电介质

Learning objectives

完成本课后，你应能：

1. 从偶极矩密度定义极化 \(\mathbf P\)，并推导 \(\rho_b=-\nabla\cdot\mathbf P\) 与 \(\sigma_b=\mathbf P\cdot\hat{\mathbf n}\)；
2. 定义 \(\mathbf D=\varepsilon_0\mathbf E+\mathbf P\)，说明其高斯定律只显式包围自由电荷；
3. 在线性、各向同性、均匀介质中连接 \(\chi_e\)、\(\varepsilon_r\)、\(\varepsilon\) 与电容变化；
4. 从积分 Maxwell 方程推导界面上 \(\mathbf D\) 的法向条件和 \(\mathbf E\) 的切向条件；
5. 区分静态介电强度、频率相关复介电率、损耗角正切与实际击穿，并进行有条件的定量计算。

Prerequisites

• Capacitance and Stored Energy：电容、场能与极板边界；
• 高斯定律、静电环路积分、散度定理；
• 矢量的法向和切向分解；
• 正弦稳态相量的基础概念（仅 K05 使用）。

Scope and conventions

本课采用宏观连续介质模型。\(\hat{\mathbf n}\) 在介质界面上从 medium 1 指向 medium 2；在介质自身外表面上则取向外法线。自由电荷由外部电路或化学过程供给，束缚电荷是极化的宏观等效源。静电部分使用 SI；交流损耗用 RMS 场值并明确 \(e^{i\omega t}\) 约定。除非说明，介质为非磁性、局域响应，不处理铁电畴滞回、空间色散和量子极化。

Notation and modeling contract

K01 — Polarization and bound charge / 极化与束缚电荷

Knowledge ID: P04-U04-L03-K01

1. 极化是偶极矩的体密度

外电场使非极性分子的电子云与原子核发生微小相对位移，或使永久偶极子部分取向。取足够大以包含许多分子、又足够小以分辨宏观变化的体元 \(\Delta\tau\)：

\[\mathbf P(\mathbf r)=\lim_{\Delta\tau\to\text{macro-small}} \frac{\sum_{i\in\Delta\tau}\mathbf p_i}{\Delta\tau}.\]

图 1 是 coarse-grained 示意；真实热运动会使取向不完全，\(\mathbf P\) 是统计平均。

2. 束缚电荷来自极化的终止与不均匀

均匀极化介质内部相邻偶极子的正负端相消，只在边界留下等效面电荷：

\[\boxed{\sigma_b=\mathbf P\cdot\hat{\mathbf n}}.\]

若 \(\mathbf P\) 空间不均匀，体元之间不能完全相消。对任意体积应用散度定理得到

\[\boxed{\rho_b=-\nabla\cdot\mathbf P}.\]

图 2 表示均匀 \(\mathbf P\) 只有表面束缚电荷；图 3 表示 \(P_x\) 随 \(x\) 增长时内部出现均匀负束缚体电荷。束缚电荷仍是真实电荷的宏观净效应，但不能像导体自由电荷那样任意流动。

K02 — Electric displacement field \(\mathbf D\) / 电位移矢量

Knowledge ID: P04-U04-L03-K02

1. 把极化源从高斯定律中重组

总电荷密度 \(\rho=\rho_f+\rho_b\)，且 \(\rho_b=-\nabla\cdot\mathbf P\)：

\[\nabla\cdot\mathbf E =\frac{\rho_f-\nabla\cdot\mathbf P}{\varepsilon_0}.\]

移项并定义

\[\boxed{\mathbf D\equiv\varepsilon_0\mathbf E+\mathbf P},\]

便有

\[\boxed{\nabla\cdot\mathbf D=\rho_f}, \qquad \boxed{\oint_S\mathbf D\cdot d\mathbf A=Q_{f,\mathrm{enc}}}.\]

图 4 的虚线高斯面强调：\(\mathbf D\) 不是“只由自由电荷产生的实际电场”。它是方便处理材料响应的辅助场；其旋度一般不必为零。

2. 平行板中的应用

若两自由极板面密度为 \(\pm\sigma_f\)，介质均匀且忽略边缘，

\[D=\sigma_f,\]

而 \(E\) 还需材料关系才能求出。仅知道自由电荷不足以由 \(\mathbf D\) 唯一得到 \(\mathbf E\)，除非给出 \(\mathbf P(\mathbf E)\) 或 \(\varepsilon\)。

K03 — Linear dielectrics, permittivity, and susceptibility / 线性介质、介电率与极化率

Knowledge ID: P04-U04-L03-K03

1. 线性、各向同性、均匀是三个不同假设

在线性各向同性介质中，

\[\mathbf P=\varepsilon_0\chi_e\mathbf E.\]

于是

\[\mathbf D=\varepsilon_0(1+\chi_e)\mathbf E =\varepsilon_0\varepsilon_r\mathbf E =\varepsilon\mathbf E,\]

\[\boxed{\varepsilon_r=1+\chi_e}, \qquad \boxed{\varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r}.\]

“线性”指 \(\mathbf P\) 对 \(\mathbf E\) 成正比；“各向同性”使比例系数为标量而非张量；“均匀”指参数不随位置变化。

图 5 区分线性模型与可能的非线性响应；即使低场段近似线性，高场下也可能偏离。

2. 电容器的两种实验边界

完全填充均匀线性介质的平行板电容为

\[C=\frac{\varepsilon A}{d}=\varepsilon_rC_0.\]

• 断开电源、\(Q_f\) 固定： \(D\) 固定，\(E=E_0/\varepsilon_r\)，\(V=V_0/\varepsilon_r\)，\(U=U_0/\varepsilon_r\)；
• 连接理想电源、\(V\) 固定： \(E=V/d\) 固定，\(Q_f=\varepsilon_rQ_0\)，\(U_C=\varepsilon_rU_0\)；新增能量来自电源，不能把电容器视作封闭系统。

图 6 的结论要求介质填满场区；部分填充通常需按几何分解为有效串联或并联区域。

K04 — Boundary conditions at dielectric interfaces / 电介质界面边界条件

Knowledge ID: P04-U04-L03-K04

设法线 \(\hat{\mathbf n}\) 从 medium 1 指向 medium 2。

1. \(\mathbf D\) 的法向跃变由自由面电荷决定

跨界面取薄高斯小柱，令高度趋零：

\[\boxed{\hat{\mathbf n}\cdot(\mathbf D_2-\mathbf D_1)=\sigma_f}.\]

无自由面电荷时，\(D_{2n}=D_{1n}\)；这不等于 \(E_{2n}=E_{1n}\)，因为介电率可不同。

2. 静电 \(\mathbf E\) 的切向分量连续

跨界面取无穷小矩形回路，静电场满足 \(\oint\mathbf E\cdot d\boldsymbol\ell=0\)：

\[\boxed{\hat{\mathbf n}\times(\mathbf E_2-\mathbf E_1)=\mathbf 0}.\]

即 \(\mathbf E_{2t}=\mathbf E_{1t}\)。在线性各向同性介质且 \(\sigma_f=0\) 时，

\[\varepsilon_2E_{2n}=\varepsilon_1E_{1n}, \qquad E_{2t}=E_{1t}.\]

图 7 是界面符号约定；图 8 展示无自由面电荷时场线可因介电率改变方向。不要把光学 Snell 定律直接套到静电场线。

3. 束缚面电荷的接口写法

在介质 1/2 交界处，若用同一 \(\hat{\mathbf n}\) 从 1 指向 2，则界面净束缚面电荷为

\[\sigma_b=(\mathbf P_1-\mathbf P_2)\cdot\hat{\mathbf n}.\]

它与 \(\mathbf D\) 法向条件中的 \(\sigma_f\) 不应混淆。

K05 — Dielectric breakdown and loss / 电介质击穿与损耗

Knowledge ID: P04-U04-L03-K05

1. 击穿是模型失效与导电通道形成

介电强度 \(E_{\mathrm{bd}}\) 是特定试样、几何、温度、时间尺度与测试规程下发生击穿的场强尺度。达到击穿前，漏电、局部缺陷和局部场增强已可能显著；不能把表中单一数值当成材料常数的无限精度阈值。

图 9 是定性曲线；实际击穿可由 avalanche、热失控、树枝化或局部放电等不同机制触发。

2. 复介电率与损耗

对采用 \(e^{i\omega t}\) 的线性正弦稳态，写

\[\varepsilon^*(\omega)=\varepsilon'(\omega)-i\varepsilon''(\omega), \qquad \tan\delta=\frac{\varepsilon''}{\varepsilon'}.\]

\(\varepsilon'\) 描述同相储能响应，\(\varepsilon''>0\) 描述滞后与耗散。若 \(E_{\mathrm{rms}}\) 是 RMS 场强，平均介质损耗功率密度为

\[\boxed{\langle p_{\mathrm{loss}}\rangle =\omega\varepsilon''E_{\mathrm{rms}}^2 =\omega\varepsilon'\tan\delta\,E_{\mathrm{rms}}^2}.\]

若使用峰值场 \(E_0\)，右侧需乘 \(1/2\)。导电损耗也可并入有效 \(\varepsilon''\)，但必须说明采用的材料模型。

图 10 显示典型弛豫附近 \(\varepsilon'\) 下降、\(\varepsilon''\) 出峰；具体材料可有多个弛豫与导电尾部。

Worked Examples

Worked Example 1 — 由极化求束缚电荷

已知： \(0<x<L\) 的平板介质中 \(\mathbf P=P_0(x/L)\hat{\mathbf x}\)，横截面积 \(A\)；其余方向均匀。求体束缚电荷密度及左右表面束缚电荷。

坐标与边界： \(+x\) 向右；左表面外法线 \(-\hat{\mathbf x}\)，右表面外法线 \(+\hat{\mathbf x}\)。

\[\rho_b=-\nabla\cdot\mathbf P =-\frac{dP_x}{dx} =-\frac{P_0}{L}.\]

左表面 \(P_x(0)=0\)，所以 \(\sigma_b(0)=0\)；右表面

\[\sigma_b(L)=\mathbf P(L)\cdot\hat{\mathbf n}=P_0.\]

守恒检查： 体电荷 \(\rho_bAL=-P_0A\)，右表面电荷 \(+P_0A\)，总束缚电荷为零。

Worked Example 2 — 自由电荷、\(\mathbf D\)、\(\mathbf E\) 与 \(\mathbf P\)

已知： 均匀线性介质 \(\varepsilon_r=4.00\) 完全填充平行板，板上自由面电荷密度 \(\sigma_f=6.00\,\mathrm{\mu C\,m^{-2}}\)。求 \(D,E,P\)。

系统与方向： 忽略边缘；法向从正板指向负板。

\[D=\sigma_f=6.00\times10^{-6}\ \mathrm{C\,m^{-2}}.\]

\[E=\frac{D}{\varepsilon_0\varepsilon_r} =1.69\times10^5\ \mathrm{V\,m^{-1}}.\]

\[P=D-\varepsilon_0E =D\left(1-\frac1{\varepsilon_r}\right) =4.50\times10^{-6}\ \mathrm{C\,m^{-2}}.\]

三者方向相同。检查： \(P<D\) 且 \(\varepsilon_0E=1.50\,\mathrm{\mu C\,m^{-2}}\)，相加回到 \(D\)。

Worked Example 3 — 无自由面电荷的介质界面

已知： \(\varepsilon_1=2\varepsilon_0\)、\(\varepsilon_2=5\varepsilon_0\)；界面无自由面电荷。介质 1 中场纯法向，\(E_{1n}=10.0\,\mathrm{kV\,m^{-1}}\)。求 \(E_{2n}\)。

\[D_{2n}-D_{1n}=\sigma_f=0 \quad\Rightarrow\quad \varepsilon_2E_{2n}=\varepsilon_1E_{1n}.\]

\[E_{2n}=\frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}E_{1n} =\frac25(10.0)=4.00\ \mathrm{kV\,m^{-1}}.\]

检查： 高介电率侧所需 \(E\) 较小，而 \(D_n\) 连续。方向未反转。若界面有自由电荷，就不能令 \(D_n\) 连续。

Worked Example 4 — 正弦场中的介质损耗

已知： \(f=1.00\,\mathrm{MHz}\)，\(\varepsilon'=4.00\varepsilon_0\)，\(\tan\delta=0.0200\)，\(E_{\mathrm{rms}}=1.00\,\mathrm{kV\,m^{-1}}\)。求平均损耗功率密度。

模型与约定： 线性正弦稳态，给定场为 RMS；采用 \(e^{i\omega t}\) 与 \(\varepsilon^*=\varepsilon'-i\varepsilon''\)。

\[\langle p_{\mathrm{loss}}\rangle =2\pi f\,\varepsilon'\tan\delta\,E_{\mathrm{rms}}^2.\]

\[\langle p_{\mathrm{loss}}\rangle =2\pi(1.00\times10^6)(4.00\times8.854\times10^{-12})(0.0200)(1.00\times10^3)^2 =4.45\ \mathrm{W\,m^{-3}}.\]

检查： 单位为 \((\mathrm{s^{-1}})(\mathrm{F\,m^{-1}})(\mathrm{V^2\,m^{-2}})=\mathrm{W\,m^{-3}}\)。若误把 RMS 当峰值，会多或少一个因子 2。

Lesson synthesis

材料问题可按“源—响应—场”三层组织：自由电荷由外部控制；材料极化以 \(\mathbf P\) 表示并产生束缚电荷；\(\mathbf D\) 把自由源从总源中分离；构成关系再把 \(\mathbf D\) 与 \(\mathbf E\) 联系起来。界面条件来自 Maxwell 方程，绝不能由“场线看起来应该连续”猜测。

Formula-and-decision table

Model boundaries

• 连续介质： \(\mathbf P\) 是体元平均，不用于单个分子尺度。
• 线性与各向同性： 晶体中 \(\boldsymbol\varepsilon\) 常为张量；强场或铁电材料中 \(\mathbf P\) 可非线性并有滞回。
• 均匀性： 分层、梯度或多孔介质的 \(\varepsilon(\mathbf r)\) 需配合界面条件求解。
• 频率： 静态 \(\varepsilon_r\) 不能无条件用于 MHz、GHz 或光频；色散与损耗随频率变化。
• 击穿： 数据表的 dielectric strength 依赖样品厚度、缺陷、温湿度、波形和测试标准。
• 能量： 有耗散、色散介质的瞬时能量密度不能简单写成 \(\varepsilon E^2/2\) 后不加说明。

Misconception clinic

Practice and retrieval

1. K01： 均匀极化球内部 \(\nabla\cdot\mathbf P=0\)，是否意味着它没有束缚电荷？
2. K01： 一均匀介质块 \(\mathbf P=P_0\hat{\mathbf z}\)，求法线分别为 \(+\hat{\mathbf z}\) 和 \(-\hat{\mathbf z}\) 两面的 \(\sigma_b\)。
3. K02： 为什么 \(\nabla\cdot\mathbf D=\rho_f\) 不能推出 \(\mathbf D\) 只依赖自由电荷？
4. K02/K03： \(\varepsilon_r=3.00\)、\(D=9.00\,\mathrm{\mu C\,m^{-2}}\)，求 \(E\) 与 \(P\)。
5. K03： 断开电源的电容器完全插入 \(\varepsilon_r=5\) 介质，\(C,V,U\) 相对原值如何变化？
6. K03： 保持电压不变完成同一操作，\(C,Q,U_C\) 如何变化？
7. K04： 无自由面电荷界面上，\(\varepsilon_2=2\varepsilon_1\) 且场纯法向，求 \(E_{2n}/E_{1n}\)。
8. K04： 静电界面两侧切向场分别为 \(3.0\) 与 \(4.0\,\mathrm{kV\,m^{-1}}\) 是否可能？
9. K05： 为什么不能只用 \(V/d\) 与数据表击穿场比较就宣布器件一定安全？
10. K05： 若 \(\varepsilon'=3\varepsilon_0\)、\(\tan\delta=0.010\)、\(f\) 加倍而 RMS 场不变且参数近似不变，损耗功率密度如何变化？

Exit ticket

1. 一个介质界面没有自由面电荷，但测得 \(E_n\) 跃变。用两条界面条件说明为什么这不矛盾，并判断哪一侧介电率更大。
2. 画出“自由电荷 → \(\mathbf D\) → 构成关系 → \(\mathbf E\) → \(\mathbf P\) → 束缚电荷”的求解链，并指出在哪一步必须输入材料信息。

References and source notes

以下来源均于 2026-08-26 实际核验；不同来源的符号统一为本课的 \(e^{i\omega t}\) 与 \(\varepsilon^*=\varepsilon'-i\varepsilon''\) 约定。

1. OpenStax, University Physics Volume 2, 8.4 Capacitor with a Dielectric — 固定电荷/固定电压实验边界与 \(C=\varepsilon_rC_0\)。
2. OpenStax, University Physics Volume 2, 8.5 Molecular Model of a Dielectric — 分子极化、诱导场、介电强度与击穿。
3. R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, Vol. II, Chapter 10: Dielectrics — \(\mathbf P\)、束缚电荷、自由/极化源与线性介质。
4. MIT OpenCourseWare RES.6-001, Chapter 6: Polarization — \(\mathbf D\)、连续条件、线性电介质和分段均匀材料。
5. MIT OpenCourseWare 6.013, Lecture 2: Introduction to Electrodynamics; Media; Boundary Conditions — 宏观介质与界面边界条件。
6. NIST Technical Note 1520, Dielectric and conductor-loss characterization and measurements on electronic packaging materials — 频率相关 \(\varepsilon'\)、\(\varepsilon''\)、loss tangent 与测量约定。
7. MIT OpenCourseWare RES.6-002, Chapter 3: Polarization and Conduction — 有损介质与界面问题的交叉核验。

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复习与拓展

• 下一课从少量漏电过渡到可测的传导电流：Electric Current and Conduction。
• RC 暂态中，介质损耗和漏电可分别近似为频率相关电容与并联电阻。
• 更高阶电磁学将把标量 \(\varepsilon\) 推广为张量和因果频散响应，并连接 Kramers–Kronig 关系。