超流与玻色凝聚

Learning objectives / 学习目标

推导 ideal 3D Bose gas 的 \(T_c\) 与 condensate fraction；解释 two-fluid counterflow；计算 circulation quantum 与 vortex density；比较 phonon、roton 和 Bogoliubov dispersion；使用 Landau criterion 并说明真实 critical velocity 为何常更低。

Prerequisites / 先修知识

• Bose–Einstein distribution、chemical potential 与 density of states。
• Superconductivity 的 order-parameter phase 与 flux quantization。
• Fluid velocity、circulation、dispersion 与 group velocity。

Scope and conventions / 范围与约定

• 首先用 homogeneous ideal 3D Bose gas 建立 BEC；二维无限均匀 ideal gas 与 finite trapped gas 的结论不同。
• Superfluidity 是 dynamical response；BEC 是 one-body density matrix 的 macroscopic eigenvalue。相互作用体系中两者相关但不等价。
• Neutral condensate velocity \(\mathbf v_s=(\hbar/m)\nabla\theta\)；单量子 circulation \(h/m\)。配对流体需用 pair mass。
• Two-fluid model 是 coarse-grained hydrodynamics，不把每个原子永久贴上“normal”或“superfluid”标签。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

1. Bose–Einstein condensation / 玻色—爱因斯坦凝聚

Knowledge ID: P09-U06-L02-K01

凝聚相位在固定粒子数 state 中需谨慎表述；实验可通过 spontaneous symmetry breaking 或 number-conserving formalism 得到相同可观测关联。真正重要的是 off-diagonal long-range order 与相对相位可测，而不是赋予孤立系统一个绝对 phase。不同实验重复中的 global phase 可随机，却仍各自显示高对比干涉。

有限系统没有真正非解析相变，实验所说 \(T_c\) 由 condensate onset、heat-capacity feature 或 coherence length 判据定义。Trap 中 lowest mode 不是平面波，因此“零动量占据”语言必须改成 macroscopic trap-ground-mode occupancy。缓慢改变 interaction 可连接 weak gas 与 strongly correlated fluid，但 condensate depletion 会增大，理想公式只保留定性起点。

Critical phase-space density 可理解为 thermal de Broglie wavelength 与 interparticle spacing 同量级，但这只是尺度直觉。严格计算需对 excited-state density of states 积分并约束 particle number。Harmonic trap 的 density of states 不同，因而 condensate fraction 的 temperature exponent 也不同。相互作用还会移动 \(T_c\)、改变 cloud profile，并让 condensate mode 满足 Gross–Pitaevskii equation；所以使用 homogeneous ideal formula 时必须先说明 trap 与 interaction 均被忽略。

BEC 的判据是 one-body density matrix 出现随系统尺度增长的宏观 eigenvalue，而不只是动量分布中央有一个窄峰。Ideal homogeneous 3D gas 中，chemical potential 从下方趋近基态能量，excited states 的积分容量达到有限上限，剩余粒子进入最低 mode。二维无限均匀 ideal gas 的低能 density of states 使该积分发散，因此有限温度结论不同；有限 trap、相互作用或有限尺寸又可产生 crossover。相互作用导致 quantum depletion，即使零温也有少量非零动量占据。实验通常结合 bimodal time-of-flight profile、coherence interference 与 thermometry，不能把单一尖峰无条件等同于 equilibrium condensate。

当 excited states 能容纳的粒子数达到上限，额外 bosons macroscopically occupy lowest mode。Homogeneous ideal 3D gas 有

\[n\lambda_T^3=\zeta(3/2),\qquad T_c=\frac{2\pi\hbar^2}{mk_B}\left[\frac{n}{\zeta(3/2)}\right]^{2/3},\]

且 \(T<T_c\) 时 \(N_0/N=1-(T/T_c)^{3/2}\)。这不是“所有粒子静止”：finite-temperature depletion 与 interactions 均可占据非零动量态。

图 1 是 ideal condensate fraction；液态 helium 不服从此简单幂律。

图 2 把 macroscopic occupation 与 ordinary excited occupations 区分。

2. Superfluid fraction and two-fluid model / 超流组分与二流体模型

Knowledge ID: P09-U06-L02-K02

两组分速度还依赖参考系：质量流为零的 frame、容器 frame 与 normal-component frame 不一定相同。定义 superfluid density 时必须说明施加的是 phase twist、wall motion 还是 rotation。相同 symbols 在不同实验 protocol 下若未统一，会让 fraction comparison 产生伪矛盾。

静止容器中 \(\mathbf v_s\) 与 \(\mathbf v_n\) 都可为零，但两种 density 仍由线性响应定义。慢慢旋转容器时 normal component 跟随 walls，vortex-free superfluid 起初不作 rigid rotation，由此产生 nonclassical rotational inertia。超过 nucleation threshold 后 vortices 进入，angular momentum 才以离散方式增加。

Two-fluid equations 还包含 momentum、entropy 与 chemical-potential conservation；仅写质量流不足以预测 sound speeds。Counterflow 若过强会激发 vortices 并产生 mutual friction，使两组分耦合。Normal density 在低温可由 excitation spectrum 计算：phonons 与 rotons 的贡献具有不同温度依赖，因此测得的 superfluid fraction 也能反向检验 low-energy spectrum。

Superfluid density 可通过容器旋转的 nonclassical rotational inertia、second-sound propagation 或 phase twist response 测量。Condensate fraction 则来自 one-body coherence；两种实验耦合不同 observable。Ideal noninteracting Bose gas 有 macroscopic occupation，却因 excitation spectrum quadratic 而给出零 Landau critical velocity，这正说明 BEC alone 不保证 robust superflow。Interactions 同时建立 sound mode 与 phase stiffness，才把 coherence 转化为 dynamical stability。

Two-fluid model 是长波长、低频的 coarse-grained response theory。Normal density 表示 excitations 对容器运动的惯性与 entropy transport，superfluid density 表示 phase-stiff component 对 twist 或 rotation 的响应；它们不是两种永久原子。第一声主要是总 density/pressure 波，第二声主要是两组分反向运动形成的 entropy/temperature 波。因 interactions 与 excitations 的贡献，superfluid fraction 不必等于 condensate fraction，液态 helium 尤其明显。边界处 normal component 常受黏性钉住，而 superfluid 可滑移；但 vortex motion、mutual friction 与 finite-frequency relaxation 会让简单无耗散图景失效。

Two-fluid hydrodynamics 写 mass current

\[\mathbf j=\rho_s\mathbf v_s+\rho_n\mathbf v_n, \qquad \rho=\rho_s+\rho_n.\]

Normal component 携带 entropy 并与容器 walls 黏性耦合；superfluid component 是 irrotational coherent flow（vortex cores 除外）。Second sound 是 entropy/temperature wave，常表现为两组分 counterflow。\(\rho_s/\rho\) 是 response quantity，不必等于 condensate fraction。

图 3 的箭头是 mass-current contributions，不是两种永久原子 species。

图 4 只表示互补 response fractions，不主张 helium 的精确函数形状。

3. Quantized circulation and vortices / 环流量子化与涡旋

Knowledge ID: P09-U06-L02-K03

相位绕行与 density depletion 是同一缺陷的两个侧面：若 amplitude 不下降，\(v\propto1/r\) 会让 core kinetic energy 发散；healing length 给出 amplitude 恢复尺度。流体可在环形 trap 中形成 persistent winding states，不同整数间的转换需要 phase slip。Barrier 降低局部 density，因而成为 phase slip 最容易发生的位置。

单值性要求环路不能穿过 amplitude 为零的 core；若路径跨 core，phase 本身未定义，circulation proof 不适用。Vortex line 可以弯曲并支持 Kelvin waves，多个 vortices 还会 reconnect，形成 quantum turbulence。尽管流场在微观上由离散 defects 组成，大尺度平均仍可表现类似经典 vorticity，这说明量子化约束与连续流体描述可在不同尺度并存。

Circulation sign 由 phase winding orientation 决定，整数正负对应相反旋向。Multiply quantized vortex 的 kinetic energy 常近似随 winding squared 增长，因此倾向分裂成多个 singly quantized vortices。Inhomogeneous trapped condensate 中 density 向边缘下降，vortex energy 与 precession 也随位置变化。二维系统的 vortex–antivortex unbinding 还能驱动 BKT transition，显示 topology 可在没有 ordinary long-range order 的条件下控制 superfluid response。

Phase-defined velocity 在没有 singularity 的 simply connected region 中是 irrotational；要让容器中的 superfluid 获得 angular momentum，order parameter 必须在 cores 处降到零并允许 phase winding。Circulation 的 integer 来自绕闭合路径后 wavefunction 回到同一值。单量子 vortex 远处速度约随 \(1/r\)，kinetic energy 对 system size 呈 logarithmic dependence；core 尺度由 healing length 控制。旋转产生许多同号 vortices 后，coarse-grained vorticity 模拟 rigid-body rotation，但每个小回路仍看见离散 circulation。Vortex nucleation 需要越过能垒，所以 observed onset 同时依赖 roughness、stirrer geometry 与 history。

若 order parameter phase 绕闭合路径改变 \(2\pi\ell\)，

\[\oint\mathbf v_s\cdot d\boldsymbol\ell=\frac{\hbar}{m}\oint\nabla\theta\cdot d\boldsymbol\ell =\ell\frac{h}{m}.\]

Vortex center 处 amplitude 必须下降，使 phase singularity 不产生无限能量。旋转容器中 coarse-grained vortex areal density 近似 \(n_v=2\Omega/\kappa_c\)。边界、inhomogeneous density 与 multiply charged instability 会修正几何。

图 5 显示 velocity circulation；远离 core 有 \(v\propto1/r\)。

图 6 说明 superfluid 通过 vortex array coarse-grain 地模拟 rigid-body rotation。

4. Collective excitations / 集体激发

Knowledge ID: P09-U06-L02-K04

在 trapped gas 中 translational invariance 被破坏，momentum 不再是严格量子数，collective modes 常按 monopole、dipole、quadrupole 等空间对称性分类。Dipole center-of-mass mode 在 harmonic trap 中具有特殊保护，而 breathing mode 对 equation of state 敏感，因此两者可分别检验 trap calibration 与 interaction physics。

集体谱还满足 sum rules，把 integrated spectral weight 与 density、compressibility 等静态量联系起来。只拟合 peak position 而忽略 weight 可能得到看似正确却不守恒的模型。完整验证应同时检查低波数 sound speed、static structure factor 和 thermodynamic compressibility 的一致性。

低能 phonons 还决定低温 thermodynamics：三维线性色散给特定 density of states 与 \(T^3\) heat capacity。Roton population 在低温近似 activated，因而对 normal density 和 heat transport 有截然不同的温度依赖。把 spectrum、specific heat 与 second sound 联合分析，可检验同一 quasiparticle picture 是否自洽。

Collective mode 的 particle-like 与 wave-like 性质随 momentum 连续变化，不能把整条 branch 贴成单一粒子类别。Bogoliubov amplitudes 还决定 density probe 的 matrix element，所以有 mode 并不保证某实验强烈看见它。若体系有 spin、多个 components 或 optical lattice，还会出现 spin waves、multiple sound branches 或 band-folded modes，单组分公式必须扩展。

Bogoliubov transformation 把 particle 与 hole amplitudes 混合，说明低能 mode 不是简单自由原子。Static structure factor 在低 momentum 被 interactions 压低，与 linear sound spectrum 相容。Bragg spectroscopy 可通过 energy–momentum transfer map 出 dispersion，time-of-flight density ripple 则提供另一观察窗口。Helium roton 的 microscopic interpretation 与 strong correlations 有关，不能把它画成真实旋转的小粒子；名称描述 spectrum minimum 而非独立 classical object。

Collective excitations 是 density 与 phase 的 coupled normal modes。Weakly interacting Bose gas 中，free-particle quadratic spectrum 在低 momentum 被 interaction 转化为 linear phonon branch；这提供有限 sound speed 和 phase stiffness。高 momentum 时 mode 重新呈 particle-like。液态 helium 的强 correlation 产生 phonon–maxon–roton structure，不能用 dilute-gas Bogoliubov formula 定量套用。Spectrum 的 slope 给 group velocity，峰宽给 lifetime，dynamic structure factor 决定 neutron 或 Bragg probe 的强度。Finite temperature 下 excitations 互相散射，并构成 two-fluid model 的 normal component。

Weakly interacting Bose gas 的 Bogoliubov spectrum

\[\epsilon(p)=\sqrt{\left(\frac{p^2}{2m}\right)^2+c^2p^2}\]

在低 \(p\) 为 phonon-like \(cp\)，高 \(p\) 回到 particle-like。Superfluid helium 的 spectrum 还出现 roton minimum。Collective excitation 是 density/phase field 的 normal mode，而非某个标记原子独自振动。

图 7 显示 interaction 把低动量 quadratic dispersion 改成线性 sound branch。

图 8 是 helium-like phonon–maxon–roton curve，不用于 dilute ideal gas。

5. Landau criterion / 朗道判据

Knowledge ID: P09-U06-L02-K05

若物体速度低于 spectrum bound，仍可能因已有 thermal excitations 的 scattering 产生极小 drag；严格无耗散通常是零温或特定几何的理想极限。另一方面，有限观测时间可能看不到稀有 nucleation event，给出表观更高 threshold。因此 critical velocity 应附带时间窗和概率判据，不能只报一个无条件常数。

Landau construction 假设稳态、均匀且可把总动量交给一个 elementary excitation。有限温度已有 excitations，可发生 scattering 并产生 normal drag；非稳态 acceleration 也可能直接 nucleate defects。因而实验临界速度是 spectrum、barrier、temperature 与 observation time 的联合结果。报告时应把理论 Landau bound 与实际 onset 分列，而不是用较低实测值宣称 criterion 被否定。

几何上 \(\epsilon(p)/p\) 是从原点连到 spectrum 点的割线斜率，最小值可能出现在 \(p\to0\) phonon branch，也可能落在 finite-\(p\) roton 附近。若 spectrum 在低 \(p\) 为 \(p^2/(2m)\)，ratio 随 \(p\to0\) 趋零，Landau criterion 给零临界速度。实验中的 obstacle size 决定它更容易耦合 phonons 还是 vortices；因此同一流体使用微小 impurity、宽通道或 optical barrier 可测到不同 onset。

Landau argument 在障碍物参考系比较创建 excitation 前后的能量与动量。若所有 \(p>0\) 都有 \(\epsilon(p)-vp>0\)，单个 excitation 的产生在能量上被禁止；最先达到零的 mode 决定 spectrum-based bound。Linear phonons 给 sound speed，roton minimum 可能给更低 ratio。该 criterion 没有计算 vortex nucleation barrier、surface modes 或 weak-link phase slips，所以 measured critical velocity 常显著更小，也依赖 channel size。它是“能否通过 elementary excitations 耗散”的必要检查，不是装置无耗散的充分保证；比较数据时必须声明相对速度、geometry 和 detection threshold。

流体以速度 \(\mathbf v\) 相对障碍运动。在障碍物参考系，创建动量 \(\mathbf p\) excitation 的能量变化为 \(\epsilon(p)-\mathbf v\cdot\mathbf p\)；最不利方向是 \(\mathbf p\parallel\mathbf v\)，于是化为 \(\epsilon(p)-vp\)。若它可变负，则产生耗散。故

\[v_c=\min_{p>0}\frac{\epsilon(p)}{p}.\]

线性 phonon branch 给 \(v_c=c\)；roton minimum 可给更小值。真实 apparatus 常因 vortex nucleation、surface roughness、finite temperature 或 weak links 在 Landau bound 以下失稳。

图 9 用从原点的最小切线斜率读取 \(v_c\)；构图在红点满足 \(p\epsilon'(p)=\epsilon(p)\)，因此红线既经过原点又与谱线相切。它不是 \(d\epsilon/dp\) 的任意局部最小。

图 10 强调 Landau criterion 是必要的 excitation bound，不保证实际装置达到。

Worked Examples / 完整例题

Worked Example 1 — Ideal-gas \(T_c\)

完整建模协议： 下文把研究对象与系统边界限定在题目声明的样品或理想化子系统；参考系采用实验室静止系，并明确坐标正方向与所有矢量符号。模型选择必须由给定尺度和近似条件支持，不能只因公式方便。计算先写符号方程，再代入 SI 数值并保留适当有效数字；中间量与最终量均检查单位。求得结果后还要核对正负号、方向、量纲、极限情形和数量级，并解释它对应的可观测物理含义。若参数越出线性响应、长波长、弱场、高温或均匀介质等条件，则本例结论只能作为估算，必须换用更完整模型。

已知： \(^{87}\)Rb mass \(m=1.44\times10^{-25}\ \mathrm{kg}\)，\(n=1.0\times10^{20}\ \mathrm{m^{-3}}\)。系统： uniform, noninteracting 3D gas。参考系： box rest frame。

\[T_c=\frac{2\pi\hbar^2}{mk_B}\left[\frac{n}{2.612}\right]^{2/3}=3.98\times10^{-7}\ \mathrm K.\]

检查： sub-microkelvin scale reasonable；trap changes coefficient。解释： interaction shifts and finite-size corrections omitted。

Worked Example 2 — Condensate fraction

完整建模协议： 下文把研究对象与系统边界限定在题目声明的样品或理想化子系统；参考系采用实验室静止系，并明确坐标正方向与所有矢量符号。模型选择必须由给定尺度和近似条件支持，不能只因公式方便。计算先写符号方程，再代入 SI 数值并保留适当有效数字；中间量与最终量均检查单位。求得结果后还要核对正负号、方向、量纲、极限情形和数量级，并解释它对应的可观测物理含义。若参数越出线性响应、长波长、弱场、高温或均匀介质等条件，则本例结论只能作为估算，必须换用更完整模型。

已知： \(T=0.50T_c\)。模型： ideal homogeneous 3D gas。

\[\frac{N_0}{N}=1-(0.50)^{3/2}=0.646.\]

检查： lies in \([0,1]\) and tends to 1 at zero temperature。解释： this need not equal superfluid fraction。

Worked Example 3 — Circulation and vortex density

完整建模协议： 下文把研究对象与系统边界限定在题目声明的样品或理想化子系统；参考系采用实验室静止系，并明确坐标正方向与所有矢量符号。模型选择必须由给定尺度和近似条件支持，不能只因公式方便。计算先写符号方程，再代入 SI 数值并保留适当有效数字；中间量与最终量均检查单位。求得结果后还要核对正负号、方向、量纲、极限情形和数量级，并解释它对应的可观测物理含义。若参数越出线性响应、长波长、弱场、高温或均匀介质等条件，则本例结论只能作为估算，必须换用更完整模型。

已知： \(^{4}\)He atom mass \(m=6.64\times10^{-27}\ \mathrm{kg}\)，rotation \(\Omega=2.0\ \mathrm{s^{-1}}\)。系统： large neutral superfluid, singly quantized straight vortices。

\[\kappa_c=h/m=9.98\times10^{-8}\ \mathrm{m^2s^{-1}},\qquad n_v=2\Omega/\kappa_c=4.01\times10^7\ \mathrm{m^{-2}}.\]

检查： areal density units correct。解释： boundaries distort lattice near walls。

Worked Example 4 — Landau critical velocity

完整建模协议： 下文把研究对象与系统边界限定在题目声明的样品或理想化子系统；参考系采用实验室静止系，并明确坐标正方向与所有矢量符号。模型选择必须由给定尺度和近似条件支持，不能只因公式方便。计算先写符号方程，再代入 SI 数值并保留适当有效数字；中间量与最终量均检查单位。求得结果后还要核对正负号、方向、量纲、极限情形和数量级，并解释它对应的可观测物理含义。若参数越出线性响应、长波长、弱场、高温或均匀介质等条件，则本例结论只能作为估算，必须换用更完整模型。

已知： phonon speed \(c=240\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)；roton minimum \(\Delta_r=1.2\times10^{-22}\ \mathrm J\) at \(p_r=2.0\times10^{-24}\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\)。参考： obstacle frame。模型： compare dominant branches。

\[\frac{\Delta_r}{p_r}=60\ \mathrm{m\,s^{-1}},\qquad v_c=\min(240,60)=60\ \mathrm{m\,s^{-1}}.\]

检查： energy/momentum has velocity units。解释： measured value can be lower through vortex nucleation。

Lesson synthesis / 全课综合

BEC 描述 macroscopic occupation/long-range coherence；superfluid fraction 描述对 boost/rotation 的响应；quantized vortices 是 phase topology；collective spectrum 决定哪些 excitations 可被运动创建；Landau criterion 把 spectrum 转为 dissipation threshold。五者相连但不能互作定义。

Formula-and-decision table / 公式与决策表

Model boundaries / 模型边界

• BEC and superfluidity are not logically identical.
• Ideal gas has BEC but lacks the interaction-generated linear sound spectrum needed for robust Landau superfluidity.
• Two-fluid variables are hydrodynamic densities, not immutable particle labels.
• Quantized circulation applies outside cores where phase is defined.
• Landau criterion ignores boundaries, defects and nucleation barriers.

Misconception clinic / 误区诊所

1. BEC does not mean every atom has exactly zero momentum.
2. Condensate fraction need not equal superfluid fraction.
3. Superfluid is locally irrotational except at quantized vortex cores; it can still carry macroscopic angular momentum.
4. Second sound is mainly entropy/temperature counterflow, not ordinary density sound.
5. Critical velocity is not always sound speed; spectrum minima and vortices matter.

Practice and retrieval / 练习与提取

1. [K01] State the ideal 3D condensation condition.
2. [K01] At \(T=0.8T_c\), find \(N_0/N\).
3. [K02] Which component carries entropy in two-fluid model?
4. [K02] Why are \(\rho_s\) and \(\rho_n\) not two chemical species?
5. [K03] Find circulation quantum for mass \(m\).
6. [K03] If \(\Omega\) triples, vortex density changes how?
7. [K04] Give low-\(p\) form of Bogoliubov spectrum.
8. [K04] What physical feature is a roton minimum?
9. [K05] For \(\epsilon=cp\), evaluate Landau \(v_c\).
10. [K05] Name two mechanisms lowering observed \(v_c\) below Landau bound.

Exit ticket / 离堂检验

1. 写出“BEC 不等于 superfluidity”的两条具体物理证据。
2. 从一条给定 \(\epsilon(p)\) 曲线画出 Landau construction 并指出潜在 vortex limitation。

References and source notes / 参考资料与来源说明

以下来源的链接与主题于 2026-08-30 核验；MIT、UT 资源直接打开，LSU 页面通过官方索引复核：

1. University of Texas Physics, Bose–Einstein Condensation and Superfluidity. https://web2.ph.utexas.edu/~vadim/Classes/2019f/BEC.pdf
2. MIT 8.333, Superfluid Helium. https://web.mit.edu/8.333/www/lectures/superfluidity/SuperfluidiHe.html
3. MIT 8.514, Many-body phenomena: Bose condensation and superfluidity lecture materials. https://www.mit.edu/~levitov/8514/
4. LSU Physics 420, Statistical Physics II notes index: BEC and Gross–Pitaevskii superfluidity. https://sauls.lsu.edu/teaching/420/2020/spring/notes.html
5. MIT OCW 8.08, The Bose Gas. https://ocw.mit.edu/courses/8-08-statistical-physics-ii-spring-2005/resources/the_bose_gas/

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复习与拓展

• 与 Superconductivity 对照 charged/neutral order parameter、flux/circulation quantization。
• 下一课 Defects and Mechanical Properties（planned）转向晶格缺陷；vortex 则是 order-parameter field 的 topological defect。
• 可扩展：Gross–Pitaevskii equation、healing length、second sound、BKT transition、fermionic superfluids。