波函数与概率 · Wave Functions and Probability

Learning objectives / 学习目标

解释 wave function 是 probability amplitude，而不是轨迹、力场或涂开的物质密度。
用 Born rule 求区间概率，并正确写出 1D/3D probability-density units。
归一化给定 wave function，检查 single-valuedness、square integrability 与边界行为。
区分 global phase 与 relative phase，并计算 coherent superposition 的 interference term。
计算 expectation value、variance 与 standard deviation，并把它们解释为 repeated preparation 的统计量。

Prerequisites / 先修知识

Matter Waves and Quantum Evidence：single-event detection、wave packet 与 uncertainty。
complex number $z=re^{i\theta}$ 、complex conjugate $$z^*$$ 与 $\lvert z\rvert^2=z^*z$ 。
probability density 的积分、mean 与 standard deviation。
本课不预设 Schrödinger equation；time evolution 在下一课建立。

Scope and conventions / 范围与约定

主要讨论一维单粒子 position representation $\Psi(x,t)$ ；三维推广把 $$dx$$ 换成 $$d^3r$$ 。
coordinate $$x$$ 在 laboratory frame 中定义；所有 position probabilities 均相对于所声明的 reference frame。
$\rho(x,t)=\Psi^*\Psi=\lvert\Psi\rvert^2$ ；1D normalized $\Psi$ 的单位为 $\mathrm{m^{-1/2}}$ 。
global phase $e^{i\alpha}$ 作用于整个 state；relative phase 是不同 components 的相位差。
expectation 是 identical preparation ensemble 的平均，不保证单次 measurement 等于该数。
boundary behavior 只先讨论可接受 state 的一般要求；finite/infinite potential 的 derivative matching 在下一课精化。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

Symbol	Meaning	Unit / property
$\Psi(x,t)$	position-space probability amplitude	$\mathrm{m^{-1/2}}$ in 1D
$\Psi^*$	complex conjugate of $\Psi$	same as $\Psi$
$\rho=\Psi^*\Psi$	position probability density	$\mathrm{m^{-1}}$ in 1D
$P(a\le x\le b)$	interval probability	dimensionless
$\langle x\rangle$	ensemble mean position	$\mathrm{m}$
$\Delta x$	standard deviation $\sqrt{\langle x^2\rangle-\langle x\rangle^2}$	$\mathrm{m}$
$$c_n$$	complex expansion coefficient	dimensionless for orthonormal basis
$\alpha,\delta$	global and relative phases	rad, dimensionless

1. Wave function as probability amplitude / 波函数作为概率振幅

Knowledge ID: P07-U02-L01-K01

1.1 amplitude 的核心角色

$\Psi(x,t)$ 是给定 preparation 在位置表象中的 complex amplitude。它本身一般不可直接作为 detector reading；实验比较的是由 amplitude 计算的 probabilities。复数结构允许 phase 在不同 alternatives 间保留并相消或相长。

写成 polar form：

$\Psi(x,t)=R(x,t)e^{iS(x,t)}, \qquad R\ge0.$

$$R$$ 控制 probability density， $$S$$ 控制相对 phase structure。不能把图上正负或 imaginary part 解释成负质量/负概率。

Wave Functions and Probability — 1.1 amplitude 的核心角色（图 1） — 图 11.1 amplitude 的核心角色

1.2 state 与表示

同一个 abstract quantum state 可在 position、momentum 或其他 basis 表示； $\Psi(x,t)$ 不是“唯一真实形状”的额外 classical medium。position-space amplitude 的完整信息包括 magnitude 与 phase，只有画 $\rho$ 会丢掉 interference-relevant information。

2. Born rule and probability density / 玻恩规则与概率密度

Knowledge ID: P07-U02-L01-K02

Born rule 在 position measurement 中规定

$\rho(x,t)=\lvert\Psi(x,t)\rvert^2 =\Psi^*(x,t)\Psi(x,t),$

$P(a\le x\le b;t) =\int_a^b\rho(x,t)\,dx.$

概率是 dimensionless，所以 1D 中 $[\rho]=\mathrm{m^{-1}}$ 、 $[\Psi]=\mathrm{m^{-1/2}}$ ；3D 中相应为 $\mathrm{m^{-3}}$ 与 $\mathrm{m^{-3/2}}$ 。

Wave Functions and Probability — 2. Born rule and probability density / 玻恩规则与概率密度（图 3） — 图 32. Born rule and probability density / 玻恩规则与概率密度

2.1 连续 density 与有限 detector bins

理想“恰好在一个 mathematical point”对 continuous density 的概率为零；真实 detector pixel 宽度 $\Delta x$ 给

$P_i=\int_{\text{pixel }i}\rho(x,t)\,dx \approx\rho(x_i,t)\Delta x$

仅当 $\rho$ 在 pixel 内变化缓慢。Histogram count fraction 在大量 identical trials 下逼近 $$P_i$$ ，但 finite sample 有 statistical fluctuations。

3. Normalization and boundary behavior / 归一化与边界行为

Knowledge ID: P07-U02-L01-K03

3.1 归一化

若 particle 必在考虑的 configuration space 中，

$\int_{-\infty}^{\infty}\lvert\Psi(x,t)\rvert^2\,dx=1.$

对未归一函数 $$f$$ ，令 $\Psi=Nf$ ，则

$\lvert N\rvert =\left(\int\lvert f\rvert^2dx\right)^{-1/2}.$

$$N$$ 的 phase 任意；通常取正实数，因为 global phase 不影响 probabilities。

Wave Functions and Probability — 3.1 归一化（图 4） — 图 43.1 归一化

3.2 physical admissibility

常规 nonrelativistic single-particle state 应：

single-valued；
square-integrable for bound/localized states；
finite except at explicitly generalized idealizations；
在 finite nonsingular potential 中 continuous；
满足 apparatus/potential 的 boundary conditions。

Wave Functions and Probability — 3.2 physical admissibility（图 5） — 图 53.2 physical admissibility

ideal plane wave 不 square-integrable，却可作为 generalized eigenstate 或 box-normalized limit 使用；这不是把其 constant density 当作一粒粒子的普通 normalized probability。

4. Superposition and relative phase / 叠加与相对相位

Knowledge ID: P07-U02-L01-K04

4.1 线性叠加

若 $\psi_1,\psi_2$ 是允许 amplitudes，则

$\Psi=c_1\psi_1+c_2\psi_2$

也是 state amplitude（随后按 inner product normalization）。其 density 为

$\lvert\Psi\rvert^2 =\lvert c_1\psi_1\rvert^2+\lvert c_2\psi_2\rvert^2 +2\operatorname{Re}\!\left(c_1^*c_2\psi_1^*\psi_2\right).$

最后一项保留 relative phase，产生 interference。

4.2 global phase 与 relative phase

$\Psi'(x)=e^{i\alpha}\Psi(x) \quad\Longrightarrow\quad \lvert\Psi'\rvert^2=\lvert\Psi\rvert^2.$

所有 observable probabilities 对同一 global phase 不变。反之，若只把一个 component 乘 $e^{i\delta}$ ，cross term 会随 $\delta$ 改变。

Wave Functions and Probability — 4.2 global phase 与 relative phase（图 6） — 图 64.2 global phase 与 relative phase

Wave Functions and Probability — 4.2 global phase 与 relative phase（图 7） — 图 74.2 global phase 与 relative phase

orthogonal basis states may have no position-space overlap yet still form a coherent superposition whose relative phase appears under a different measurement basis。相位“不可见”与“物理无关”不是同义。

5. Expectation values and statistical spread / 期望值与统计展宽

Knowledge ID: P07-U02-L01-K05

position expectation：

$\langle x\rangle =\int_{-\infty}^{\infty}x\,\lvert\Psi(x,t)\rvert^2\,dx.$

spread 用 variance 而非肉眼全宽：

$(\Delta x)^2 =\left\langle(x-\langle x\rangle)^2\right\rangle =\langle x^2\rangle-\langle x\rangle^2.$

一般 observable $$A$$ 由 Hermitian operator $\hat A$ 表示：

$\langle A\rangle =\int\Psi^*\hat A\Psi\,dx, \qquad (\Delta A)^2 =\langle A^2\rangle-\langle A\rangle^2.$

Wave Functions and Probability — 5. Expectation values and statistical spread / 期望值与统计展宽（图 8） — 图 85. Expectation values and statistical spread / 期望值与统计展宽

Wave Functions and Probability — 5. Expectation values and statistical spread / 期望值与统计展宽（图 9） — 图 95. Expectation values and statistical spread / 期望值与统计展宽

expectation may lie where a single result never occurs，例如 two-outcome spin measurement 的 mean。它是 ensemble statistic，不是 hidden classical trajectory。

Gaussian density 让“参数”和“统计量”直接对应：曲线中心是 $\langle x\rangle=x_0$ ，拐点位于 $x_0\pm\sigma$ ，且 $\Delta x=\sigma$ ；图上整条曲线下面积仍为 1。

Wave Functions and Probability — 5. Expectation values and statistical spread / 期望值与统计展宽（图 10） — 图 105. Expectation values and statistical spread / 期望值与统计展宽

Worked Examples / 完整例题

Example 1 — 归一化双边 exponential state

已知： $\Psi(x)=A e^{-\lvert x\rvert/a}$ ， $$a>0$$ 。
系统与坐标： 1D localized particle；origin at symmetry center。
模型： $\Psi$ continuous and square-integrable；取 $$A>0$$ real as phase convention。

$1=\int_{-\infty}^{\infty}\lvert\Psi\rvert^2dx =2A^2\int_0^\infty e^{-2x/a}dx =A^2a,$

$A=\frac{1}{\sqrt a}.$

区间 $\lvert x\rvert\le a$ 的 probability：

$P=2\int_0^a\frac1a e^{-2x/a}dx =1-e^{-2}=0.8647.$

检查： $[A]=\mathrm{m^{-1/2}}$ ； $$0<P<1$$ ； $a\to\infty$ 时固定相对区间 $\lvert x\rvert\le a$ 仍给相同无量纲 probability。
解释： normalization 设定 amplitude scale；symmetry 还立即给 $\langle x\rangle=0$ 。

Example 2 — infinite-well sine state 的区间概率

已知： $$0<x<L$$ 内 $\Psi=\sqrt{2/L}\sin(\pi x/L)$ ，外部为零；求 $$0<x<L/3$$ 的 probability。
系统与边界： 1D ideal infinite well，walls at $$0,L$$ ；position axis 向右。
模型： 给定 state 已 normalized and vanishes at walls。

$P=\frac{2}{L}\int_0^{L/3}\sin^2\!\left(\frac{\pi x}{L}\right)dx.$

用 $\sin^2u=(1-\cos2u)/2$ ：

$P=\frac13-\frac{\sin(2\pi/3)}{2\pi} =\frac13-\frac{\sqrt3}{4\pi} =0.1955.$

检查： interval 占长度 $$1/3$$ ，但 density near $$x=0$$ 较小，所以 $$P<1/3$$ 合理。
解释： probability 由 area 决定，而不是只按几何长度均分。

Example 3 — relative phase 控制一个 interferometer port

已知： 两条路径到某输出 port 的 amplitudes 为 $$1/2$$ 与 $e^{i\delta}/2$ ， $\delta=2\pi/3$ 。
系统： lossless two-path interferometer 的一个指定 port；另一 port 承担剩余 probability。
模型： equal coherent paths，忽略 detector inefficiency。

$\Psi_{\rm port} =\frac{1+e^{i\delta}}{2},$

$P_{\rm port} =\lvert\Psi_{\rm port}\rvert^2 =\frac{1+\cos\delta}{2} =\frac14.$

检查： $0\le P\le1$ ； $\delta=0$ 时 $$P=1$$ ， $\delta=\pi$ 时 $$P=0$$ ，极限正确。
解释： 若把两条 path probabilities $$1/4+1/4$$ 直接相加会得 $$1/2$$ ，漏掉 relative-phase cross term。

Example 4 — two-outcome observable 的 mean 与 spread

已知： orthonormal eigenstates $\lvert1\rangle,\lvert2\rangle$ 的 eigenvalues 为 $a_1=-1.00\ \mathrm{eV}$ 、 $a_2=3.00\ \mathrm{eV}$ ；state

$\lvert\psi\rangle=\frac35\lvert1\rangle+\frac{4i}{5}\lvert2\rangle.$

系统与测量： 重复制备同一 state，测 observable $$A$$ ；basis 已声明。
模型： projective ideal measurement in the eigenbasis。

$P_1=\frac9{25},\qquad P_2=\frac{16}{25},$

$\langle A\rangle =\frac9{25}(-1.00)+\frac{16}{25}(3.00) =1.56\ \mathrm{eV}.$

$\langle A^2\rangle =\frac9{25}(1.00)+\frac{16}{25}(9.00) =6.12\ \mathrm{eV^2},$

$\Delta A =\sqrt{6.12-(1.56)^2} =1.92\ \mathrm{eV}.$

检查： coefficients normalize: $$9/25+16/25=1$$ ；mean lies between eigenvalues；variance positive。
解释： 单次只给 $$-1.00$$ 或 $3.00\ \mathrm{eV}$ ，不会给 $1.56\ \mathrm{eV}$ ；后者是 ensemble mean。

Lesson synthesis / 本课综合

quantum prediction 的闭环是：

preparation 由 complex normalized state $\Psi$ 表示；
alternatives 在 amplitude level 线性叠加；
relative phase 保留于 cross terms，global phase 消去；
Born rule 把 amplitude 映射为 nonnegative probability density；
integrals 给 interval probabilities，operator moments 给 ensemble mean 与 spread；
boundary behavior 保证 state 与所选 physical model 相容。

Formula-and-decision table / 公式与决策表

Task	Relation	Use when	Check
position density	$\rho=\Psi^*\Psi$	position measurement	$\rho\ge0$ , correct units
interval probability	$P=\int_a^b\rho\,dx$	continuous position	$0\le P\le1$
normalization	$\int\lvert\Psi\rvert^2dx=1$	particle lies in domain	integral converges
coherent superposition	$\Psi=\sum_n c_n\psi_n$	alternatives indistinguishable	normalize with inner products
global phase	$\Psi\to e^{i\alpha}\Psi$	entire state rotated	probabilities unchanged
expectation	$\langle A\rangle=\int\Psi^*\hat A\Psi dx$	normalized state, proper domain	result real for Hermitian $\hat A$
spread	$(\Delta A)^2=\langle A^2\rangle-\langle A\rangle^2$	standard deviation	nonnegative

Model boundaries / 模型边界

$\Psi$ is model-dependent representation of a state；position representation is not privileged in all problems。
ordinary normalization applies to square-integrable states；plane waves use delta/box normalization as generalized states。
Born rule predicts probabilities, not a unique philosophical interpretation of what occurs between preparation and measurement。
continuity requirements depend on Hamiltonian and potential singularities；delta potentials and ideal walls need specialized matching。
a global phase is unobservable for an isolated state；relative phase between coherent components can become observable。
expectation values require operator domains and normalized states；formal integrals can fail if derivatives or moments diverge。
finite experimental histograms approximate distributions with sampling noise and detector response。

Misconception clinic / 误区诊所

“ $\Psi$ 就是 particle trajectory。” 它 assigns amplitudes to possible outcomes；trajectory is not encoded as a classical path $$x(t)$$ 。
“negative/imaginary $\Psi$ means negative/imaginary probability。” probability is $\Psi^*\Psi\ge0$ 。
“归一化是令 $\int\Psi dx=1$ 。” 正确条件是 $\int\lvert\Psi\rvert^2dx=1$ 。
“任何 finite function 都是允许 state。” 还需 single-valued、square-integrable and boundary-compatible。
“所有 phase 都测不到。” 只有 common global phase cancels；relative phase controls interference。
“expectation 是下一次必定得到的结果。” 它是 repeated outcomes 的 weighted mean，未必是 eigenvalue。
“spread 是图的左右端点差。” $\Delta A$ 是 standard deviation，必须从 second moment 计算。

Practice and retrieval / 练习与提取

在 1D 中 normalized $\Psi$ 的 SI unit 是什么？说明理由。
若 $\Psi=(1+i)f(x)$ 且 $$f$$ real，写出 $\rho$ 。
$\Psi=Ae^{-x/a}$ for $x\ge0$ 、else 0；求 normalized $$A$$ 。
对上题求 $$P(x>a)$$ 。
为什么 constant plane wave on all real line 不能 ordinary-normalize？
若 entire state 乘 $e^{i\pi/3}$ ，position probability 怎样变？
两等 amplitudes 的 relative phase 从 $$0$$ 改为 $\pi$ ，一个 constructive port 的 probability 怎样变？
normalized even density $\rho(x)$ 的 $\langle x\rangle$ 是多少？
若 $\langle x\rangle=2.0\ \mathrm m$ 、 $\langle x^2\rangle=5.0\ \mathrm{m^2}$ ，求 $\Delta x$ 。
observable outcomes $$0$$ 与 $4\ \mathrm{eV}$ 的 probabilities 各为 $$1/2$$ ，求 mean 与 standard deviation。

Answers / 答案

1. $\mathrm{m^{-1/2}}$ ；因为 $\int\lvert\Psi\rvert^2dx$ dimensionless，所以 $[\lvert\Psi\rvert^2]=\mathrm{m^{-1}}$ 。

2. $\rho=\Psi^*\Psi=(1-i)(1+i)f^2=2f^2$ 。

3. $1=A^2\int_0^\infty e^{-2x/a}dx=A^2a/2$ ，故 $A=\sqrt{2/a}$ ，取正实 phase convention。

4. $P(x>a)=\int_a^\infty(2/a)e^{-2x/a}dx=e^{-2}=0.1353$ 。

5. $\lvert\Psi\rvert^2$ constant 使 $\int_{-\infty}^\infty\lvert\Psi\rvert^2dx$ 发散；需 wave packet、box 或 delta normalization。

6. 不变，因为 $\lvert e^{i\pi/3}\Psi\rvert^2=\lvert\Psi\rvert^2$ 。

7. ideal equal-path port 从 maximum 变为 zero；cross term 从 positive 变 negative。

8. $$0$$ ，因为 $x\rho(x)$ odd，symmetric integral vanishes。

9. $\Delta x=\sqrt{5.0-(2.0)^2}=1.0\ \mathrm m$ 。

10. $\langle A\rangle=2\ \mathrm{eV}$ ； $\langle A^2\rangle=8\ \mathrm{eV^2}$ ， $\Delta A=\sqrt{8-4}=2\ \mathrm{eV}$ 。

Exit ticket / 离堂检验

给出两个 states，它们有相同 $\lvert\Psi(x)\rvert^2$ 但不同 phase，并说明下一步什么类型的 experiment 可区分它们。
对任一 proposed $\Psi$ 写出四项检查：unit、normalization、boundary、finite moment。

References and source notes / 参考资料与来源说明

OpenStax University Physics Vol. 3, 7.1 Wave Functions — Born rule、normalization、probability and expectation；核对于 2026-08-29。
MIT OpenCourseWare 8.04, Lecture Note 5 — complex wavefunctions and probability interpretation；核对于 2026-08-29。
MIT OpenCourseWare 8.04, Lecture Note 6 — normalization、global phase、probability amplitude and current；核对于 2026-08-29。
MIT OpenCourseWare 8.04, Lecture Note 8 — momentum representation and expectation values；核对于 2026-08-29。
MIT OpenCourseWare 8.05, Chapter 1: The Wave Function — state equivalence under global phase, Born probabilities and stationary-state context；核对于 2026-08-29。
NIST 2022 CODATA, Fundamental Physical Constants — constants and SI consistency；核对于 2026-08-29。

所有 TikZ 为本课原创：complex-plane arrows、densities、normalization flow、phase and ensemble figures 均依据正文关系绘制，未复制来源图。

Source-to-content map

Source	Used for	Knowledge ID / Section	Model boundary or convention
OpenStax 7.1	Born density, interval probability	K01–K03, K05	1D units stated explicitly
MIT 8.04 Note 5	amplitude interpretation	K01, K02	amplitude is not matter density
MIT 8.04 Note 6	normalization and global phase	K03, K04	generalized plane waves separated
MIT 8.04 Note 8	representations and expectation	K05	operator-domain caveat retained
MIT 8.05 Chapter 1	state rays and phase	K04, synthesis	global versus relative phase
NIST CODATA	constants and dimensions	examples/checks	2022 values

复习与拓展

下一课 Schrödinger Equation 将给出 $\Psi$ 的 time evolution，并证明 real potential 下 normalization 由 continuity equation 保持。
与 Matter Waves and Quantum Evidence 对照：single clicks 是数据，Born rule 是从 amplitude 到数据分布的定量桥梁。
可扩展：Hilbert space、Dirac notation、density operators、POVMs、continuous-spectrum normalization。