxed{p_i\equiv\int\rho(\mathbf r')x'_i\,d^3r'},\]

\[\boxed{ Q_{ij} \equiv \int\rho(\mathbf r') \left(3x'_ix'_j-r'^2\delta_{ij}\right)d^3r' }.\]

本课的势展开固定为

\[\boxed{ \phi(\mathbf r) =k_e\left[ \frac Qr +\frac{\mathbf p\cdot\hat{\mathbf r}}{r^2} +\frac{1}{2r^3}Q_{ij}\hat r_i\hat r_j +O(r^{-4}) \right] }.\]

这里及下文对重复 Cartesian indices 使用求和约定。该式与 MIT 8.07 公式表、Cambridge Part IB 讲义及常见 Jackson convention 一致。²¹⁰¹¹

4.3 Properties of the quadrupole tensor

由定义立即可得

\[Q_{ij}=Q_{ji}\]

和

\[Q_{ii} =\int\rho(3r'^2-3r'^2)\,d^3r'=0.\]

所以 \(Q_{ij}\) 是 symmetric and traceless：

\[\boxed{Q_{ij}=Q_{ji},\qquad\mathrm{Tr}\,Q=0}.\]

三维对称张量有 6 个独立分量，零迹去掉 1 个，因此电四极矩有 5 个独立分量，正好对应球谐展开中 \(\ell=2\) 的 \(m=-2,-1,0,1,2\)。

四极电场可从 \(\mathbf E_Q=-\nabla\phi_Q\) 得到。对 \(r\ne0\)：

\[\boxed{ (E_Q)_i =\frac{k_e}{2r^4} \left[ 5(Q_{jk}\hat r_j\hat r_k)\hat r_i -2Q_{ij}\hat r_j \right] }.\]

它明确显示 quadrupole field 按 \(r^{-4}\) 衰减。

4.4 Leading-order behavior

对一般 \(\ell\) 阶：

\[\boxed{\phi_\ell\propto r^{-(\ell+1)}}, \qquad \boxed{E_\ell\propto r^{-(\ell+2)}}.\]

4.5 Symmetry and parity select the leading term

Legendre polynomial满足

\[P_\ell(-x)=(-1)^\ell P_\ell(x).\]

因此 \(\ell\) 阶势在空间反演下具有 parity \((-1)^\ell\)：

\[\phi_\ell(-\mathbf r)=(-1)^\ell\phi_\ell(\mathbf r).\]

• even source symmetry \(\rho(-\mathbf r')=\rho(\mathbf r')\) 消去所有 odd moments，特别是 dipole；
• odd charge symmetry \(\rho(-\mathbf r')=-\rho(\mathbf r')\) 消去所有 even moments，包括 monopole 与 quadrupole；
• 轴对称会使许多 off-diagonal \(Q_{ij}\) 和 \(m\ne0\) spherical components 消失。

4.6 Canonical axial quadrupole

考虑

• \(+q\) at \(z=+a\)；
• \(+q\) at \(z=-a\)；
• \(-2q\) at the origin。

它满足

\[Q_{\rm total}=0, \qquad \mathbf p=0.\]

用本课 convention 逐点求和：

\[\boxed{ Q_{ij}=qa^2 \begin{pmatrix} -2&0&0\\ 0&-2&0\\ 0&0&4 \end{pmatrix} }.\]

代入 \(\hat r_x^2+\hat r_y^2=\sin^2\theta\)、\(\hat r_z^2=\cos^2\theta\)：

\[\phi_Q(r,\theta) =\frac{k_eqa^2}{r^3}(3\cos^2\theta-1) =\boxed{\frac{2k_eqa^2}{r^3}P_2(\cos\theta)}.\]

零势锥面满足

\[3\cos^2\theta-1=0,\]

即

\[\boxed{\theta=54.74^\circ\quad\text{or}\quad125.26^\circ}.\]

4.7 Worked Example 5 — SI quadrupole potential

取

\[q=1.00\ \mathrm{nC}, \qquad a=2.00\ \mathrm{mm}, \qquad r=0.100\ \mathrm m.\]

张量分量：

\[Q_{zz}=4qa^2 =4(1.00\times10^{-9})(2.00\times10^{-3})^2 =\boxed{1.60\times10^{-14}\ \mathrm{C\,m^2}},\]

\[Q_{xx}=Q_{yy}=-2qa^2 =\boxed{-8.00\times10^{-15}\ \mathrm{C\,m^2}}.\]

正轴线 \(\theta=0\)：

\[\phi_Q(r,0) =\frac{2k_eqa^2}{r^3} =\boxed{7.19\times10^{-2}\ \mathrm V}.\]

中垂面 \(\theta=\pi/2\)：

\[\phi_Q\left(r,\frac\pi2\right) =-\frac{k_eqa^2}{r^3} =\boxed{-3.60\times10^{-2}\ \mathrm V}.\]

轴线首阶四极场为

\[E_r(r,0) =-\frac{\partial}{\partial r} \left(\frac{2k_eqa^2}{r^3}\right) =\frac{6k_eqa^2}{r^4} =\boxed{2.16\ \mathrm{N\,C^{-1}}}.\]

这里 \(r/a=50\)，忽略更高阶是良好近似。

4.8 Origin dependence beyond the dipole

在原点平移 \(\mathbf a\)、新坐标 \(\mathbf r''=\mathbf r'-\mathbf a\) 下：

\[Q''=Q,\]

\[\mathbf p''=\mathbf p-Q\mathbf a,\]

而本课的 traceless quadrupole tensor 变为

\[\boxed{ Q''_{ij} =Q_{ij} -3(a_ip_j+a_jp_i) +2\delta_{ij}(\mathbf a\cdot\mathbf p) +Q(3a_ia_j-a^2\delta_{ij}) }.\]

因此：

• \(Q\) 对原点总是不变；
• \(\mathbf p\) 仅在 \(Q=0\) 时对原点不变；
• 若 \(Q=0\) 且 \(\mathbf p=0\)，则 \(Q_{ij}\) 对任意原点平移保持不变；否则一般会随平移改变。

完整电势当然不依赖我们选哪一个原点；变化的是截断展开中各阶之间如何重新分配。通常把原点选在源区的几何中心、对称中心或能尽量消去低阶矩的位置。¹

4.9 UG2 extension — Multipoles in an external potential

4.10 Model boundary

5. Lesson synthesis / 全课整合

5.1 From source to far field

5.2 Core equation sheet

5.3 A six-step solution workflow

1. Locate the source. 画出源区、原点、\(\mathbf r'\)、场点 \(\mathbf r\) 和最大源尺寸 \(a\)。
2. Compute the exact low moments. 先算 \(Q\)；只有 \(Q=0\) 才把 \(\mathbf p\) 当作原点无关的内禀量。
3. Use symmetry before algebra. 反演、镜像和轴对称常能直接消去整类分量。
4. Choose exact or far field. 两点偶极近场用 Coulomb 叠加；\(r\gg a\) 才截断多极展开。
5. Lock conventions. 四极矩答案同时写出 \(Q_{ij}\) 定义与 \(\phi_Q\) 前系数。
6. State the error and boundary. 指出第一个省略项、估计 \(a/r\)，并说明永久/感生、静电/时变和真空/介质假设。

5.4 Exact finite dipole versus point-dipole model

6. Misconception clinic / 易错概念诊所

7. Practice and retrieval / 练习与检索

A. Conceptual questions

1. 为什么电偶极矩方向与两电荷之间的电场方向相反？
2. 写出原点平移后 \(\mathbf p\) 的变换式，并解释为什么中性分子的永久偶极矩是良定义的。
3. 一个偶极子在匀强场中合力为零，为什么仍能获得转动动能？
4. 为什么 \(\theta=\pi\) 是零力矩却不稳定？
5. 在什么条件下 \((\mathbf p\cdot\nabla)\mathbf E=\nabla(\mathbf p\cdot\mathbf E)\)？
6. 为什么各向同性线性感生偶极的能量有 \(1/2\)？
7. 中垂面上 \(\phi=0\) 而 \(\mathbf E\ne0\) 是否违反 \(\mathbf E=-\nabla\phi\)？
8. 若 \(\rho(-\mathbf r')=\rho(\mathbf r')\)，哪些奇偶多极矩必定消失？

B. Quantitative and derivation questions

9. \(q=5.0\ \mathrm{nC}\)、\(d=2.0\ \mathrm{mm}\) 的偶极子置于 \(E=3.0\times10^4\ \mathrm{N/C}\)、\(\theta=60^\circ\) 的匀强场中。求 \(p,\tau,U\)。
10. 固定永久偶极 \(\mathbf p=p\hat{\mathbf x}\)，外场 \(\mathbf E=(E_0+Gx)\hat{\mathbf x}\)。从两端电荷的精确合力推出 \(F_x=pG\)。
11. 对 \(a/r=0.20\)，计算轴线和中垂面 \(E_{\rm exact}/E_{\rm dip}\)，判断远场式分别低估还是高估。
12. 从 \(\phi=k_ep\cos\theta/r^2\) 推导 \(E_r\) 和 \(E_\theta\)。
13. 两点偶极的中垂面精确场为什么是 \(-k_ep(r^2+a^2)^{-3/2}\hat{\mathbf p}\)？请从分量叠加说明。
14. 三个电荷 \(+q\) at \(z=\pm a\)、\(-2q\) at 0。计算 \(Q,\mathbf p,Q_{xx},Q_{yy},Q_{zz}\)。
15. 使用本课 convention，证明上题远场势为 \(k_eqa^2(3\cos^2\theta-1)/r^3\)。
16. 某局域源 \(Q=0\)、\(\mathbf p\ne0\)。把原点平移 \(\mathbf a\) 后，\(\mathbf p\) 是否改变？\(Q_{ij}\) 是否一定不变？
17. 若一个分布的 monopole、dipole、quadrupole 全部为零，最低可能非零项是 octupole。写出其势与场的距离幂律。
18. 一个标量极化率为 \(\alpha\) 的小粒子位于一维静电场 \(E(x)=E_0e^{-x/L}\)。求感生势能与 \(x\) 方向力。

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不查公式，用四句话回答：

1. \(\mathbf p\) 的方向和原点条件是什么？
2. 匀强场和非匀强场分别能对永久偶极做什么？
3. 点偶极势与场分别如何随距离衰减？
4. 如何判断 monopole、dipole、quadrupole 中谁控制远场？

8. References and source notes / 参考资料与使用说明

8.1 Source-to-content map

8.2 Bibliographic notes

1. MIT 8.02T course staff. Electricity and Magnetism, Chapter 2: Coulomb's Law. 本课以其 finite dipole、力矩和势能推导作为 UG1 主干。
2. Guth, A. and MIT 8.07 course staff. Final Formula Sheet. 本课的 \(Q_{ij}=\int\rho(3x_ix_j-r^2\delta_{ij})d^3x\) 与 \(\phi_Q=k_eQ_{ij}\hat r_i\hat r_j/(2r^3)\) convention 以该表为主要公开核对源，并用 Cambridge Part IB 讲义独立复核。
3. Feynman, R. P., Leighton, R. B., and Sands, M. The Feynman Lectures on Physics, Volume II, Chapters 6, 10, and 15. 用于核对偶极远场、力矩能量及感生极化的物理解释。
4. Fitzpatrick, R. Classical Electromagnetism online notes, UT Austin. 用于核对 ideal dipole limit、局域电荷分布和 multipole hierarchy。
5. Scoccimarro, R. “Electrostatic Multipole Expansion,” NYU Electromagnetism notes. 用于独立核对 Cartesian 展开与原点依赖。
6. University of Washington Physics 513. Jackson Chapter 4–related lecture on multipoles and dielectric media. 用于核对 traceless tensor 的研究生教材 convention。

8.3 Reading route after this lesson

• 正式建立电势、路径无关与 \(\mathbf E=-\nabla\phi\)：Unit 4.3 — Electric Potential and Energy。
• 用对称性和通量求场：Electric Flux 及后续 Gauss's Law lessons。
• 处理介质中的大量偶极：后续 Polarization and Dielectrics lessons。
• 系统研究球谐、多极边值法：PART IV 的 Advanced Electromagnetic Field Theory。
• 时变偶极与辐射多极：Maxwell's Equations and Electromagnetic Waves 之后的 radiation lessons。