电场

Learning objectives / 学习目标

完成本课后，你应当能够：

1. 用正的、足够小的试探电荷给出电场的操作性定义，并说明极限、正负号、自场和探针扰动等边界条件。
2. 用源点 \(\mathbf r'\)、场点 \(\mathbf r\) 与分离矢量 \(\mathbf R=\mathbf r-\mathbf r'\) 写出点电荷电场。
3. 对多个点电荷逐个求场、分解分量并作矢量叠加，而不是叠加场强大小。
4. 在矢量场图和电场线图之间转换，解释切向、疏密、起止、不相交等规则的适用范围。
5. 由 \(\mathbf F=q\mathbf E\) 与 Newton 第二定律求解匀强电场中的一维或二维非相对论运动。
6. 定义线、面、体电荷密度，并把离散求和严格推广成关于 \(\mathbf r'\) 的矢量积分。
7. 利用对称性在积分前判断哪些分量抵消，并用近场、远场和单位检验验证结果。
8. 区分物理场、场的图示、试探粒子的轨迹和理想化数学模型。

0. Before starting: the field model and notation

0.1 From interaction to a local field

“电荷 \(Q\) 对电荷 \(q\) 施力”可以拆成两个彼此独立的问题：

\[\boxed{\text{source charges}\longrightarrow \mathbf E(\mathbf r)} \qquad \boxed{\mathbf E(\mathbf r)\longrightarrow \mathbf F=q\mathbf E}.\]

第一步只由源电荷及其状态决定；第二步才放入某个受力电荷。这样，一旦空间中的场已经求出，同一点放入不同的电荷便不必重新计算所有源的 Coulomb 力。¹²

0.2 One source point, one field point, one separation vector

全课固定使用以下记号：

在 SI 中，

\[[\mathbf E]=\mathrm{N/C}.\]

后续电势课会证明它也可写成 \(\mathrm{V/m}\)，但本课只需从 \(\mathbf F=q\mathbf E\) 得到 \(\mathrm{N/C}\)。

Knowledge 1 — Test-charge and operational definition of electric field / 电场的试探电荷定义

Knowledge ID: P04-U01-L02-K01

1.1 Definition as a limiting measurement

在选定参考系中，把一个正的、点状、足够小并瞬时静止的试探电荷 \(q_0\) 放在场点 \(\mathbf r\)。测量其他电荷对它的电力 \(\mathbf F_{\rm ext}\)，定义

\[\boxed{ \mathbf E(\mathbf r) =\lim_{q_0\to0^+} \frac{\mathbf F_{\rm ext}(\mathbf r;q_0)}{q_0} }.\]

“\(q_0\to0^+\)”同时编码了两件事：

1. \(q_0>0\) 固定电场方向为正试探电荷受力方向；
2. 取弱探针极限，使探针不显著移动、极化或重排源电荷。

若源不受探针影响，则在足够小的区间

\[\mathbf F_{\rm ext}=q_0\mathbf E,\]

因此某一分量的 \(F\)–\(q_0\) 图像斜率就是对应的电场分量。

1.2 Why the field is independent of the probe

假设同一点依次放入 \(+q_a\)、\(+q_b\) 和 \(-q_a\)，且三者都不扰动源：

\[\frac{\mathbf F_a}{q_a} =\frac{\mathbf F_b}{q_b} =\frac{\mathbf F_{-a}}{-q_a} =\mathbf E(\mathbf r).\]

负电荷所受力与 \(\mathbf E\) 反向，但除以带符号的负电荷后，仍得到同一个 \(\mathbf E\)。因此“用正试探电荷”是规定方向的便利，不表示只有正电荷能测场。

1.3 Operational boundary conditions

真实测量永远不是一个抽象极限。定义成立需要逐项说明以下边界：

1.4 Static definition and the general electromagnetic caveat

本课讨论静电场。更一般地，带电粒子的电磁力为

\[\mathbf F_{\rm em}=q(\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B).\]

所以要用受力定义单独识别 \(\mathbf E\)，最干净的方案是令试探电荷在测量瞬间 \(\mathbf v=0\)。在强时间变化、辐射或量子尺度下，探针反作用与“点粒子”模型还需更高级理论；这些不改变本课的静电定义，但限制它的实验实现。

Knowledge 2 — Electric field of point charges / 点电荷电场

Knowledge ID: P04-U01-L02-K02

2.1 One point source in vector form

源电荷 \(q\) 位于 \(\mathbf r'\)。在场点 \(\mathbf r\ne\mathbf r'\)，分离矢量为

\[\mathbf R=\mathbf r-\mathbf r', \qquad R=|\mathbf R|, \qquad \widehat{\mathbf R}=\frac{\mathbf R}{R}.\]

由 Coulomb 定律除以试探电荷，得到

\[\boxed{ \mathbf E_q(\mathbf r) =k_e\frac{q}{R^2}\widehat{\mathbf R} =k_e q\frac{\mathbf r-\mathbf r'}{|\mathbf r-\mathbf r'|^3} }.\]

方向信息已经包含在带符号的 \(q\) 中：

• \(q>0\)：\(\mathbf E\) 沿 \(\widehat{\mathbf R}\)，从源点向外；
• \(q<0\)：\(\mathbf E\) 与 \(\widehat{\mathbf R}\) 反向，指向源点。

2.2 Inverse-square structure and unit check

大小满足

\[E(R)=k_e\frac{|q|}{R^2}.\]

距离加倍，场强变为四分之一；距离乘三，场强变为九分之一。量纲为

\[[E] =\frac{\mathrm{N\,m^2}}{\mathrm{C^2}} \frac{\mathrm C}{\mathrm{m^2}} =\mathrm{N/C}.\]

2.3 Superposition for many point charges

若有 \(N\) 个点电荷 \(q_i\) 位于 \(\mathbf r_i'\)，每个源独立贡献一个场，净场为矢量和：

\[\boxed{ \mathbf E(\mathbf r) =\sum_{i=1}^{N}\mathbf E_i(\mathbf r) =k_e\sum_{i=1}^{N} q_i\frac{\mathbf r-\mathbf r_i'}{|\mathbf r-\mathbf r_i'|^3} }.\]

可靠的计算顺序是：

1. 对每个源写 \(\mathbf R_i=\mathbf r-\mathbf r_i'\)；
2. 单独求 \(\mathbf E_i\) 的方向和大小；
3. 分解成同一坐标系中的分量；
4. 分量相加；
5. 最后才求净场大小和方向。

2.4 Worked Example 1 — a fully vectorial two-source field

取

\[q_1=+2.00\ \mathrm{nC},\quad \mathbf r_1'=(-0.030,0)\ \mathrm m,\]

\[q_2=-1.00\ \mathrm{nC},\quad \mathbf r_2'=(+0.030,0)\ \mathrm m,\]

并求 \(P=(0,0.040)\ \mathrm m\) 处的电场。两源到 \(P\) 的距离均为 \(0.050\ \mathrm m\)：

\[\widehat{\mathbf R}_1=0.6\widehat{\mathbf x}+0.8\widehat{\mathbf y},\]

而负电荷的场在 \(P\) 指向 \(q_2\)：

\[\mathbf E_1 =7.190\times10^3(0.6\widehat{\mathbf x}+0.8\widehat{\mathbf y})\]

\[=(4.314\widehat{\mathbf x}+5.752\widehat{\mathbf y})\times10^3\ \mathrm{N/C},\]

\[\mathbf E_2 =3.595\times10^3(0.6\widehat{\mathbf x}-0.8\widehat{\mathbf y})\]

\[=(2.157\widehat{\mathbf x}-2.876\widehat{\mathbf y})\times10^3\ \mathrm{N/C}.\]

因此

\[\boxed{ \mathbf E =(6.471\widehat{\mathbf x}+2.876\widehat{\mathbf y})\times10^3\ \mathrm{N/C} }\]

\[\boxed{ E=7.081\times10^3\ \mathrm{N/C}, \qquad \theta=23.96^\circ\ \text{above }+x }.\]

2.5 Symmetry can cancel components—or the whole field

两个相同正电荷位于 \(x=\pm a\)。在垂直平分线上的点 \((0,y)\)，水平分量相消、竖直分量相加；在中点 \((0,0)\)，两者全部相消。

Knowledge 3 — Field lines and vector-field representation / 电场线与矢量场表示

Knowledge ID: P04-U01-L02-K03

3.1 The electric field is a vector field

在固定时刻，电场把空间中的每个允许场点映射到一个矢量：

\[\mathbf E:\ \mathbf r\longmapsto\mathbf E(\mathbf r).\]

一个**矢量场图（vector-field map）**在许多采样点画出箭头：

• 箭头方向表示局部 \(\mathbf E\) 的方向；
• 若图例明确，箭头长度可表示 \(E\) 的相对大小；
• 由于真实场在每一点都有值，有限数量的箭头只是采样，而不是场本身。

一个**电场线图（electric-field-line diagram）**则画出一族曲线，使任一点的曲线切线与局部电场同向。若曲线写成 \(\mathbf r(s)\)，可用

\[\boxed{ \frac{d\mathbf r}{ds}\parallel\mathbf E[\mathbf r(s)] }\]

表达；若 \(s\) 选作弧长，还可写成

\[\frac{d\mathbf r}{ds}=\frac{\mathbf E}{|\mathbf E|}.\]

电场线的形状编码方向，但参数 \(s\) 不是时间，曲线上“走多快”也不等于粒子的实际速度。³⁴

3.2 Rules for electrostatic field lines

在本课的静电范围内，一幅自洽的场线图遵守：

1. 场线从正电荷或无穷远出发，终止于负电荷或无穷远；
2. 箭头沿正试探电荷受力方向，从“\(+\)”指向“\(-\)”；
3. 每一点的 \(\mathbf E\) 与通过该点的场线相切；
4. 在同一幅图采用一致画法时，场线越密表示场越强；
5. 从某电荷出发或终止的线数可按 \(|q|\) 的相对大小分配；
6. 场线不能在 \(\mathbf E\ne0\) 的普通点相交；
7. 静电场线不形成闭合回路。

第 4、5 条是表示约定而不是新的测量定律：画 8 条还是 16 条都可以，只要同图比例一致。没有图例时，不能从纸面线距读出精确的 \(\mathrm{N/C}\) 数值。OpenStax 与 Feynman 的表述都强调，线密度代表的是穿过垂直截面的线数/面积，而非沿曲线方向的“一维间距”。³⁴

3.3 Why field lines cannot cross

若两条场线在一个普通点相交，它们给出的两条切线方向不同；于是同一点的 \(\mathbf E\) 将有两个方向，这与“场是单值矢量函数”矛盾。

在 \(\mathbf E=0\) 的零点，方向本身未定义，场线的局部拓扑可能看起来像“分叉”或分隔区，但仍不能把它解释为一个非零矢量有两个方向。

3.4 Field lines are not particle trajectories

场线只回答“若在这一点瞬时放入正、静止试探电荷，它的加速度指向哪里”。真实轨迹还取决于：

• 粒子的初速度；
• 电荷正负号；
• 惯性与到达新位置所需时间；
• 场随位置和时间的变化；
• 其他力。

因此，负电荷从静止释放会向场线箭头反向加速；带横向初速度的正电荷即使在匀强场中也走抛物线，而不是沿一条直场线。

3.5 Reading a representation without over-reading it

Knowledge 4 — Motion of a charge in a uniform electric field / 电荷在匀强电场中的运动

Knowledge ID: P04-U01-L02-K04

4.1 Uniform field and the force direction

匀强电场（uniform electric field）是在所研究区域内大小和方向都不随位置改变的场：

\[\mathbf E(\mathbf r)=\mathbf E_0.\]

两块面积远大于间距的相反带电平行板，在远离边缘的中央区域近似产生匀强场。若理想无限薄板面电荷密度为 \(+\sigma\) 与 \(-\sigma\)，单板每侧场强为 \(\sigma/(2\varepsilon_0)\)；叠加后板间

\[E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0},\]

板外则相消。此处把单板结果作为后续 Gauss-law lesson 的前瞻结论，不在本课用它替代 Coulomb 主线。

4.2 Derivation from Newton's second law

若只有给定外电场施加电力，

\[m\frac{d^2\mathbf r}{dt^2}=q\mathbf E_0.\]

于是加速度为常矢量

\[\boxed{\mathbf a=\frac{q}{m}\mathbf E_0}.\]

积分一次和两次：

\[\boxed{ \mathbf v(t)=\mathbf v_0+\frac{q\mathbf E_0}{m}t }\]

\[\boxed{ \mathbf r(t)=\mathbf r_0+\mathbf v_0t +\frac12\frac{q\mathbf E_0}{m}t^2 }.\]

质量只影响加速度大小，电荷符号控制加速度相对 \(\mathbf E\) 的方向。响应尺度由荷质比 \(q/m\) 决定。

4.3 Perpendicular injection gives a parabola

令

\[\mathbf E=E\widehat{\mathbf y}, \qquad \mathbf v_0=v_0\widehat{\mathbf x}, \qquad \mathbf r_0=(0,0).\]

则

\[x=v_0t, \qquad y=\frac{qE}{2m}t^2.\]

消去 \(t=x/v_0\)：

\[\boxed{ y(x)=\frac{qE}{2mv_0^2}x^2 }.\]

这是抛物线。若 \(q<0\)，开口与 \(\mathbf E\) 相反；若还有非零 \(v_{0y}\)，则再加线性项 \((v_{0y}/v_{0x})x\)。

4.4 Position and velocity as functions of time

横向运动保持匀速，而场方向速度线性变化、位移二次变化：

4.5 Worked Example 2 — electron beam between plates

一个电子以

\[v_0=5.00\times10^6\ \mathrm{m/s}\]

沿 \(+x\) 方向进入长度 \(L=2.00\ \mathrm{cm}\) 的匀强电场区，

\[\mathbf E=+1.50\times10^3\ \mathrm{N/C}\,\widehat{\mathbf y}.\]

采用 \(e=1.602\,176\,634\times10^{-19}\ \mathrm C\) 与 \(m_e=9.109\,383\,71\times10^{-31}\ \mathrm{kg}\)，电子 \(q=-e\)。⁵⁶

横向飞行时间：

\[t=\frac{L}{v_0} =\frac{0.0200}{5.00\times10^6} =4.00\times10^{-9}\ \mathrm s.\]

竖直加速度：

\[a_y=\frac{-eE}{m_e} =-2.638\times10^{14}\ \mathrm{m/s^2}.\]

出口偏转与竖直速度：

\[\boxed{ y=\frac12a_yt^2=-2.111\times10^{-3}\ \mathrm m }\]

\[\boxed{ v_y=a_yt=-1.055\times10^6\ \mathrm{m/s} }.\]

出口速率和方向为

\[v=5.110\times10^6\ \mathrm{m/s}, \qquad \theta=-11.92^\circ.\]

由于 \(v/c\approx0.0170\ll1\)，非相对论近似自洽。负号表示电子向电场反方向偏转。

4.6 Model boundary

本节解法要求：

• 电场在粒子经过的整个区域近似恒定；
• 电场由外部装置给定，单粒子不显著改变它；
• 忽略磁场、重力、碰撞与其他粒子相互作用；
• 忽略辐射损失和自身反作用；
• \(v\ll c\)，可用 Newton 力学；
• 平行板近似只用于板宽远大于间距且远离边缘的中央区域。

若任一条件失败，\(\mathbf a=q\mathbf E/m\) 可能随位置、时间或速度变化，简单抛物线不再成立。

Knowledge 5 — Continuous charge distributions / 连续电荷分布

Knowledge ID: P04-U01-L02-K05

5.1 Continuum is a controlled macroscopic approximation

电荷量子化意味着真实物质由离散电荷组成；“连续带电体”并非声称电荷可以任意分割。它的含义是：选取一个尺度很小的电荷元，其中仍含有许多微观电荷，同时该尺度又远小于几何尺寸和场的变化尺度。于是可用平滑密度函数代替逐粒子求和。⁷⁸

三类常用密度为

\[\boxed{\lambda(\mathbf r')=\frac{dq}{d\ell'}} \qquad [\lambda]=\mathrm{C/m},\]

\[\boxed{\sigma(\mathbf r')=\frac{dq}{dA'}} \qquad [\sigma]=\mathrm{C/m^2},\]

\[\boxed{\rho(\mathbf r')=\frac{dq}{dV'}} \qquad [\rho]=\mathrm{C/m^3}.\]

相应的电荷元与总电荷为

\[dq=\lambda\,d\ell', \qquad Q=\int_{\rm line}\lambda(\mathbf r')\,d\ell',\]

\[dq=\sigma\,dA', \qquad Q=\iint_{\rm surface}\sigma(\mathbf r')\,dA',\]

\[dq=\rho\,dV', \qquad Q=\iiint_{\rm volume}\rho(\mathbf r')\,dV'.\]

5.2 From a discrete sum to the master integral

离散点电荷的场为

\[\mathbf E(\mathbf r) =k_e\sum_i q_i \frac{\mathbf r-\mathbf r_i'}{|\mathbf r-\mathbf r_i'|^3}.\]

把足够小的电荷元 \(dq\) 当作点电荷，并令分割趋于连续，Riemann 和变成

\[d\mathbf E(\mathbf r) =k_e\,dq\, \frac{\mathbf R}{R^3}, \qquad \mathbf R=\mathbf r-\mathbf r'.\]

因此主公式是

\[\boxed{ \mathbf E(\mathbf r) =k_e\int \frac{\mathbf r-\mathbf r'}{|\mathbf r-\mathbf r'|^3}\,dq(\mathbf r') }.\]

分别代入三种密度：

\[\boxed{ \mathbf E_{\rm line}(\mathbf r) =k_e\int_{\rm line} \lambda(\mathbf r') \frac{\mathbf r-\mathbf r'}{|\mathbf r-\mathbf r'|^3}\,d\ell' }\]

\[\boxed{ \mathbf E_{\rm surface}(\mathbf r) =k_e\iint_{\rm surface} \sigma(\mathbf r') \frac{\mathbf r-\mathbf r'}{|\mathbf r-\mathbf r'|^3}\,dA' }\]

\[\boxed{ \mathbf E_{\rm volume}(\mathbf r) =k_e\iiint_{\rm volume} \rho(\mathbf r') \frac{\mathbf r-\mathbf r'}{|\mathbf r-\mathbf r'|^3}\,dV' }.\]

这些是矢量积分。写成 \(\int k_e\,dq/R^2\) 只给出每个微元场的大小；除非所有 \(d\mathbf E\) 同向，否则还必须投影分量。

5.3 A five-step integration workflow

1. Geometry： 画源、场点、\(\mathbf r'\)、\(\mathbf r\)、\(\mathbf R\)；
2. Element： 选 \(dq=\lambda d\ell'\)、\(dq=\sigma dA'\) 或 \(dq=\rho dV'\)；
3. Symmetry： 在积分前判定必为零或成对抵消的分量；
4. One variable system： 把 \(R\)、方向余弦和 \(dq\) 全改写成同一组积分变量；
5. Checks： 检查单位、方向、远场、特殊点和无限尺寸极限。

5.4 Derivation — finite uniformly charged segment

一根均匀细杆位于 \(x'\) 轴，范围 \(-a\le x'\le a\)，线密度为常量 \(\lambda>0\)。求场点

\[\mathbf r=(0,y),\qquad y>0\]

处的场。源点、电荷元与分离矢量为

\[\mathbf r'=x'\widehat{\mathbf x}, \qquad dq=\lambda\,dx',\]

\[\mathbf R =-x'\widehat{\mathbf x}+y\widehat{\mathbf y}, \qquad R=\sqrt{x'^2+y^2}.\]

微元场为

\[d\mathbf E =k_e\lambda\,dx' \frac{-x'\widehat{\mathbf x}+y\widehat{\mathbf y}} {(x'^2+y^2)^{3/2}}.\]

\(x'\) 与 \(-x'\) 的 \(x\) 分量相消，故

\[E_x=0,\]

\[E_y =2k_e\lambda y \int_0^a\frac{dx'}{(x'^2+y^2)^{3/2}}.\]

利用

\[\int\frac{dx'}{(x'^2+y^2)^{3/2}} =\frac{x'}{y^2\sqrt{x'^2+y^2}},\]

得到

\[\boxed{ \mathbf E(0,y) =\frac{2k_e\lambda a}{y\sqrt{a^2+y^2}} \widehat{\mathbf y} }.\]

因总电荷 \(Q=2a\lambda\)，也可写成

\[\mathbf E(0,y) =\frac{k_eQ}{y\sqrt{a^2+y^2}}\widehat{\mathbf y}.\]

两个重要极限同时检验结果：

\[y\gg a: \quad \mathbf E\simeq\frac{k_eQ}{y^2}\widehat{\mathbf y} \quad\text{(far field: point charge)},\]

\[a\to\infty\ \text{at fixed }\lambda: \quad \mathbf E\to\frac{2k_e\lambda}{y}\widehat{\mathbf y} =\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0y}\widehat{\mathbf y}.\]

5.5 Derivation — uniformly charged ring on its axis

半径为 \(a\)、总电荷为 \(Q\) 的均匀圆环位于 \(xy\) 平面，场点为 \(\mathbf r=z\widehat{\mathbf z}\)。任一电荷元到场点的距离都为

\[R=\sqrt{a^2+z^2}.\]

对径微元的横向分量相消，只有 \(z\) 分量相加。对每个微元，

\[dE_z =\left(k_e\frac{dq}{a^2+z^2}\right) \frac{z}{\sqrt{a^2+z^2}}.\]

由于分母和方向余弦对全环相同，

\[\boxed{ \mathbf E(z) =k_e\frac{Qz}{(z^2+a^2)^{3/2}} \widehat{\mathbf z} }.\]

该结果给出三个高价值检查：

\[E_z(0)=0,\]

\[z\gg a: \quad E_z\simeq k_e\frac{Q}{z^2},\]

\[z\ll a: \quad E_z\simeq k_e\frac{Q}{a^3}z.\]

最后一个近轴结果说明中心附近的场对 \(z\) 近似线性。对

\[\frac{z}{(z^2+a^2)^{3/2}}\]

求导可得极值条件 \(a^2-2z^2=0\)。若 \(Q>0\)，正轴上的场强最大值位于

\[\boxed{z=\frac{a}{\sqrt2}},\]

且

\[|E|_{\max} =\frac{2}{3\sqrt3}\frac{k_e|Q|}{a^2}.\]

5.6 Surface distribution — disk as concentric rings

半径为 \(R_0\)、均匀面密度为 \(\sigma\) 的圆盘可分解为半径 \(s\)、宽度 \(ds\) 的同心细环：

\[dq=\sigma(2\pi s\,ds).\]

在正轴 \(z>0\) 上，代入圆环轴线场：

\[dE_z =k_e\frac{z\,dq}{(z^2+s^2)^{3/2}} =2\pi k_e\sigma z \frac{s\,ds}{(z^2+s^2)^{3/2}}.\]

积分 \(s:0\to R_0\)：

\[E_z =2\pi k_e\sigma z \int_0^{R_0} \frac{s\,ds}{(z^2+s^2)^{3/2}},\]

\[\boxed{ \mathbf E(z) =\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \left(1-\frac{z}{\sqrt{z^2+R_0^2}}\right) \widehat{\mathbf z}, \qquad z>0 }.\]

极限检查：

\[z\gg R_0: \quad E_z\simeq k_e\frac{\sigma\pi R_0^2}{z^2} =k_e\frac{Q}{z^2},\]

\[R_0\to\infty: \quad E_z\to\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}.\]

5.7 Volume distribution — the exact setup

对一般体密度，选择与几何相适配的体积元。例如球坐标源点

\[\mathbf r'=s\widehat{\mathbf r}', \qquad dV'=s^2\sin\theta'\,ds\,d\theta'\,d\phi'.\]

若场点选在 \(z\) 轴 \(\mathbf r=z\widehat{\mathbf z}\)，则严格的 Coulomb 积分是

\[\boxed{ \mathbf E(z\widehat{\mathbf z}) =k_e \int \rho(s,\theta',\phi') \frac{z\widehat{\mathbf z}-s\widehat{\mathbf r}'} {(z^2+s^2-2zs\cos\theta')^{3/2}} s^2\sin\theta'\,ds\,d\theta'\,d\phi' }.\]

本式明确展示：即使 \(\rho\) 为常量，方向矢量和距离仍随三个源坐标变化。对高度对称分布，Gauss 定律课 会显著缩短计算；但它不会改变这里的源点—场点结构。

6. Lesson synthesis / 全课整合

6.1 One chain from source to motion

6.2 Core equation sheet

6.3 A diagnostic workflow for any electric-field problem

1. System boundary： 哪些是源？哪个电荷只是受力对象？
2. Model： 点电荷、离散多源、连续线/面/体，还是给定匀强外场？
3. Coordinates： 固定 \(\mathbf r\)，参数化 \(\mathbf r'\)，写 \(\mathbf R=\mathbf r-\mathbf r'\)。
4. Direction sketch： 先画每个 \(d\mathbf E\) 或 \(\mathbf E_i\) 的方向。
5. Symmetry： 哪些分量必为零？哪些成对相加？
6. Calculate： 离散用 \(\sum\)，连续用 \(\int\)；只在最后求大小。
7. Respond： 若问受力或运动，再用 \(\mathbf F=q\mathbf E\) 与 Newton 定律。
8. Audit： 单位、符号、极限、近似尺度与是否误加自场。

6.4 Approximation map

7. Misconception clinic / 易错概念诊所

8. Practice and retrieval / 练习与检索

A. Conceptual questions

1. 为什么操作定义写 \(q_0\to0^+\)，而不是直接令 \(q_0=0\)？
2. 能否用负试探电荷测电场？需要怎样处理方向？
3. 两个正电荷连线上的零场点是否一定在两者之间？若两电荷大小不同，零点是否仍在中点？
4. 为什么电场线不相交？若某点 \(\mathbf E=0\)，这个论证的哪一步不再适用？
5. 一粒负电荷从静止释放时，它沿电场线箭头还是反箭头加速？
6. 有横向初速度的带电粒子在匀强电场中为什么不是沿场线运动？
7. 连续分布积分中，为什么必须区分 \(\mathbf r\) 与 \(\mathbf r'\)？
8. 一个有限圆盘在什么极限下像点电荷？在什么极限下像无限平面？
9. 对称分布是否自动意味着场为零？请给一个“只消去部分分量”的例子。
10. 为什么用无限线或无限面模型时，必须同时说明观察距离与物体尺寸的比较？

B. Quantitative and derivation questions

11. 一个点电荷 \(q=-4.00\ \mathrm{nC}\) 位于原点。求 \(P=(3.00,4.00)\ \mathrm{cm}\) 处的电场矢量。
12. 两个 \(+2.00\ \mathrm{nC}\) 点电荷位于 \((\pm3.00\ \mathrm{cm},0)\)。求 \(P=(0,4.00\ \mathrm{cm})\) 处的净电场。
13. 一个质子从静止释放在 \(E=2.50\times10^3\ \mathrm{N/C}\) 的匀强场中。取 \(m_p=1.672\,621\,925\,95\times10^{-27}\ \mathrm{kg}\)，忽略其他力，求 \(20.0\ \mathrm{ns}\) 后的速率与位移。
14. 均匀带电细杆范围为 \(-0.120\le x'\le0.120\ \mathrm m\)，\(\lambda=4.00\ \mathrm{nC/m}\)。求 \((0,0.160\ \mathrm m)\) 处的场。
15. 均匀圆环 \(Q=3.00\ \mathrm{nC}\)、\(a=5.00\ \mathrm{cm}\)。求 \(z=5.00\ \mathrm{cm}\) 处的轴向场，并说明方向。
16. 证明圆环轴线场在 \(z=a/\sqrt2\) 达到正轴最大值，并求归一化最大值 \(E_{\max}/(k_eQ/a^2)\)。
17. 均匀圆盘 \(\sigma=1.20\ \mu\mathrm{C/m^2}\)、\(R_0=8.00\ \mathrm{cm}\)。求正轴 \(z=3.00\ \mathrm{cm}\) 处的场。
18. 从有限细杆结果出发，分别取 \(y\gg a\) 与 \(a\to\infty\)，恢复点电荷和无限长线的结果。

Exit ticket

不查公式，用四句话回答：

1. 电场怎样从力定义出来，为什么需要弱探针极限？
2. 多个源的场怎样组合？
3. 场线与粒子轨迹的根本区别是什么？
4. 离散求和怎样推广为连续分布积分？

9. References and source notes / 参考资料与使用说明

9.1 Source-to-content map

9.2 Bibliographic notes

1. Ling, S. J., Moebs, W., and Sanny, J. University Physics Volume 2. OpenStax, Rice University, 2016. Sections 5.4–5.6 form the principal undergraduate source spine.
2. Belcher, J. W., Dourmashkin, P., and Liao, S.-B. “Chapter 2: Coulomb's Law.” MIT OpenCourseWare 8.02, Spring 2007. Used to cross-check notation, uniform-field motion and continuous-source examples.
3. Feynman, R. P., Leighton, R. B., and Sands, M. The Feynman Lectures on Physics, Vol. II, Ch. 4. California Institute of Technology. Used for the geometric interpretation and limitations of field-line pictures.
4. CODATA Task Group on Fundamental Constants. “CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 2022.” NIST. Numerical examples retain sufficient significant figures for the input data rather than copying every CODATA digit.
5. PhET Interactive Simulations. “Charges and Fields.” University of Colorado Boulder. Suggested as a qualitative and numerical cross-check, not as a substitute for vector calculation.

9.3 Reading and simulation route

• 想系统练习离散与连续源：先读 OpenStax §5.4–5.5，再做 MIT 8.02 Chapter 2 的连续分布问题。
• 想检查场线直觉：使用 PhET Charges and Fields，同时手算若干采样点验证箭头。⁹
• 想把对称性升级为通量方法：Electric Flux。
• 想用标量而非逐分量积分求场：Electric Potential。
• 想研究点电荷组的远场结构：Electric Dipoles and Multipoles。