静电学的局部形式

Learning objectives / 学习目标

完成本课后，你应能：

1. 从微小盒子的六面通量推导 Cartesian divergence，并解释其坐标无关定义。
2. 用散度定理及“体积任意”条件从积分 Gauss law 推得局部形式，也能反向恢复积分形式。
3. 从给定 \(\mathbf E\) 计算 \(\rho\)，或用对称性和局部方程检验候选场；区分局部源强与场值大小。
4. 使用三维 Dirac delta 表示点、线、面电荷，并以测试函数/积分意义解释等式。
5. 正确处理 \(\nabla\cdot(\hat{\mathbf r}/r^2)\) 在 \(r=0\) 的分布贡献。

Prerequisites / 先修知识

• Gauss's Law and Symmetry：积分形式与包围电荷。
• 多变量微积分：偏导数、体积分、散度定理。
• 能区分 ordinary function、piecewise-smooth field 与 distribution 的积分意义。

Scope, conventions, and notation

• 真空、宏观经典静电，SI 制；Catalog 标题采用 \(\epsilon_0\)，本文数值常数统一排作 \(\varepsilon_0\)，二者都表示同一个真空介电常数。
• \(\rho\) 是体电荷密度，单位 \(\mathrm{C/m^3}\)；表面、线、点源可以作为 distributions 嵌入三维 \(\rho\)。
• \(\nabla\cdot\mathbf E\) 单位为 \(\mathrm{N\,C^{-1}m^{-1}}=\mathrm{V/m^2}\)。
• 对普通光滑场，等式逐点成立；对含奇点的场，必须按分布意义理解。
• 完整静电局部方程还包括 \(\nabla\times\mathbf E=0\)；本课聚焦 Catalog 指定的 Gauss 局部形式。

Knowledge 1 — Divergence of electric field / 电场散度

Knowledge ID: P04-U02-L03-K01

1.1 Flux per shrinking volume

散度在点 \(\mathbf r\) 的坐标无关定义为

\[\boxed{ \nabla\cdot\mathbf E(\mathbf r) =\lim_{\Delta V\to0} \frac{1}{\Delta V} \oint_{\partial(\Delta V)}\mathbf E\cdot d\mathbf A }.\]

它衡量单位体积的净外向通量率。正散度像局部 source，负散度像 sink，零散度表示净流出为零——但不意味着场为零。

1.2 Cartesian derivation from a small box

对中心在 \((x,y,z)\)、边长 \(\Delta x,\Delta y,\Delta z\) 的盒子，\(x\) 两面净通量近似

\[\left[E_x\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right) -E_x\left(x-\frac{\Delta x}{2}\right)\right]\Delta y\Delta z \simeq\frac{\partial E_x}{\partial x}\Delta V.\]

三方向相加并除以 \(\Delta V\)：

\[\boxed{ \nabla\cdot\mathbf E =\frac{\partial E_x}{\partial x} +\frac{\partial E_y}{\partial y} +\frac{\partial E_z}{\partial z} }.\]

Worked Example 1 — Infer local source density from a field

给定区域内

\[\mathbf E=\alpha(x\hat{\mathbf x}+2y\hat{\mathbf y}-z\hat{\mathbf z}), \qquad \alpha=4.00\times10^3\ \mathrm{V/m^2}.\]

• 研究区域： 场光滑的真空模型区域，Cartesian 坐标固定。
• 模型与方程： 由局部 Gauss law，\(\rho=\varepsilon_0\nabla\cdot\mathbf E\)。
• 计算：

\[\nabla\cdot\mathbf E=\alpha(1+2-1)=2\alpha,\]

\[\rho=2\varepsilon_0\alpha =\boxed{7.08\times10^{-8}\ \mathrm{C/m^3}}.\]

• 检查： 正号对应净源；量纲 \(\varepsilon_0(\mathrm{V/m^2})=\mathrm{C/m^3}\)；把盒子各边同比缩小时，通量与体积同比缩小。

Knowledge 2 — Differential form \(\nabla\cdot\mathbf E=\rho/\epsilon_0\) / 高斯定律微分形式

Knowledge ID: P04-U02-L03-K02

2.1 From integral to local

散度定理给出

\[\oint_{\partial V}\mathbf E\cdot d\mathbf A =\int_V\nabla\cdot\mathbf E\,dV.\]

与积分 Gauss law

\[\oint_{\partial V}\mathbf E\cdot d\mathbf A =\frac1{\varepsilon_0}\int_V\rho\,dV\]

比较，得到

\[\int_V\left(\nabla\cdot\mathbf E-\frac{\rho}{\varepsilon_0}\right)dV=0.\]

因为 \(V\) 是任意体积，光滑情形下被积函数逐点为零：

\[\boxed{\nabla\cdot\mathbf E=\frac{\rho}{\varepsilon_0}}.\]

2.2 From local back to integral

反向在任意体积积分并用散度定理：

\[\int_V\nabla\cdot\mathbf E\,dV =\frac1{\varepsilon_0}\int_V\rho\,dV \Longrightarrow \oint_{\partial V}\mathbf E\cdot d\mathbf A =\frac{Q_{\rm enc}}{\varepsilon_0}.\]

因此两种形式在适当正则性或 distribution 框架下等价；积分形式更自然地跨越不连续界面，局部形式更适合微分方程与数值场求解。

Worked Example 2 — Verify a spherically symmetric piecewise field

候选场

\[\mathbf E(r)= \begin{cases} Cr\,\hat{\mathbf r}, & r<R,\\ CR^3r^{-2}\hat{\mathbf r}, & r>R, \end{cases}\]

其中 \(C>0\)。判断对应体密度及 \(r=R\) 是否有表面电荷。

• 模型： 球坐标，\(r\ne0\)；径向场散度

\[\nabla\cdot[E_r(r)\hat{\mathbf r}] =\frac1{r^2}\frac{d}{dr}(r^2E_r).\]

• 内部： \(r^2E_r=Cr^3\)，故 \(\nabla\cdot\mathbf E=3C\)，

\[\rho_{\rm in}=3\varepsilon_0C.\]

• 外部： \(r^2E_r=CR^3\)，故 \(\rho_{\rm out}=0\)。
• 边界检查： \(E_r(R^-)=E_r(R^+)=CR\)，法向场无跳跃，所以 \(\sigma=\varepsilon_0(E_{\rm out}-E_{\rm in})=0\)。
• 全局检查： 总电荷 \(4\pi R^3\varepsilon_0C\)，外场恰为其 Coulomb 场。

Knowledge 3 — Charge density as a field source / 电荷密度作为场源

Knowledge ID: P04-U02-L03-K03

3.1 Local source does not mean local causation only

\(\rho(\mathbf r)\) 决定该点的散度，但 \(\mathbf E(\mathbf r)\) 本身由全空间电荷与边界条件共同决定。可能出现：

• \(\rho=0\) 但 \(\mathbf E\ne0\)（平行板之间、点电荷外部）；
• \(\mathbf E=0\) at one point 但 \(\rho\ne0\)（均匀带电球中心）；
• \(\nabla\cdot\mathbf E=0\) 但场空间变化显著（偶极远离源的区域）。

3.2 Density reconstruction and consistency checks

若实验或数值给出全矢量场，可计算

\[\rho=\varepsilon_0\nabla\cdot\mathbf E.\]

但静电候选场还必须满足 \(\nabla\times\mathbf E=0\)。仅满足 divergence 方程不能唯一确定矢量场，因为可叠加任意无散场；边界条件与 curl 方程共同完成约束。

Worked Example 3 — A field with zero divergence but nonzero curl

给定 \(\mathbf E=(-\omega y,\omega x,0)\)，\(\omega\) 为常量。它能否是某单连通区域中的静电场？

• 局部源检查：

\[\nabla\cdot\mathbf E =\partial_x(-\omega y)+\partial_y(\omega x)=0,\]

所以若只看 Gauss 局部形式会得到 \(\rho=0\)。

• 静电完整性检查：

\[\nabla\times\mathbf E=(0,0,2\omega)\ne0.\]

• 结论： 若 \(\omega\ne0\)，它不是单连通区域内由静止电荷产生的静电场。这个例子证明 divergence 方程只规定“源”，不能单独规定全部场结构。
• 量纲/极限： \(\omega\) 单位为 \(\mathrm{V/m^2}\)；\(\omega\to0\) 时退化为零场。

Knowledge 4 — Delta-function charge distributions / δ 函数电荷分布

Knowledge ID: P04-U02-L03-K04

4.1 Definition through integration

三维 Dirac delta 不是普通有限函数；其核心性质是

\[\int_{\mathbb R^3}\delta^{(3)}(\mathbf r-\mathbf r_0)\,d^3r=1,\]

\[\boxed{ \int f(\mathbf r)\delta^{(3)}(\mathbf r-\mathbf r_0)\,d^3r =f(\mathbf r_0) }.\]

\(\delta^{(3)}\) 的单位为 \(\mathrm{m^{-3}}\)。位于 \(\mathbf r_0\) 的点电荷 \(q\) 表示为

\[\boxed{\rho(\mathbf r)=q\delta^{(3)}(\mathbf r-\mathbf r_0)}.\]

4.2 The hidden source at \(r=0\)

对 \(r\ne0\)，直接微分给出

\[\nabla\cdot\left(\frac{\hat{\mathbf r}}{r^2}\right)=0.\]

但任意包围原点的球面通量是 \(4\pi\)。因此全空间正确的 distribution identity 是

\[\boxed{ \nabla\cdot\left(\frac{\hat{\mathbf r}}{r^2}\right) =4\pi\delta^{(3)}(\mathbf r) }.\]

点电荷场随即满足

\[\nabla\cdot\mathbf E =\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}4\pi\delta^{(3)}(\mathbf r) =\frac{q\delta^{(3)}(\mathbf r)}{\varepsilon_0}.\]

4.3 Surface and line sources embedded in three dimensions

平面 \(z=0\) 上表面密度 \(\sigma(x,y)\) 可写

\[\rho(x,y,z)=\sigma(x,y)\delta(z).\]

\(z\) 轴上线密度 \(\lambda(z)\) 可写

\[\rho(x,y,z)=\lambda(z)\delta(x)\delta(y).\]

跨过表面的小 pillbox 对局部方程积分得到法向跳跃条件

\[\boxed{ \hat{\mathbf n}\cdot(\mathbf E_2-\mathbf E_1)=\frac{\sigma}{\varepsilon_0} }.\]

Worked Example 4 — Normalize a Gaussian point-charge model

以宽度 \(a\) 的光滑密度近似原点点电荷：

\[\rho_a(r)=\frac{q}{\pi^{3/2}a^3}e^{-r^2/a^2}.\]

• 系统与模型： 全空间球对称；\(a>0\) 时是普通函数，\(a\to0\) 时取 distribution 极限。
• 归一化：

\[\int\rho_a\,d^3r =\frac{4\pi q}{\pi^{3/2}a^3} \int_0^\infty r^2e^{-r^2/a^2}dr.\]

利用 \(\int_0^\infty r^2e^{-r^2/a^2}dr=\sqrt\pi a^3/4\)，得到

\[\int\rho_a\,d^3r=q.\]

• 极限解释： 任意连续测试函数 \(f\) 有

\[\lim_{a\to0}\int f(\mathbf r)\rho_a(\mathbf r)d^3r=qf(0),\]

故 \(\rho_a\to q\delta^{(3)}(\mathbf r)\)。

• 检查： 前因子单位 \(q/a^3\) 为 \(\mathrm{C/m^3}\)；总电荷对 \(a\) 不变，不是峰高本身守恒。

Lesson synthesis / 全课整合

Formula-and-decision table

Model boundaries / 模型边界

1. 宏观连续 \(\rho\) 是粗粒化模型；原子尺度需量子与微观物质理论。
2. 点电荷是理想化 singular source；其经典自场与自能在 \(r=0\) 发散。
3. 对不连续场，普通逐点导数可能漏掉 delta；须用积分或 distribution。
4. \(\nabla\cdot\mathbf E=\rho/\varepsilon_0\) 不能单独唯一确定 \(\mathbf E\)；还需 curl 与边界条件。
5. 介质中若仍写总微观电荷，方程保持真空形式；宏观 \(\mathbf D\) 形式将在 Unit 4.4 另行定义。

Misconception clinic / 易错概念诊所

Practice and retrieval / 练习与检索

1. 求 \(\mathbf E=(ax,by,cz)\) 的散度与对应 \(\rho\)。

2. \(\mathbf E=E_0\hat{\mathbf x}\) 的散度是多少？它能否在无电荷区非零？

3. \(\mathbf E=ky\hat{\mathbf x}\) 的散度为什么为零？

4. 从局部方程恢复半径 \(R\) 球内的积分 Gauss law。

5. 位于 \((a,0,0)\) 的点电荷 \(q\) 写成何种密度？

6. 均匀线电荷沿 \(z\) 轴时写出三维密度并核对单位。

7. 平面 \(z=z_0\) 上均匀面密度 \(\sigma\) 的三维表示是什么？

8. 真空界面两侧法向场为 \(E_{1n}=100\ \mathrm{N/C}\)、\(E_{2n}=400\ \mathrm{N/C}\)，求 \(\sigma\)。

9. 为什么 \(\nabla\cdot(\hat{\mathbf r}/r^2)=0\) 的普通计算不与球面通量 \(4\pi\) 矛盾？

10. 给出一个 \(\rho=0\) 但不是静电场的矢量场。

Exit ticket

用一条等式和一句边界说明解释：为什么点电荷场在每个 \(r>0\) 点都无散，却仍是原点电荷的正确场？

References and source notes / 参考资料与来源说明

以下直接来源均于 2026-08-26 实际访问核验。

1. MIT OCW 6.641 — Maxwell's Differential Laws in Free Space
2. MIT OCW 8.022 Lecture 3 — Gauss's Law Revisited and Divergence
3. MIT OCW 6.007 Lecture 5 — Electrostatics: Gauss's Law and Boundary Conditions
4. Richard Fitzpatrick, UT Austin — Electric Scalar Potential
5. MIT OCW, Electromagnetic Fields and Energy, Chapter 2

Source-to-content map

复习与拓展

• Electric Potential 将引入 \(\mathbf E=-\nabla V\)，随后 Poisson 方程把 divergence 与 potential 合并。
• Unit 4.4 的介质界面会把法向跳跃推广到 \(\mathbf D\) 与自由电荷。
• 后续数值电磁学可把有限体积法视为本课“微盒通量平衡”的离散版本。