电容与储能

Learning objectives

完成本课后，你应能：

1. 在两导体系统中定义 \(C=Q/\Delta V\)，并说明电容由几何与介质决定而不是由当前 \(Q\) 或 \(V\) 决定；
2. 从高斯定律与电势差积分推导平行板、同轴圆柱和同心球电容；
3. 用节点电势与电荷守恒推导电容串并联等效关系；
4. 推导 \(U=Q^2/(2C)=QV/2=CV^2/2\) 和真空场能密度 \(u_E=\varepsilon_0E^2/2\)；
5. 明确固定电荷和固定电压两种系统边界，使用能量法或 Maxwell pressure 求极板力。

Prerequisites

• Conductors in Electrostatic Equilibrium：导体等势、表面电荷与法向场；
• 高斯定律、电势差 \(\Delta V=-\int\mathbf E\cdot d\boldsymbol\ell\)；
• 基本积分、对数函数和串并联电路概念；
• 功与势能关系 \(dW=F\,dx\)。

Scope and conventions

本课默认真空、理想导体、准静态充电、边缘场可按指定模型忽略。两端电容器上写 \(+Q\) 与 \(-Q\)，其中 \(Q\ge0\) 表示任一极板电荷量的大小；端电压定义为 \(V=V_+-V_->0\)。电路图中导线为等势且无寄生电容。除非另述，能量指“电容器及其电场”的能量，而不是电源与外部机械装置的总能量。

Notation and modeling contract

K01 — Definition of capacitance / 电容定义

Knowledge ID: P04-U04-L02-K01

1. 电容是线性静电边值问题的响应系数

给一对导体分别置入 \(+Q\) 和 \(-Q\)。在介质线性、几何固定且场不致击穿时，Poisson/Laplace 方程的线性性使电势差与电荷成正比：

\[C\equiv\frac{Q}{V}.\]

\(C\) 由导体形状、相对位置与介质决定。改变已充电电容器的 \(Q\) 会同比改变 \(V\)，却不会改变 \(C\)；若改变几何或介质，\(C\) 才改变。

图 1 的直线通过原点是理想线性模型。若介质非线性、几何随电压形变或发生击穿，\(Q(V)\) 不必为直线，此时可区分割线电容 \(Q/V\) 与微分电容 \(dQ/dV\)。

2. 单位与数量级

\[1\ \mathrm F=1\ \mathrm{C\,V^{-1}}.\]

法拉很大，实验室常见 \(\mathrm{pF}\)、\(\mathrm{nF}\)、\(\mathrm{\mu F}\)。量纲检查：\(\varepsilon_0A/d\) 的单位为 \((\mathrm{F\,m^{-1}})\mathrm{m^2}/\mathrm m=\mathrm F\)。

K02 — Parallel-plate, cylindrical, and spherical capacitors / 平行板、柱形与球形电容器

Knowledge ID: P04-U04-L02-K02

1. 通用推导流程

对每种高对称几何都按同一顺序：由 \(Q\) 求 \(\mathbf E\)，由线积分求 \(V\)，最后取 \(C=Q/V\)。不能先背公式而忽略其边界条件。

平行板

当板间距 \(d\) 远小于横向尺度且远离边缘时，

\[E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}=\frac{Q}{\varepsilon_0A}, \qquad V=Ed,\]

所以

\[\boxed{C_{\mathrm{pp}}=\frac{\varepsilon_0A}{d}}.\]

图 2 忽略边缘场；若 \(d\) 与板宽同量级，必须求 fringe-field 修正。

同轴圆柱

长为 \(L\)、半径 \(a<b\) 的同轴导体忽略端部效应。取半径 \(r\) 的圆柱高斯面：

\[E_r(r)=\frac{Q}{2\pi\varepsilon_0Lr},\]

\[V=\int_a^b E_r\,dr =\frac{Q}{2\pi\varepsilon_0L}\ln\frac{b}{a},\]

\[\boxed{C_{\mathrm{cyl}}=\frac{2\pi\varepsilon_0L}{\ln(b/a)}}.\]

同心球

内球半径 \(a\)、外壳内半径 \(b\)：

\[E_r(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}, \qquad V=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac1a-\frac1b\right),\]

\[\boxed{C_{\mathrm{sph}}=4\pi\varepsilon_0\frac{ab}{b-a}}.\]

令 \(b\to\infty\)，得到孤立球相对无穷远的自电容 \(C=4\pi\varepsilon_0a\)。

图 3、图 4 展示了对称性决定的不同径向衰减，也解释了为什么圆柱公式含对数而球形公式含倒数。

K03 — Capacitors in series and parallel / 电容器串并联

Knowledge ID: P04-U04-L02-K03

1. 并联：同电压，电荷相加

并联电容器两端连接同一对节点，因此 \(V_i=V\)。总电荷

\[Q=\sum_iQ_i=\left(\sum_iC_i\right)V,\]

故

\[\boxed{C_{\mathrm{eq}}=\sum_iC_i}.\]

2. 串联：中间孤立节点电荷守恒

未预先带净电荷的中间导体节点不能积累净电荷，因此每个串联电容器电荷量相同为 \(Q\)；总电压为各段电压之和：

\[V=\sum_iV_i=Q\sum_i\frac1{C_i}.\]

于是

\[\boxed{\frac1{C_{\mathrm{eq}}}=\sum_i\frac1{C_i}}.\]

图 5、图 6 的判断依据分别是“共节点”与“孤立中间节点的电荷守恒”，而不是电阻串并联口诀的机械替换。

K04 — Energy stored in capacitors and fields / 电容器与电场中的储能

Knowledge ID: P04-U04-L02-K04

1. 准静态充电功

电容器已有电荷 \(q\) 时，其端电压为 \(v=q/C\)。外力再搬运 \(dq\) 所做准静态功为 \(dU=v\,dq\)：

\[U=\int_0^Q\frac{q}{C}\,dq =\frac{Q^2}{2C} =\frac12QV =\frac12CV^2.\]

因充电过程中电压从 \(0\) 线性增至 \(V\)，平均电压是 \(V/2\)；这就是因子 \(1/2\) 的来源。

图 7 中三角形面积就是储能；不能直接用最终电压乘全部电荷而漏掉 \(1/2\)。

2. 场能密度

平行板中 \(C=\varepsilon_0A/d\)、\(V=Ed\)：

\[U=\frac12\frac{\varepsilon_0A}{d}(Ed)^2 =\frac12\varepsilon_0E^2(Ad).\]

因此真空静电场能密度为

\[\boxed{u_E=\frac12\varepsilon_0E^2}, \qquad U=\int_{\text{all space}}u_E\,d\tau.\]

图 8 的均匀能密度依赖忽略边缘场；一般几何必须对全空间积分。

K05 — Force between capacitor plates / 电容极板间作用力

Knowledge ID: P04-U04-L02-K05

1. 固定电荷边界

断开电源后 \(Q\) 固定，平行板 \(C=\varepsilon_0A/d\)：

\[U(Q,d)=\frac{Q^2d}{2\varepsilon_0A}.\]

若 \(+d\) 表示增大板距，系统力满足

\[F_d=-\left(\frac{\partial U}{\partial d}\right)_Q =-\frac{Q^2}{2\varepsilon_0A}.\]

负号表示吸引、趋向减小 \(d\)；大小

\[F=\frac{Q^2}{2\varepsilon_0A} =\frac12\varepsilon_0AE^2.\]

2. 固定电压边界与电源功

接理想电源时 \(V\) 固定，若只对电容器能量 \(U_C=CV^2/2\) 求导会得到错误方向，因为电荷会流入、理想电源会做功。把电源能量交换纳入后，机械力大小仍为

\[F=\frac12\varepsilon_0A\left(\frac{V}{d}\right)^2,\]

方向仍为吸引。等价地，真空电场在导体表面施加压力 \(p=\varepsilon_0E^2/2\)。

3. 为什么不能用总场乘极板总电荷

某一极板不受自身电场的合力；另一块无限大板在其位置产生 \(E_{\mathrm{other}}=\sigma/(2\varepsilon_0)\)。于是

\[F=Q E_{\mathrm{other}} =\sigma A\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} =\frac{\sigma^2A}{2\varepsilon_0}.\]

图 9 与图 10 分别给出力的方向和因子 \(1/2\) 的局域来源。

Worked Examples

Worked Example 1 — 平行板电容与电荷

已知： 真空平行板 \(A=2.00\times10^{-2}\,\mathrm{m^2}\)，\(d=1.00\,\mathrm{mm}\)，加 \(V=120\,\mathrm V\)。

系统与模型： 两板及板间场；\(d\) 远小于板宽，忽略边缘场。

\[C=\frac{\varepsilon_0A}{d} =\frac{(8.854\times10^{-12})(2.00\times10^{-2})}{1.00\times10^{-3}} =1.77\times10^{-10}\ \mathrm F=177\ \mathrm{pF}.\]

\[Q=CV=(1.7708\times10^{-10})(120) =2.12\times10^{-8}\ \mathrm C=21.2\ \mathrm{nC}.\]

检查： \(A\) 增大使 \(C\) 增大，\(d\) 增大使 \(C\) 减小；三位有效数字一致。

Worked Example 2 — 同轴电缆每段电容

已知： 真空同轴导体 \(a=1.00\,\mathrm{mm}\)，\(b=5.00\,\mathrm{mm}\)，\(L=0.500\,\mathrm m\)。

参考与模型： 轴向均匀，忽略端效应；径向由内向外积分。

\[C=\frac{2\pi\varepsilon_0L}{\ln(b/a)} =\frac{2\pi(8.854\times10^{-12})(0.500)}{\ln5.00} =1.73\times10^{-11}\ \mathrm F.\]

所以 \(C=17.3\,\mathrm{pF}\)。

检查： \(b/a\) 无量纲；\(b\) 增大使对数增大、\(C\) 减小，符合导体分离更远电容更小的直觉。

Worked Example 3 — 混联网络的电荷分配

已知： \(C_1=3.00\,\mathrm{\mu F}\) 与 \(C_2=6.00\,\mathrm{\mu F}\) 串联，该支路与 \(C_3=4.00\,\mathrm{\mu F}\) 并联，接 \(12.0\,\mathrm V\)。

系统、参考节点与模型： 研究对象是达到 DC 稳态后的三个理想电容；取理想电源负端为 \(0\,\mathrm V\)、正端为 \(+12.0\,\mathrm V\)。忽略漏电与寄生电容，并假定串联支路的浮置中间节点初始净电荷为零，因此该节点连接的两块极板获得等量异号电荷。

串联支路

\[C_{12}=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}=2.00\ \mathrm{\mu F}.\]

总电容

\[C_{\mathrm{eq}}=C_{12}+C_3=6.00\ \mathrm{\mu F}, \qquad Q_{\mathrm{source}}=72.0\ \mathrm{\mu C}.\]

串联支路电荷量相同：

\[Q_1=Q_2=C_{12}V=24.0\ \mathrm{\mu C}.\]

所以 \(V_1=8.00\,\mathrm V\)、\(V_2=4.00\,\mathrm V\)；并联电容 \(Q_3=C_3V=48.0\,\mathrm{\mu C}\)。

检查： \(V_1+V_2=12.0\,\mathrm V\)，且源端电荷 \(24.0+48.0=72.0\,\mathrm{\mu C}\)。

Worked Example 4 — 固定电压下的储能与极板力

已知： 真空平行板 \(A=1.00\times10^{-2}\,\mathrm{m^2}\)，\(d=1.00\,\mathrm{mm}\)，由理想电源维持 \(V=1.00\,\mathrm{kV}\)。

系统、坐标与模型： 定义 \(+d\) 为板间距增大的方向，忽略边缘场并采用准静态理想平行板模型。计算 \(U_C\) 时系统只含电容器；由固定 \(V\) 求机械力时，能量交换系统必须包含维持电压的理想电源。下式的 \(F\) 表示吸引力大小，带符号的广义力为 \(F_d=-F\)。

\[C=\frac{\varepsilon_0A}{d}=8.85\times10^{-11}\ \mathrm F,\]

\[U_C=\frac12CV^2=4.43\times10^{-5}\ \mathrm J=44.3\ \mathrm{\mu J}.\]

场强 \(E=V/d=1.00\times10^6\,\mathrm{V\,m^{-1}}\)，故吸引力大小

\[F=\frac12\varepsilon_0AE^2 =4.43\times10^{-2}\ \mathrm N.\]

方向与边界检查： 两板互相吸引。若保持 \(V\) 而把 \(d\) 加倍，\(F\propto d^{-2}\) 降为四分之一；求力时已把电源能量交换纳入边界条件。

Lesson synthesis

电容问题的主线是：几何与介质决定 \(C\)，端口状态满足 \(Q=CV\)，网络拓扑决定如何组合 \(C\)，充电路径的积分给出能量，能量对几何参数的变化再给出机械力。每一步都要先标明保持不变的是 \(Q\) 还是 \(V\)。

Formula-and-decision table

Model boundaries

• 边缘场： 平行板公式要求 \(d\) 远小于板的横向尺寸；精密问题需数值解 Laplace 方程。
• 寄生参数： 真实导线和邻近物体也形成电容，简单网络忽略这些耦合。
• 线性介质： \(Q=CV\) 默认 \(C\) 不随 \(V\)；铁电、耗散或击穿时需更一般模型。
• 准静态： 充电过程足够慢，辐射和传输线传播延迟可忽略。
• 力与电源： 固定电压时不能只把电容器的 \(CV^2/2\) 当作封闭系统总势能。

Misconception clinic

Practice and retrieval

1. K01： 一个固定几何真空电容器的 \(Q\) 加倍时，\(V\)、\(C\)、\(U\) 如何变化？
2. K02： \(A=300\,\mathrm{cm^2}\)、\(d=2.00\,\mathrm{mm}\) 的真空平行板电容是多少？
3. K02： 证明同心球电容在 \(b\to\infty\) 时变为 \(4\pi\varepsilon_0a\)。
4. K03： \(2.00\,\mathrm{\mu F}\) 与 \(3.00\,\mathrm{\mu F}\) 串联，求等效电容。
5. K03： 上题组合接 \(10.0\,\mathrm V\)，求两只电容器电荷及各自电压。
6. K04： \(C=5.00\,\mathrm{\mu F}\)、\(V=20.0\,\mathrm V\)，求储能。
7. K04： 真空中 \(E=2.00\times10^5\,\mathrm{V\,m^{-1}}\)，求能量密度。
8. K05： 固定 \(Q\) 的平行板把 \(d\) 加倍，\(C\)、\(E\)、\(U\) 与 \(F\) 分别如何变化？
9. K05： 固定 \(V\) 的平行板把 \(d\) 加倍，\(Q\)、\(E\)、电容器能量与 \(F\) 分别如何变化？
10. 综合： 为什么串联等效电容一定小于其中任意一个电容？

Exit ticket

1. 不背公式：从高斯定律开始，用四行方程推导同轴圆柱电容，并标出忽略端部效应的位置。
2. 对一个可移动平行板装置，分别写出固定 \(Q\) 与固定 \(V\) 的系统边界；解释为何两种情况下都吸引，却不能用同一个“只含电容器”的势能导数步骤。

References and source notes

以下来源均于 2026-08-26 实际核验；正文为重新推导与组织，图示为原创。

1. OpenStax, University Physics Volume 2, 8.1 Capacitors and Capacitance — 定义、三类对称几何与计算流程。
2. OpenStax, University Physics Volume 2, 8.2 Capacitors in Series and in Parallel — 串并联关系与电荷、电压约束。
3. OpenStax, University Physics Volume 2, 8.3 Energy Stored in a Capacitor — 充电功、三种能量表达与场能密度。
4. MIT OpenCourseWare 8.02, Capacitors, Energy, and Dielectrics — 平行板、球形电容与能量的本科课程材料。
5. R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, Vol. II, Chapter 8: Electrostatic Energy — \(U=Q^2/(2C)\)、虚功与极板力中因子 \(1/2\)。
6. MIT OpenCourseWare 6.013, Lecture 5: Electric forces on e-beams, C plates, force from ∂w/∂z; generators and sensors — 电容极板力、场能梯度与电磁致动的直接课程讲义。

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复习与拓展

• 下一课以 \(\mathbf P\)、\(\mathbf D\) 和 \(\varepsilon\) 描述材料填入电容器后的变化：Dielectric Matter。
• RC 暂态课程将把理想静态关系 \(Q=CV\) 与电阻传导结合，研究充放电时间尺度。
• 电磁场能与 Maxwell stress tensor 将把本课平行板压力推广到任意几何。