半导体中的载流子

Learning objectives / 学习目标

学完后能够：定义本课全部 Knowledge；从微观态推导宏观响应；计算代表性数值；读取能带、输运和器件图；用量纲、符号、极限与守恒审查结论；说明高中图景到本科模型之间的接口。

Prerequisites / 先修知识

需要 Schrödinger 方程、Fermi–Dirac 分布、晶格与倒空间、静电场和电流连续性。上一课 Metals, Insulators, and Semiconductors 提供直接概念接口。

Scope and conventions / 范围与约定

采用 SI。实验室参考系；常规电流方向为正电荷运动方向。本文定义 \(q\equiv e>0\) 为元电荷大小，电子电荷为 \(q_e=-q\)、空穴电荷为 \(+q\)。能量向上，位置向右，电场 \(\mathbf E\) 指向正电势降低方向。默认体材料、局域热平衡、非简并载流子和低场线性输运；高注入、高场、简并或纳米限域必须另行声明。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

1. Intrinsic carriers and thermal excitation / 本征载流子与热激发

Knowledge ID: P09-U04-L01-K01

本征（intrinsic）半导体不含有意掺杂；导电载流子来自价带电子的热激发。每提升一个电子到导带，价带便留下一个可移动空穴，所以无外加净电荷时成对产生并有 \(n=p=n_i\)。电子和空穴的电荷相反，但二者在同一电场下贡献的常规电流同向；一对载流子不改变体材料净电荷，却增加两个输运通道。图 1 用上跃电子与留下的空穴表示这一守恒关系。

在三维抛物带且载流子非简并时，用 Boltzmann 近似积分带边 DOS 得到

\[n=N_c e^{-(E_c-E_F)/(k_BT)},\qquad p=N_v e^{-(E_F-E_v)/(k_BT)},\qquad n_i=\sqrt{N_cN_v}\,e^{-E_g/(2k_BT)}.\]

\(N_c,N_v\) 和 \(n_i\) 的 SI 单位均为 \(\mathrm{m^{-3}}\)。本征费米能通常靠近带隙中部，但若电子和空穴有效质量不同，它会偏离几何中点。由于 \(N_c,N_v\propto T^{3/2}\)，且 \(E_g\) 本身也随温度变，\(\ln n_i\) 对 \(1/T\) 只在有限温区近似直线；图 2 标出的 \(-E_g/(2k_B)\) 是忽略这些缓慢变化后的斜率。

本征电导率为 \(\sigma_i=q n_i(\mu_n+\mu_p)\)。其温度依赖同时包含浓度的指数增长和迁移率的声子散射变化，所以电导 Arrhenius 斜率未必恰好等于 \(-E_g/(2k_B)\)。低温时载流子数极少，极高温时晶格、带隙和非简并近似都可能改变；在强光照下还会出现独立的电子与空穴准费米能级，不能继续用单一平衡 \(E_F\) 描述。

用实验区分本征激发与漏电时，应改变温度并比较样品几何缩放：真正的体电导随截面积和长度按 \(G=\sigma A/L\) 变化，表面水膜或接触泄漏通常不遵守同一标度。若由温度曲线反演 \(E_g\)，还要把 \(\mu_n(T)\)、\(\mu_p(T)\) 与带隙温漂计入不确定度；只取两点斜率会把迁移率变化误判成载流子激活能。

2. Donor and acceptor doping / 施主与受主掺杂

Knowledge ID: P09-U04-L01-K02

掺杂用少量替位杂质改变载流子平衡。浅施主（donor）在导带下方形成能级 \(E_D\)；电子获得较小电离能 \(E_c-E_D\) 后进入导带，固定在晶格上的施主成为正离子 \(N_D^+\)。浅受主（acceptor）在价带上方形成 \(E_A\)；它从价带俘获电子并成为负离子 \(N_A^-\)，价带留下可移动空穴。图 3–4 的能级箭头分别展示这两种过程。n 型和 p 型只说明多数载流子，不能据此说样品整体带负电或正电。

均匀体材料的局域电荷中性要求

\[p+N_D^+=n+N_A^-.\]

各浓度单位均为 \(\mathrm{m^{-3}}\)。在中等温度、杂质完全电离且 \(N_D-N_A\gg n_i\) 的 n 型材料中，\(n\simeq N_D-N_A\)；少数空穴随后由 \(p=n_i^2/n\) 求得。施主与受主同时存在称为补偿掺杂，必须取净差而不是简单相加。图 5 将自由载流子与固定离化杂质分别放在电中性等式两侧，提醒我们“多数电子多”与“净电荷为负”不是同一陈述。

温度扫描通常出现冻结区、外延区和本征区：低温 \(k_BT\) 不足以电离浅能级，载流子冻结；中温杂质近似完全电离，多数载流子由净掺杂控制；高温本征激发最终压过固定杂质浓度。高掺杂时杂质波函数重叠形成杂质带，\(E_F\) 可进入导带或价带，并伴随带隙窄化与离化杂质散射。此时“一个杂质必贡献一个经典自由载流子”以及 Boltzmann 统计都要停止使用。

3. Carrier concentration and Fermi level / 载流子浓度与费米能级

Knowledge ID: P09-U04-L01-K03

载流子浓度由“能带中有多少态”与“这些态被怎样占据”共同决定。非简并热平衡时，电子与空穴浓度分别为 \(n=N_c\exp[-(E_c-E_F)/(k_BT)]\) 和 \(p=N_v\exp[-(E_F-E_v)/(k_BT)]\)。把两式相乘后化学势消去，得到质量作用律

\[np=N_cN_v e^{-E_g/(k_BT)}=n_i^2.\]

配合完全电离的电中性式，可令净施主浓度 \(C=N_D-N_A\)，于是 \(n-p=C\) 与 \(np=n_i^2\) 联立，得到 \(n=[C+\sqrt{C^2+4n_i^2}]/2\)、\(p=n_i^2/n\)。这个二次式在 \(C\gg n_i\) 时自然趋于 \(n\simeq C\)，在 \(C=0\) 时回到 \(n=p=n_i\)，因此比直接套多数载流子近似更能显示极限。

由电子浓度式还可反求 \(E_c-E_F=k_BT\ln(N_c/n)\)。n 型掺杂使 \(n\) 增大，故 \(E_F\) 朝导带移动，图 6 正是这种变化；p 型则相反。费米能不是由掺杂名称直接指定，而是由温度、离化分数、DOS 和总电荷约束共同解出。若 \(E_F\) 距带边不到数个 \(k_BT\)，应改用完整 Fermi–Dirac 积分，质量作用律的简单 Boltzmann 形式也需修正。

实验上，电导率 \(\sigma=q(n\mu_n+p\mu_p)\) 混合了浓度与迁移率，单测电阻无法唯一反演掺杂；Hall 系数、热电势或光谱可提供额外约束。光照和注入产生非平衡时，电子与空穴分别由准费米能级描述，\(np\) 可大于 \(n_i^2\)。即使 \(N_D=N_A\) 使净掺杂为零，残留离化杂质仍会散射载流子，因此它的迁移率不等于理想本征晶体。

数值求解时应先检查所选近似再代数化简：若净掺杂与 \(n_i\) 同量级，就保留二次式而不能直接令多数载流子等于净杂质；若 Hall 测量显示多带贡献，单载流子 \(R_H=\pm1/(qn)\) 也不再可靠。费米能解必须随温度连续移动，若计算在相邻温点突然跨越带隙，通常意味着离化率或单位换算处理错误。

4. Drift, diffusion, mobility, and recombination / 漂移、扩散、迁移率与复合

Knowledge ID: P09-U04-L01-K04

漂移（drift）来自电场对载流子的定向作用。电子平均速度为 \(\mathbf v_n=-\mu_n\mathbf E\)，但它带负电，因此电子常规漂移电流 \(\mathbf J_{n,drift}=qn\mu_n\mathbf E\) 与电场同向；空穴速度和电流也与电场同向。图 8 同时画出 \(\mathbf E\)、反向的 \(\mathbf v_n\) 和同向的 \(\mathbf J_n\)，必须把粒子速度与常规电流区分。

扩散（diffusion）来自浓度梯度。电子粒子从高 \(n\) 流向低 \(n\)，其负电荷使常规扩散电流指向 \(+\nabla n\)；图 7 画出下降的 \(n(x)\)、向右的电子粒子通量和向左的 \(J_{n,diff}\)。一维总电流及 Einstein 关系为

\[J_n=q n\mu_nE+qD_n\frac{dn}{dx},\qquad J_p=q p\mu_pE-qD_p\frac{dp}{dx},\qquad \frac{D}{\mu}=\frac{k_BT}{q}.\]

\(q\equiv e>0\)，所以 \(D/\mu=k_BT/q\) 为正，单位为 V。它可由热平衡中浓度梯度引起的扩散与内建场漂移恰好抵消推出。低场时迁移率近似常数；高场中漂移速度趋于饱和，\(\mathbf v=\mu\mathbf E\) 不再线性。稳态空间分布还必须满足连续方程 \(\partial n/\partial t=(1/q)\partial J_n/\partial x+G-R\)，并指定接触或表面复合边界，单有电流公式不能唯一求出 \(n(x)\)。

若外部产生关闭、材料均匀、低注入且净复合率为 \((\Delta n)/\tau\)，则 \(d\Delta n/dt=-\Delta n/\tau\)，解为 \(\Delta n(t)=\Delta n_0e^{-t/\tau}\)；图 10 在 \(t=0\) 从 1 开始，并在 \(t=\tau\) 取 \(e^{-1}\)。载流子在一个寿命内扩散的尺度为 \(L=\sqrt{D\tau}\)。陷阱辅助、辐射与 Auger 复合具有不同浓度依赖，强注入下不能用一个常数寿命覆盖全部过程；表面复合也会使测得的有效寿命依赖样品厚度。

方向检查可用一个简单极限完成：若 \(E=0\) 且 \(dn/dx<0\)，电子向 \(+x\) 扩散，但 \(J_n=qD_n(dn/dx)<0\)；若浓度均匀而 \(E>0\)，电子速度为负、\(J_n\) 却为正。任何数值程序若不能同时复现这两个符号，就没有正确区分粒子通量与常规电流。把电子和空穴连续方程相加时，还应保持成对产生与复合的电荷守恒。

Original diagrams / 原创图示

图 1 中热激发箭头从价带边 \(E_v\) 出发并终止于导带边 \(E_c\)；导带电子与价带留下的空穴成对出现，禁带中没有被误画成初态的允许电子态。

图 2 以 temperature activation 为教学对象；坐标、箭头与正文符号约定一致。

图 3 以 donor level 为教学对象；坐标、箭头与正文符号约定一致。

图 4 以 acceptor level 为教学对象；坐标、箭头与正文符号约定一致。

图 5 以 charge neutrality 为教学对象；坐标、箭头与正文符号约定一致。

图 6 以 Fermi shift 为教学对象；坐标、箭头与正文符号约定一致。

图 7 展示扩散：\(n(x)\) 向右降低，电子粒子通量向低浓度侧，而电子常规扩散电流 \(J_{n,\mathrm{diff}}\) 反向。

图 8 展示漂移：电子漂移速度 \(\mathbf v_n\) 与 \(\mathbf E\) 反向，但负电荷使常规电流 \(\mathbf J_n\) 与场同向。

图 9 以 Einstein relation 为教学对象；坐标、箭头与正文符号约定一致。

图 10 是归一化一阶复合曲线 \(e^{-t/\tau}\)：初值为 1，经过一个寿命降至 \(e^{-1}\)。

Worked Examples / 完整例题

Worked Example 1

已知与任务： 300 K 本征 Si 取 \(n_i=1.00\times10^{16}\,\mathrm{m^{-3}}\)、\(\mu_n=0.140\,\mathrm{m^2V^{-1}s^{-1}}\)、\(\mu_p=0.0450\,\mathrm{m^2V^{-1}s^{-1}}\)。求低场电导率与电阻率。
研究对象与系统边界： 系统取均匀体 Si 样品；温度由热库保持 300 K，不含接触电阻、表面导电层和有意掺杂。
参考系与正方向： 在实验室系中令 \(\mathbf E\) 指向 \(+x\)。电子速度指向 \(-x\)，但电子和空穴的常规漂移电流都指向 \(+x\)。
模型与理由： 样品本征，故 \(n=p=n_i\)；场足够低，迁移率可视为常数，两个载流子通道的电导直接相加。取 \(q=1.602\times10^{-19}\,\mathrm C\)。
方程与计算： \(\sigma=q(n\mu_n+p\mu_p)=q n_i(\mu_n+\mu_p)\)。先求迁移率和 \(0.140+0.0450=0.185\,\mathrm{m^2V^{-1}s^{-1}}\)，再代入得 \(\sigma=(1.602\times10^{-19})(1.00\times10^{16})(0.185)=2.96\times10^{-4}\,\mathrm{S\,m^{-1}}\)。电阻率 \(\rho=1/\sigma=3.37\times10^3\,\Omega\,\mathrm m\)。
单位与有效数字： \(\mathrm{C\,m^{-3}m^2V^{-1}s^{-1}}=\mathrm{A\,V^{-1}m^{-1}}=\mathrm{S\,m^{-1}}\)；输入三位有效数字，故两结果均保留三位。
量纲、极限与物理解释： 两项均为正，符合两种常规电流同向；若 \(n_i\) 趋于零，\(\sigma\) 趋于零而 \(\rho\) 发散。该值只适用于给定温度与低场，降温会使 \(n_i\) 指数下降，高场速度饱和则破坏常迁移率关系。

Worked Example 2

已知与任务： 300 K Si 有 \(N_D=1.00\times10^{22}\,\mathrm{m^{-3}}\)、\(N_A=0\)、\(n_i=1.00\times10^{16}\,\mathrm{m^{-3}}\)、\(N_c=2.80\times10^{25}\,\mathrm{m^{-3}}\)。杂质完全电离；求 \(n,p\) 及 \(E_c-E_F\)。
研究对象与系统边界： 系统是远离结和表面的均匀 n 型体材料，要求每个宏观小体积电中性；不计接触带弯曲与光生载流子。
参考系与正方向： 能量从 \(E_c\) 向上为正，因此本题预期 \(E_c-E_F>0\)；浓度是标量，无空间方向。
模型与理由： 使用完全离化、电中性和非简并热平衡模型。稍后用算得的 \(E_c-E_F\) 与 \(k_BT\) 比较，以回头检验 Boltzmann 近似。
方程与计算： 因 \(N_D\gg n_i\)，先由 \(p+N_D=n\) 得 \(n\simeq N_D=1.00\times10^{22}\,\mathrm{m^{-3}}\)。质量作用律给 \(p=n_i^2/n=(1.00\times10^{16})^2/(1.00\times10^{22})=1.00\times10^{10}\,\mathrm{m^{-3}}\)。再由 \(E_c-E_F=k_BT\ln(N_c/n)\)，取 \(k_BT=0.0259\,\mathrm{eV}\)，得 \(0.0259\ln(2.80\times10^3)=0.206\,\mathrm{eV}\)。
单位与有效数字： 浓度均为 \(\mathrm{m^{-3}}\)；对数自变量 \(N_c/n\) 无量纲，乘 \(k_BT\) 后得到 eV。结果按三位有效数字报告。
量纲、极限与物理解释： \(p/n=10^{-12}\)，确认电子是多数载流子；\(E_c-E_F=7.94k_BT\)，费米能仍离导带边足够远，非简并假设自洽。若降温导致施主未完全电离，\(n\simeq N_D\) 会先失效；若掺杂再提高使 \(E_F\) 接近带边，则需 Fermi–Dirac 积分。

Worked Example 3

已知与任务： 300 K 非简并 Si 的电子迁移率为 \(\mu_n=0.140\,\mathrm{m^2V^{-1}s^{-1}}\)，少子寿命为 \(\tau_n=1.00\,\mu\mathrm s\)。求 \(D_n\) 与扩散长度 \(L_n\)。
研究对象与系统边界： 系统取均匀体材料中的低浓度过剩电子；晶格维持热平衡，表面距离远大于待求扩散长度，不计表面复合。
参考系与正方向： \(x\) 轴沿浓度变化方向；\(D_n\) 和 \(L_n\) 是正标量，不随 \(x\) 正向选择改变。本文始终使用 \(q=e>0\)。
模型与理由： 非简并近平衡载流子满足 Einstein 关系，低注入一阶复合给常数寿命；二者结合定义 \(L_n=\sqrt{D_n\tau_n}\)。
方程与计算： 300 K 热电压 \(V_T=k_BT/q=0.02585\,\mathrm V\)。因此 \(D_n=\mu_nV_T=(0.140)(0.02585)=3.62\times10^{-3}\,\mathrm{m^2s^{-1}}\)。把 \(\tau_n=1.00\times10^{-6}\,\mathrm s\) 代入，\(L_n=\sqrt{(3.62\times10^{-3})(1.00\times10^{-6})}=6.02\times10^{-5}\,\mathrm m=60.2\,\mu\mathrm m\)。
单位与有效数字： \((\mathrm{m^2V^{-1}s^{-1}})(\mathrm V)=\mathrm{m^2s^{-1}}\)；\(\sqrt{\mathrm{m^2s^{-1}}\mathrm s}=\mathrm m\)。输入三位有效数字，两个结果均保留三位。
量纲、极限与物理解释： \(D_n>0\) 验证了 \(q\) 必须是电荷大小而不是电子带符号的电荷。若寿命增为四倍，\(L_n\) 只增为两倍，符合平方根标度；若载流子简并或高场使迁移率不再近平衡，经典 Einstein 关系需修正。

Worked Example 4

已知与任务： 一个短光脉冲在均匀 n 型样品中产生少数空穴过剩浓度 \(\Delta p_0=1.00\times10^{20}\,\mathrm{m^{-3}}\)。脉冲结束后寿命 \(\tau_p=2.00\,\mu\mathrm s\)；求 \(t=4.00\,\mu\mathrm s\) 时的 \(\Delta p\)。
研究对象与系统边界： 系统取样品内部远离表面的均匀激发体积；\(t>0\) 时产生率为零，没有载流子通过边界净流出，晶格温度保持不变。
参考系与正方向： 时间从光脉冲结束时起向前为正；过剩浓度定义为 \(\Delta p=p-p_0\)，初值为正。空间方向因均匀假设而不进入方程。
模型与理由： 采用低注入一阶复合 \(R-R_0=\Delta p/\tau_p\)。题目给定常数寿命且忽略扩散边界，故连续方程退化为单一时间常微分方程。
方程与计算： \(d\Delta p/dt=-\Delta p/\tau_p\) 的解为 \(\Delta p(t)=\Delta p_0e^{-t/\tau_p}\)。时间比为 \((4.00\,\mu\mathrm s)/(2.00\,\mu\mathrm s)=2.00\)，因此 \(\Delta p=(1.00\times10^{20})e^{-2.00}=1.35\times10^{19}\,\mathrm{m^{-3}}\)。
单位与有效数字： 指数 \(t/\tau_p\) 无量纲，浓度保留 \(\mathrm{m^{-3}}\)；按输入三位有效数字报告。
量纲、极限与物理解释： \(t=0\) 时解返回 \(\Delta p_0\)，\(t\to\infty\) 时趋于零，并在一个寿命时等于初值的 \(e^{-1}\)，与图 10 一致。\(e^{-2}=0.135\) 表示两个寿命后仍有 13.5% 过剩载流子；强注入、Auger 复合或表面逸出会使衰减偏离单指数。

Lesson synthesis / 全课综合

半导体载流子问题可按“产生来源—统计约束—输运—复合”闭合。先判断电子与空穴来自本征热激发还是施主/受主电离；再联立带边占据、电中性与质量作用律求 \(n,p,E_F\)；若存在电场或浓度梯度，分别写漂移和扩散电流并仔细处理电子电荷符号；最后用连续方程及边界条件追踪产生和复合。浓度决定“有多少载流子”，迁移率与扩散系数决定“它们怎样移动”，寿命决定“非平衡载流子能存在多久”。这三类参数不能由单次电阻测量彼此替代。

Formula-and-decision table / 公式与决策表

Model boundaries / 模型边界

本课的 \(n,p\) 指体积浓度，默认局域热平衡和非简并统计；当 \(E_F\) 距带边只有数个 \(k_BT\) 时应改用 Fermi–Dirac 积分。完全电离只适合外延温区，冻结区要解杂质占据，高掺杂还会出现杂质带、带隙窄化和简并。\(\mathbf v=\mu\mathbf E\) 只适合低场，高场速度饱和、热载流子和各向异性谷结构会使迁移率依赖场与方向。漂移—扩散方程是连续介质近似，器件长度接近平均自由程时要改用 Boltzmann 或量子输运。单指数寿命要求均匀低注入和单一一阶复合；陷阱分布、辐射、Auger 与表面复合可能产生多时间尺度。结区空间电荷不满足局域电中性，将在下一课用 Poisson 方程处理。

Misconception clinic / 误区诊所

1. “n 型材料整体带负电”错误：自由电子的负电荷由固定的离化施主正电荷补偿，体材料近似电中性。
2. “一个施主在所有温度都给一个自由电子”错误：低温会冻结，高掺杂又会进入杂质带和简并区。
3. “掺杂提高多数载流子，也会提高平衡少数载流子”错误：热平衡非简并时 \(np=n_i^2\)，一方增加会压低另一方。
4. “电子漂移速度方向就是电子常规电流方向”错误：电子带负电，\(\mathbf v_n\) 与 \(\mathbf J_n\) 反向。
5. “电子扩散电流总从高浓度指向低浓度”错误：电子粒子通量如此，但常规电流因负电荷而反向。
6. “寿命是每个载流子恰好存活的固定时间”错误：\(\tau\) 是一阶统计衰减时间，经过一个寿命仍剩 \(e^{-1}\)。

Practice and retrieval / 练习与提取

1. [K01 推导] 为何本征平衡有 \(n=p\)？
2. [K01 温度] 升温为何强烈提高 \(n_i\)？
3. [K02 概念] n 型材料是否带负净电荷？
4. [K02 边界] 低温为何出现 freeze-out？
5. [K03 定量] \(n_i=10^{16}\,\mathrm{m^{-3}}\)、\(n=10^{22}\,\mathrm{m^{-3}}\)，求 \(p\)。
6. [K03 方程] 补偿掺杂用什么附加条件？
7. [K04 方向] 电子从高浓度向低浓度扩散时，常规电流方向如何？
8. [K04 定量] 300 K、\(\mu_n=0.10\,\mathrm{m^2/Vs}\)，求 \(D_n\)。
9. [K04 动力学] 经过三个寿命，过剩载流子剩多少？
10. [综合边界] 何时 \(np=n_i^2\) 不适用？

Exit ticket / 离堂检验

1. 选本课一个核心式，写出推导链、三个前提和一个反例。
2. 给一张未知材料/器件图，先标坐标、载流子和系统边界，再判断可用模型与最关键的下一项测量。

References and source notes / 参考资料与来源说明

以下直接来源于 2026-08-30 实际打开核验；正文重组表达，图示均依据方程原创。

1. OpenStax, University Physics Volume 3, 9.6 Semiconductors and Doping. https://openstax.org/books/university-physics-volume-3/pages/9-6-semiconductors-and-doping
2. MIT OpenCourseWare, 6.730 Physics for Solid-State Applications, Lecture 17B. https://ocw.mit.edu/courses/6-730-physics-for-solid-state-applications-spring-2003/resources/lecture_17b/
3. Ioffe Institute NSM Archive, Silicon band structure and carrier concentration. https://www.ioffe.ru/SVA/NSM/Semicond/Si/bandstr.html
4. Ioffe Institute NSM Archive, Electrical properties of Silicon. https://www.ioffe.ru/SVA/NSM/Semicond/Si/electric.html
5. MIT OpenCourseWare 6.012 Spring 2009, Lecture Notes (Lectures 2–3). https://ocw.mit.edu/courses/6-012-microelectronic-devices-and-circuits-spring-2009/pages/lecture-notes/

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复习与拓展

向前连接 Metals, Insulators, and Semiconductors；向后连接 Junctions and Diodes。未来可扩展 Boltzmann transport、Kubo formalism、Fermi integrals、Poisson–drift–diffusion numerical solution、heterostructures、quantum transport 与 reliability physics。