电势

Essential question / 核心问题

怎样用一个只依赖位置的标量场 \(V(\mathbf r)\)，完整替代静电场的路径积分，并从中恢复粒子的能量变化与电场矢量？

核心链条是

\[\text{source charges} \longrightarrow V(\mathbf r) \longrightarrow \mathbf E=-\nabla V \longrightarrow \Delta U=q\Delta V \longrightarrow \Delta K=-\Delta U.\]

Learning objectives / 学习目标

完成本课后，你应能：

1. 区分 system potential energy / 系统电势能 \(U\) 与 electric potential / 电势 \(V\)，并说明零点的任意性。
2. 从静电力做功推导 \(V_B-V_A=-\int_A^B\mathbf E\cdot d\boldsymbol\ell\)，正确处理端点次序与电荷符号。
3. 对点电荷组、线电荷、面电荷和体电荷写出标量叠加积分。
4. 解释等势面与电场线正交、导体表面等势以及等势线疏密的含义。
5. 在 Cartesian coordinates / 笛卡尔坐标中由 \(V\) 计算 \(\mathbf E=-\nabla V\)，并用单位、方向与极限检验结果。
6. 用能量守恒求带电粒子在静电势差中的速度，同时识别非相对论边界。

Prerequisites / 先修知识

• Local Form of Electrostatics：\(\nabla\cdot\mathbf E=\rho/\varepsilon_0\)。
• 保守力与功：\(W=\int\mathbf F\cdot d\boldsymbol\ell\)、\(W_{\rm cons}=-\Delta U\)。
• 一元积分、偏导数、gradient / 梯度与 dot product / 点积。

Scope, conventions, and notation contract / 范围、约定与记号合同

本课使用 SI，默认实验室惯性系、静止源电荷、真空 \(\varepsilon_0\)、经典静电近似。路径方向固定为 \(A\to B\)：

Knowledge 1 — Electric potential energy and electric potential / 电势能与电势

Knowledge ID: P04-U03-L01-K01

1.1 从保守静电力到系统能量

静电场满足 \(\oint\mathbf E\cdot d\boldsymbol\ell=0\)，所以静电力做功只依赖端点。对响应电荷 \(q\)，

\[W_{A\to B}^{(e)}=\int_A^B q\mathbf E\cdot d\boldsymbol\ell=-\Delta U.\]

这里 \(U\) 是系统的状态量；仅说“这个电荷具有 \(U\)”会漏掉产生场的源。OpenStax §7.1 与 MIT 8.02 Chapter 3 都以组装电荷系统的外力功建立这一量。¹²

Figure 1. 正电荷沿电场“下坡”时，静电力做正功，系统电势能降低；曲线是能量图，不是空间轨迹。

1.2 以单位电荷消去探针依赖

若弱试探电荷不改变源分布，\(U\) 与 \(q\) 成正比，定义

\[\boxed{V(\mathbf r)=\frac{U(\mathbf r)}{q}}, \qquad [V]=\frac{\mathrm J}{\mathrm C}=\mathrm V.\]

电势是 scalar field / 标量场。给 \(V\) 整体加常数 \(C\) 不改变任何电势差与电场：

\[V'(\mathbf r)=V(\mathbf r)+C, \qquad \nabla V'=\nabla V.\]

对于有限孤立电荷分布，常选 \(V(\infty)=0\)；均匀无限带电面等非局域模型不能机械使用此零点，只能谈有限端点的 \(\Delta V\)。

Figure 2. 势能零点的平移不改变曲线斜率，因此不改变电场或可测做功。

1.3 两点电荷的基准势能

以无穷远为零，把 \(q_2\) 准静态带到距 \(q_1\) 为 \(r\) 处，外力所做功为

\[U(r)=k_e\frac{q_1q_2}{r}.\]

同号时 \(U>0\)，分开可释放能量；异号时 \(U<0\)，拆开需要正外功。式子关于两电荷对称，确认 \(U\) 属于电荷对而非某一粒子。

Knowledge 2 — Potential difference and work per unit charge / 电势差与单位电荷做功

Knowledge ID: P04-U03-L01-K02

2.1 定义、方向与符号

从 \(W_e=-\Delta U\) 与 \(\mathbf F=q\mathbf E\) 得

\[\boxed{V_B-V_A=-\int_A^B\mathbf E\cdot d\boldsymbol\ell},\]

\[\boxed{W_{A\to B}^{(e)}=q(V_A-V_B)}, \qquad \boxed{\Delta U=q(V_B-V_A)}.\]

电场方向是正电荷自发运动的“降势方向”；负电荷受力反向，所以不能把“电荷总向低电势运动”当作普遍规则。OpenStax §7.2 明确区分 voltage / 电压与 energy / 能量，并给出上述路径积分关系。³

Figure 3. 匀强场中沿场位移 \(d\) 时，\(\Delta V=-Ed\)；箭头方向、端点次序与负号必须同时保持一致。

2.2 路径独立不等于路径长度为零

在静电近似中，任意两条从 \(A\) 到 \(B\) 的路径给同一积分值；闭合路径积分为零：

\[\int_{A\to B}^{(1)}\mathbf E\cdot d\boldsymbol\ell =\int_{A\to B}^{(2)}\mathbf E\cdot d\boldsymbol\ell, \qquad \oint\mathbf E\cdot d\boldsymbol\ell=0.\]

这依赖 \(\partial\mathbf B/\partial t=0\)。时变磁场中的感生电场满足 \(\oint\mathbf E\cdot d\boldsymbol\ell=-d\Phi_B/dt\)，此时单值静电势不能描述全部电场。

Figure 4. 静电场中路径可不同，但端点相同便有同一电势差；两路径合成闭合回路时净积分为零。

Worked example 1 — Proton accelerated through a potential difference / 质子经电势差加速

已知： 质子由静止从 \(V_i=+250\ \mathrm V\) 到 \(V_f=0\)，真空中只受静电力。求末速。

系统与模型： “质子 + 静电场源”；实验室系；忽略重力与相对论。路径无关，无需知道场的空间细节。

\[\Delta U=q(V_f-V_i)=e(-250\ \mathrm V)=-250\ \mathrm{eV}.\]

能量守恒给 \(\Delta K=-\Delta U\)：

\[\frac12m_pv^2=e(250\ \mathrm V),\]

\[v=\sqrt{\frac{2e(250\ \mathrm V)}{m_p}} =2.19\times10^5\ \mathrm{m/s}.\]

\[\boxed{v=2.19\times10^5\ \mathrm{m/s}}.\]

检查： \(v/c=7.3\times10^{-4}\ll1\)，非相对论近似成立；正质子移向低势，\(U\) 降、\(K\) 升，符号一致。三位有效数字由 \(250\ \mathrm V\) 的给定精度决定。

Knowledge 3 — Potential of point and continuous charges / 点电荷与连续分布的电势

Knowledge ID: P04-U03-L01-K03

3.1 点电荷与离散叠加

令有限局域系统采用 \(V(\infty)=0\)。点电荷 \(q_i\) 位于 \(\mathbf r_i\) 时，

\[V(\mathbf r)=k_e\frac{q_i}{\lvert\mathbf r-\mathbf r_i\rvert},\]

多个源的势作代数和：

\[\boxed{V(\mathbf r)=k_e\sum_i\frac{q_i}{\lvert\mathbf r-\mathbf r_i\rvert}}.\]

这比电场叠加少一个方向判断，但距离仍必须逐项计算；\(V=0\) 不推出 \(\mathbf E=0\)。

Figure 5. 偶极中垂面上正负势抵消，但电场分量相加；“零势”只是所选参考下的标量值。

3.2 连续分布的统一积分

把 \(q_i\) 换成电荷元 \(dq\)：

\[\boxed{V(\mathbf r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int\frac{dq}{\lvert\mathbf r-\mathbf r'\rvert}}.\]

按几何选择

\[dq=\lambda\,d\ell', \qquad dq=\sigma\,da', \qquad dq=\rho\,d\tau'.\]

这里 \(\mathbf r\) 固定、\(\mathbf r'\) 扫过源。OpenStax §7.3 与 MIT Chapter 3 都把点电荷和连续电荷的电势统一为这一标量积分。⁴²

Figure 6. 连续线电荷积分的几何合同：积分变量位于源上，场点在整个积分过程中固定。

Worked example 2 — Potential at a point from two charges / 两点电荷在一点的电势

已知： \(q_1=+3.00\ \mathrm{nC}\) 位于 \((-0.0400,0)\ \mathrm m\)，\(q_2=-2.00\ \mathrm{nC}\) 位于 \((0,0.0300)\ \mathrm m\)。求原点电势，取无穷远为零。

对象与参考： 源电荷固定；场点为原点；真空点电荷模型。

\[V(0)=k_e\left(\frac{3.00\times10^{-9}}{0.0400} -\frac{2.00\times10^{-9}}{0.0300}\right).\]

\[V(0)=8.9876\times10^9(8.3333\times10^{-9})=74.9\ \mathrm V.\]

\[\boxed{V(0)=+74.9\ \mathrm V}.\]

检查： 每一项是 \(k_eq/r\)，单位为 \(\mathrm{N\,m/C}=\mathrm V\)；正源贡献 \(674\ \mathrm V\)、负源贡献 \(-599\ \mathrm V\)，相消后得到较小正值。不能用 \(\sqrt{V_1^2+V_2^2}\)，因为势是标量。

Worked example 3 — Uniformly charged ring / 均匀带电圆环轴线上电势

半径 \(a=0.120\ \mathrm m\) 的细圆环均匀带电 \(Q=+6.00\ \mathrm{nC}\)。求轴线上 \(z=0.160\ \mathrm m\) 处的电势和轴向电场。

坐标与模型： 圆环中心为原点，轴为 \(+z\)；线电荷静止、真空、细环。每个 \(dq\) 到场点距离相同：

\[R=\sqrt{a^2+z^2}=0.200\ \mathrm m.\]

因此

\[V(z)=k_e\int\frac{dq}{R} =\frac{k_eQ}{\sqrt{a^2+z^2}},\]

\[V(0.160)=\frac{(8.9876\times10^9)(6.00\times10^{-9})}{0.200} =270\ \mathrm V.\]

再由 \(E_z=-dV/dz\)：

\[E_z=\frac{k_eQz}{(a^2+z^2)^{3/2}} =1.08\times10^3\ \mathrm{V/m}.\]

\[\boxed{V=270\ \mathrm V,\qquad \mathbf E=(1.08\times10^3\ \mathrm{N/C})\hat{\mathbf z}}.\]

检查： \(z>0,Q>0\)，场沿 \(+z\)；当 \(z\gg a\) 时 \(V\to k_eQ/z\)；在 \(z=0\) 处导数为零但 \(V=k_eQ/a\ne0\)。

Figure 7. 圆环轴线上所有电荷元到场点等距，故电势积分先化成 \(k_eQ/R\)；横向场分量因对称性抵消。

Knowledge 4 — Equipotential surfaces / 等势面

Knowledge ID: P04-U03-L01-K04

4.1 定义与零功性质

equipotential surface / 等势面是满足 \(V(\mathbf r)=V_0\) 的点集。沿面切向位移 \(d\boldsymbol\ell_t\) 有 \(dV=0\)，于是

\[\mathbf E\cdot d\boldsymbol\ell_t=0.\]

因此非零电场必与光滑等势面正交；正测试电荷沿等势面移动时静电力净功为零。OpenStax §7.5 将等势线描述为三维等势面的二维截面，并强调与场线正交。⁵

Figure 8. 正点电荷的二维截面：圆是等势线，径向箭头是场线；两族曲线处处正交。

4.2 疏密、导体与边界解释

相邻等势面电势差固定为 \(\Delta V\) 时，法向间距 \(\Delta n\) 越小，平均场越强：

\[E_n\approx-\frac{\Delta V}{\Delta n}.\]

静电平衡导体整体等势；若表面存在切向电场，自由电荷就会继续移动，违背“平衡”。但等势面不是绝缘壁：电荷在没有其他约束时会沿法向受力穿过它。

Knowledge 5 — Electric field as negative potential gradient / 电场是电势的负梯度

Knowledge ID: P04-U03-L01-K05

5.1 从微小位移到梯度

对微小位移 \(d\boldsymbol\ell\)，

\[dV=-\mathbf E\cdot d\boldsymbol\ell.\]

另一方面标量场的全微分为

\[dV=\nabla V\cdot d\boldsymbol\ell.\]

对任意位移比较即得

\[\boxed{\mathbf E=-\nabla V}.\]

Cartesian components 为

\[E_x=-\frac{\partial V}{\partial x},\qquad E_y=-\frac{\partial V}{\partial y},\qquad E_z=-\frac{\partial V}{\partial z}.\]

OpenStax §7.4 明确用每一坐标方向的负偏导恢复电场；Feynman Vol. II Ch. 6 则把它与 \(\nabla^2V=-\rho/\varepsilon_0\) 连在一起。⁶⁷

Figure 9. 一维 \(V(x)\) 图上，负斜率对应正向电场；斜率绝对值越大，场越强。

5.2 梯度是最陡上升方向，电场取反

\(\nabla V\) 指向电势增长最快方向，且大小等于单位长度最大增长率；\(-\nabla V\) 因而指向最陡下降方向。单位检验为

\[[\nabla V]=\mathrm{V/m}=\mathrm{N/C}=[\mathbf E].\]

Figure 10. 非圆形等势线附近，梯度仍严格法向指向高势，电场严格反向；图为示意、不按场强比例。

Worked example 4 — Recovering a two-dimensional field / 由二维势恢复电场

某无量纲坐标表达式在局部区域为

\[V(x,y)=120-40x+15y^2,\]

其中 \(x,y\) 用米、系数单位相应为 \(\mathrm{V/m}\) 与 \(\mathrm{V/m^2}\)。求点 \((0.500,-0.200)\ \mathrm m\) 的电场，并写出穿过该点的等势线局部切线方向。

参考系与模型： 固定 Cartesian axes；静电标量势已知。

\[\frac{\partial V}{\partial x}=-40\ \mathrm{V/m}, \qquad \frac{\partial V}{\partial y}=30y\ \mathrm{V/m}.\]

在 \(y=-0.200\ \mathrm m\)，

\[\mathbf E=-\nabla V =(40\hat{\mathbf x}+6.00\hat{\mathbf y})\ \mathrm{N/C}.\]

\[E=40.4\ \mathrm{N/C}, \qquad \theta=\tan^{-1}(6/40)=8.53^\circ.\]

\[\boxed{\mathbf E=(40.0\hat{\mathbf x}+6.00\hat{\mathbf y})\ \mathrm{N/C}}.\]

等势线切向量 \(\mathbf t\) 满足 \(\nabla V\cdot\mathbf t=0\)；可取 \(\mathbf t=6\hat{\mathbf x}-40\hat{\mathbf y}\)。检查： \(\mathbf E\cdot\mathbf t=240-240=0\)；电场与等势切线正交。结果三位有效数字。

Lesson synthesis / 本课综合

Modeling workflow / 建模流程

1. 明确源、电荷系统、参考系与电势零点。
2. 若给 \(\mathbf E\)，用 \(\Delta V=-\int\mathbf E\cdot d\boldsymbol\ell\)；若给电荷分布，用 \(V=k_e\int dq/R\)。
3. 先求标量 \(V\) 并作代数叠加。
4. 求粒子能量时用 \(\Delta U=q\Delta V\)；求场时用 \(\mathbf E=-\nabla V\)。
5. 检查单位、端点次序、源—场点距离、远场极限、等势正交和模型边界。

Formula-and-decision table / 公式—决策表

Model boundaries / 模型边界

• 单值 \(V\) 描述的是 electrostatic / 静电保守部分；时变磁通产生的电场不能全由单值标量势表示。
• 点电荷势在源点发散；实际有限尺寸电荷需要分布模型，量子尺度还需量子电动力学。
• \(V(\infty)=0\) 只适合局域电荷分布且积分收敛的情况；无限线、无限面常改选有限参考点。
• \(\Delta K=-q\Delta V\) 默认没有非保守外功和辐射损失；高速粒子须用相对论能量。
• \(\mathbf E=-\nabla V\) 在分片光滑区域成立；理想表面电荷处法向场可跳变。

Misconception clinic / 易错观念诊所

Practice and retrieval / 练习与提取

1. K01 概念： 为什么给全部空间的电势加 \(+50\ \mathrm V\) 不改变任何静电力？
2. K02 符号： 正电荷从 \(A\) 到 \(B\)，静电力做功 \(+3.0\ \mathrm J\)。若 \(q=2.0\ \mathrm C\)，求 \(V_B-V_A\)。
3. K02 能量： 电子从 \(-20\ \mathrm V\) 移到 \(+80\ \mathrm V\)，求 \(\Delta U\)（用 eV 与 J）。
4. K03 点源： \(+4.00\ \mathrm{nC}\) 与 \(-1.00\ \mathrm{nC}\) 到点 \(P\) 的距离分别为 \(0.200\ \mathrm m\) 与 \(0.100\ \mathrm m\)，求 \(V(P)\)。
5. K03 连续分布： 写出半径 \(R\)、总电荷 \(Q\) 的均匀细环中心电势，不做矢量积分。
6. K04 表征： 等势线标为 \(0,10,20\ \mathrm V\)，相邻间距依次为 \(4\ \mathrm{cm},1\ \mathrm{cm}\)。哪一区域平均场较强？
7. K04 判断： 静电平衡导体表面能否存在切向电场？说明因果链。
8. K05 求场： \(V(x)=6x^2-4x\)（\(x\) 用 m，\(V\) 用 V），求 \(x=0.500\ \mathrm m\) 处的 \(E_x\)。
9. K05 二维： \(V=axy\)，写出 \(\mathbf E\)，并验证 \(\nabla\times\mathbf E=0\)。
10. 综合边界： 为什么无限均匀带电面的势不能同时取 \(V(\infty)=0\) 并保持有限？应怎样陈述可测结果？

Exit ticket / 离堂检核

1. 某区域等势线由西向东从 \(30\ \mathrm V\) 降到 \(10\ \mathrm V\)，间距 \(5.0\ \mathrm{cm}\)。画出电场方向并估算大小。
2. 同一点 \(V=0\) 而 \(\mathbf E\ne0\) 是否可能？给出一个具体电荷组态并解释。

References and source notes / 参考资料与来源说明

本课文字为重新组织的教学叙述；10 幅 TikZ 均根据方程原创绘制，未复制来源插图。链接于 2026-08-26 实际打开核验。

1. OpenStax University Physics Volume 2, §7.1 — Electric Potential Energy
2. OpenStax University Physics Volume 2, §7.2 — Electric Potential and Potential Difference
3. OpenStax University Physics Volume 2, §7.3 — Calculations of Electric Potential
4. OpenStax University Physics Volume 2, §7.4 — Determining Field from Potential
5. OpenStax University Physics Volume 2, §7.5 — Equipotential Surfaces and Conductors
6. MIT OpenCourseWare 8.02, Chapter 3 — Electric Potential
7. The Feynman Lectures on Physics, Vol. II, Chapter 6

Source-to-content map / 来源—内容映射

复习与拓展

• 能否在任何题中先写清 \(\Delta V=V_B-V_A\)，再决定积分方向？
• 能否用一句话区分 \(V=0\)、\(\mathbf E=0\) 与 \(U=0\)？
• 能否从等势线的法向与间距同时读出电场方向和相对大小？
• 下一课将把“逐步组装电荷”的思想推广到整个电荷分布的能量。