Problem Solving Lesson 将牛顿定律、接触力、摩擦、斜面与多物体连接起来。可以先回顾 Lesson 01：牛顿定律、Lesson 02：不同类型的力 和 Lesson 03：受力分析问题的求解。先圈定研究对象，画真实受力，再选择坐标轴和起始式。下面新例题均使用地面惯性参考系 inertial frame；未另说明时取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)。
1. 受力图先回答“谁对谁施力”
自由体图 free-body diagram 只画外部物体对研究对象的真实作用。书放在桌面上，书受到地球的重力 weight 和桌面的支持力 normal force。书对桌面的压力、书对地球的引力都作用在别的物体上，不画在书的图中。
支持力垂直接触面、指向远离表面的一侧；摩擦力 friction 沿接触面。两者可以是同一接触相互作用的法向与切向分量，不表示一定有两个不同的施力对象。绳拉力来自与物体接触的绳，弹簧力来自弹簧。重力无需接触。
物体向右运动，不需要额外画一个“运动的力”；短暂推力已经结束，就不能在后续受力图上继续保留它。惯性 inertia 描述物体抵抗速度变化的性质，在惯性参考系的受力图中不另添“惯性力”。
例题：静止的书。 书重 \(15\,\mathrm N\)，静置在水平桌面，没有其他外力。对书画图：重力向下、支持力向上。书静止，竖直合力为零，所以 \(N=15\,\mathrm N\)。这两根箭头等大，是书的平衡条件；判断它们是不是第三定律伙伴，还要检查相互作用的物体。
2. 净力决定加速度，速度另外判断
牛顿第二定律 Newton's second law 为
\[\sum\vec F_{\mathrm{external}}=m\vec a.\]
一维题先选正方向；二维题分别写 \(\sum F_x=ma_x\)、\(\sum F_y=ma_y\)。质量是所选物体的惯性质量，不把其他物体的质量随意加进来。已知净力求 \(a\)，或已知 \(a\) 反求净力，都要使用同一研究对象。
例题：左行物体受右向净力。 质量 \(2\,\mathrm{kg}\) 的物体受到 \(18\,\mathrm N\) 向右和 \(6\,\mathrm N\) 向左的水平力，其他方向平衡。向右为正：
\[F_{\mathrm{net},x}=18-6=12\,\mathrm N,\qquad a_x=\frac{12}{2}=+6\,\mathrm{m/s^2}.\]
如果此刻 \(v_x=-5\,\mathrm{m/s}\)，物体仍朝左，但正在减小速率。力与加速度同向，不要求与速度同向。继续作用多久、后来是否换向，要回到运动学方程和有效时间区间。
静止或在惯性参考系中保持速度矢量恒定，才有 \(\vec a=0\)、\(\sum\vec F=0\)；它们不要求每个力都是零。瞬时速度为零也不能单独推出零加速度，例如上抛球最高点仍受重力。
3. 第三定律交换的是施力对象与受力对象
牛顿第三定律 Newton's third law 的伙伴写成
\[\vec F_{A\to B}=-\vec F_{B\to A}.\]
两力来自同一对物体的直接相互作用，作用在不同物体上，任何时刻等大反向。质量不同、加速度不同或运动方向不同都不破坏这个关系。
书受到的重力是“地球对书”，其伙伴是“书对地球的引力”；桌面对书的支持力，其伙伴是“书对桌面的接触力”。支持力与重力都作用在书上，因此彼此不是第三定律伙伴，即使静止时大小相等。
只研究 \(A\)，它受到的 \(B\to A\) 外力不能被画在 \(B\) 上的伙伴抵消。把 \(A+B\) 都纳入系统后，这组内部相互作用才在整体外力求和中消去。选系统 system 的边界，要与所写方程一致。
4. 支持力由法向方程求出，不自动等于重量
重量为 \(W=mg\)，单位是牛顿；质量单位是千克。当地 \(g\) 不同，同一质量的重量也不同。支持力则由接触条件和其他外力决定。
例题：斜向上拉正在滑动的箱子。 箱子质量 \(6\,\mathrm{kg}\)，在水平地板上向右滑动。拉力 \(30\,\mathrm N\)，与水平夹角满足 \(\cos\theta=0.8\)、\(\sin\theta=0.6\)，动摩擦系数 \(0.25\)。接触始终保持，竖直加速度为零。
先投影拉力：
\[F_x=30(0.8)=24\,\mathrm N,\qquad F_y=30(0.6)=18\,\mathrm N.\]
竖直平衡给
\[N+18-60=0\Rightarrow N=42\,\mathrm N.\]
再用实际支持力求摩擦，而后求水平加速度：
\[f_k=0.25(42)=10.5\,\mathrm N,\qquad a_x=\frac{24-10.5}{6}=2.25\,\mathrm{m/s^2}.\]
如果改为斜向下推，向下分量会增加 \(N\)。若物体上叠着另一个物体，还要计入上层传来的接触压力；下层自身的重量并没有因此增加。
角度标在竖直轴旁时，水平投影应为 \(F\sin\alpha\)，竖直为 \(F\cos\alpha\)。先认角的基准，再选邻边与对边。
若法向方程算得 \(N<0\)，不能把负号去掉继续算摩擦；只能推不能拉的表面已无法维持所假设的接触。
5. 静摩擦先求需求，动摩擦使用当前支持力
静摩擦 static friction 阻止接触处的相对滑动趋势，不一定反向于物体相对地面的整体运动。跑步者蹬地时，地面对脚的静摩擦可以向前。已经相对表面滑动时，动摩擦 kinetic friction 反向于这个相对滑动速度。
静止状态下，先求维持平衡所需的摩擦，再检查容量：
\[|f_{s,\mathrm{required}}|\le f_{s,\max}=\mu_sN.\]
小于上限时，实际静摩擦等于需求，并不自动等于 \(\mu_sN\)。等号是临界状态，仍可尚未滑动。需求超过上限，则原静止模型不能维持。
例题：先小拉，再增大拉力。 质量 \(3\,\mathrm{kg}\) 的箱子原在水平面静止，\(\mu_s=0.60\)、\(\mu_k=0.40\)，水平拉力先为 \(9\,\mathrm N\)，后来增为 \(24\,\mathrm N\)。
两次均 \(N=30\,\mathrm N\)，最大静摩擦 \(18\,\mathrm N\)。第一次需求只有 \(9\,\mathrm N\)，箱子可静止，实际摩擦为 \(9\,\mathrm N\) 反向。第二次 \(24>18\)，箱子开始向右滑；滑动后
\[f_k=0.40(30)=12\,\mathrm N,\qquad a_x=\frac{24-12}{3}=4\,\mathrm{m/s^2}.\]
第一次的实际静摩擦 \(9\,\mathrm N\) 小于后来动摩擦 \(12\,\mathrm N\)。即使题给 \(\mu_s>\mu_k\)，也不能把“最大静摩擦较大”改说成“每次实际静摩擦都较大”。
在题给固定 \(\mu_k\) 与固定 \(N\) 的简化模型中，\(f_k=\mu_kN\) 不直接取决于接触面积或滑动速率。若拉力角度或载荷改变了 \(N\)，摩擦仍会改变。
6. 斜面沿面与法向分开，速度不替代加速度符号
斜面与水平夹角为 \(\theta\) 时，重力沿下坡为 \(mg\sin\theta\)，朝斜面内为 \(mg\cos\theta\)。两者是同一个重力的分量，不能在计算合力时再加一次完整重力。
例题：下滑的粗糙斜面。 质量 \(5\,\mathrm{kg}\) 的块在约 \(37^\circ\) 直斜面上向下滑。取 \(\sin\theta=0.6\)、\(\cos\theta=0.8\)，\(\mu_k=0.25\)，没有其他外力且保持接触。
法向没有加速度，先求
\[N=50(0.8)=40\,\mathrm N,\qquad f_k=0.25(40)=10\,\mathrm N.\]
以下坡为正，重力切向 \(30\,\mathrm N\) 为正、摩擦为负：
\[a_{\mathrm{down}}=\frac{30-10}{5}=4\,\mathrm{m/s^2}.\]
若给的是同坡下滑加速度，可以反求
\[\mu_k=\frac{g\sin\theta-a_{\mathrm{down}}}{g\cos\theta}.\]
这里 \(a_{\mathrm{down}}\) 要带符号；下滑但减速时它为负。只说物体正在下滑，不能替题目补上加速度方向。
再看上滑到首次停止。 块以 \(9\,\mathrm{m/s}\) 沿 \(30^\circ\) 坡向上滑，\(\mu_k=0.20\)，没有持续推力。上坡为正，摩擦和重力切向都向下坡：
\[a_{\mathrm{up}}=-g\sin30^\circ-\mu_kg\cos30^\circ =-(5+\sqrt3)\,\mathrm{m/s^2}.\]
到首次停止前该模型成立：
\[t_{\mathrm{stop}}=\frac{9}{5+\sqrt3}\,\mathrm s\approx1.34\,\mathrm s.\]
停止后能否静止，要重新检查静摩擦上限；若后来下滑，动摩擦方向随相对滑动反转。不能把上滑段的方程无限延续。
7. 整体求共同加速度，局部切口求连接力
同方向一起加速的多个物体，若先求共同加速度，可选整体，使内部直接相互作用在求和中消去；要找内部连接或接触力，再切出一个子系统 subsystem。
例题：光滑水平面上推两块。 \(A\) 为 \(4\,\mathrm{kg}\)，\(B\) 为 \(2\,\mathrm{kg}\)，\(A\) 推着 \(B\) 一起向右加速，外推力 \(18\,\mathrm N\) 只作用在 \(A\) 上。
整体总质量 \(6\,\mathrm{kg}\)，所以
\[a=\frac{18}{4+2}=3\,\mathrm{m/s^2}.\]
单独取 \(B\)，水平方向只有 \(A\) 对它的接触力：
\[F_{A\to B}=2(3)=6\,\mathrm N\quad\text{向右}.\]
\(B\) 对 \(A\) 的伙伴为 \(6\,\mathrm N\) 向左，所以 \(A\) 的水平净力是 \(18-6=12\,\mathrm N=4a\)。外推力 \(18\,\mathrm N\) 与内部接触力 \(6\,\mathrm N\) 不相等；第三定律比较的是接触相互作用的两个伙伴。
如果子系统还有反向阻力 \(f_{\mathrm{sub}}\)，应写 \(T-f_{\mathrm{sub}}=M_{\mathrm{sub}}a\)。附着物从一侧移到另一侧时，重新数切口后被加速的质量；总质量与整体加速度不变，也不保证每个内部连接力不变。
8. 滑轮先按各自路径联立，不能把悬挂重量当张力
下面模型要求水平面无摩擦，绳绷紧、不可伸长且质量可忽略，滑轮固定，轴摩擦与转动惯量可忽略。水平车与悬挂块共用的是沿各自路径的加速度大小；车向右与块向下的加速度矢量并不相同。
例题：七千克车由三千克悬挂块牵引。 车质量 \(M=7\,\mathrm{kg}\)，悬挂块 \(m=3\,\mathrm{kg}\)。车向右、悬挂块向下分别为路径正方向：
\[T=7a,\qquad 30-T=3a.\]
相加消去未知张力：
\[a=\frac{30}{10}=3\,\mathrm{m/s^2},\qquad T=7(3)=21\,\mathrm N.\]
悬挂重量 \(30\,\mathrm N\) 中有一部分用于加速悬挂块本身，所以 \(T<mg\)。不能先设 \(T=mg\)，再拿它全部加速车。
两质量同时增大相同比例，\(a=mg/(M+m)\) 的比例不变，张力 \(T=Ma\) 随比例增大。只改其中一个质量则重新代入，不套“加速度不变”。
若用手在理想绳端规定施力 \(F_0\)，张力可直接由该边界力设定。将它换成重量同为 \(F_0\) 的加速悬挂体，张力通常不再等于 \(F_0\)。
9. 电梯读数取决于加速度，方向由正轴统一
对竖直随电梯运动的被支撑物体，若只受向上支持力 \(N\) 和向下重力，以向上为正：
\[N-mg=ma_y,\qquad N=m(g+a_y).\]
例题：七千克物体的三种读数。 物体保持接触，向上加速度 \(2\,\mathrm{m/s^2}\)、匀速、向下加速度 \(2\,\mathrm{m/s^2}\) 时，分别有
\[N_{\mathrm{up}}=7(10+2)=84\,\mathrm N,\quad N_0=70\,\mathrm N,\quad N_{\mathrm{down}}=7(10-2)=56\,\mathrm N.\]
物体可以正向下运动却向上加速，此时是在下行减速，读数仍为 \(84\,\mathrm N\)。读数大于重量只确定 \(a_y>0\)，不能单独确定速度向上。
反求加速度时用 \(a_y=N/m-g\)。支持力在 \(a_y=-g\) 的自由落体边界降为零；若求得负支持力，保持接触模型不成立。
对竖直绳上的切口，另取切口以下的全部质量 \(M_{\mathrm{below}}\)。只有上端张力与重力时，
\[T=M_{\mathrm{below}}(g+a_y).\]
不要把切口上方的质量也加入。绳最大张力为 \(T_{\max}\)、只拉一个载荷时，允许的最大上升加速度为 \(T_{\max}/m-g\)；断裂阈值不是净力阈值。
10. 自主练习先画对象与轴，再展开核对
练习 1：净力与当前运动。 质量 \(2\,\mathrm{kg}\)，水平力为 \(11\,\mathrm N\) 向右和 \(3\,\mathrm N\) 向左；竖直力分别为 \(17\,\mathrm N\) 向上、\(3\,\mathrm N\) 向上、\(20\,\mathrm N\) 向下。此刻物体向左运动。求加速度，并判断此刻速率变化。
展开练习 1 解析
右上为正：\(F_x=11-3=8\,\mathrm N\)，\(F_y=17+3-20=0\)，所以 \(\vec a=(4,0)\,\mathrm{m/s^2}\)。此刻速度向左、加速度向右，速率减小；不要把向右净力当作向右速度。
练习 2：实际摩擦与启动。 质量 \(4\,\mathrm{kg}\) 的块原在水平面静止，\(\mu_s=0.5\)、\(\mu_k=0.3\)。水平右拉力先为 \(12\,\mathrm N\)，再改为 \(26\,\mathrm N\)。分别求实际摩擦与加速度。
展开练习 2 解析
\(N=40\,\mathrm N\)，最大静摩擦 \(20\,\mathrm N\)。先以 \(12\,\mathrm N\) 静摩擦向左平衡，\(a=0\)。改成 \(26\,\mathrm N\) 后超出阈值，启动并向右滑动；动摩擦为 \(0.3(40)=12\,\mathrm N\)，\(a=(26-12)/4=3.5\,\mathrm{m/s^2}\) 向右。
练习 3：斜拉的支持力。 质量 \(8\,\mathrm{kg}\) 的块已向右滑动；上斜拉力 \(40\,\mathrm N\)，与水平角满足 \(\cos\theta=0.8\)、\(\sin\theta=0.6\)，\(\mu_k=0.25\)。保持接触且竖直加速度零，求 \(N\)、\(f_k\)、\(a_x\)。
展开练习 3 解析
向上拉力分量为 \(24\,\mathrm N\)，所以 \(N=80-24=56\,\mathrm N\)。动摩擦 \(14\,\mathrm N\) 向左，水平拉力 \(32\,\mathrm N\) 向右，因此 \(a_x=(32-14)/8=2.25\,\mathrm{m/s^2}\)。
练习 4：下滑时反求系数。 块在斜面上向下滑，\(\sin\theta=0.6\)、\(\cos\theta=0.8\)，仅受重力与斜面接触。已知加速度向下坡 \(3\,\mathrm{m/s^2}\)，求 \(\mu_k\)。若只给“向下滑”，能不能直接补出这个加速度方向？
展开练习 4 解析
以下坡为正，\(a=10(0.6)-\mu_k10(0.8)=3\)，所以 \(\mu_k=(6-3)/8=0.375\)。下滑描述速度方向；物体可以下滑减速，不能只由速度补上加速度方向。
练习 5：理想桌面与悬挂。 无摩擦水平车质量 \(8\,\mathrm{kg}\)，悬挂块 \(2\,\mathrm{kg}\)，满足第 8 节理想绳与滑轮条件。求共同路径加速度和张力，并写出两块的加速度方向。
展开练习 5 解析
对车写 \(T=8a\)，对悬挂块向下写 \(20-T=2a\)，得 \(a=2\,\mathrm{m/s^2}\)、\(T=16\,\mathrm N\)。车沿绳牵引的水平方向加速，悬挂块向下；大小相同但矢量方向不同。
练习 6：内部接触力。 光滑水平面上 \(A\) 为 \(5\,\mathrm{kg}\)，\(B\) 为 \(1\,\mathrm{kg}\)。\(24\,\mathrm N\) 右推力作用在 \(A\)，两块保持接触一起加速。求 \(a\)、\(A\) 对 \(B\) 的力与 \(B\) 对 \(A\) 的力。
展开练习 6 解析
整体 \(a=24/(5+1)=4\,\mathrm{m/s^2}\)。\(B\) 仅受所求水平接触力，所以 \(F_{A\to B}=1(4)=4\,\mathrm N\) 向右，伙伴 \(F_{B\to A}=4\,\mathrm N\) 向左。外推力 \(24\,\mathrm N\) 是另一相互作用，不能要求它也等于 \(4\,\mathrm N\)。
练习 7：读数不直接给速度。 电梯中 \(4\,\mathrm{kg}\) 的物体只受支持力与重力，读数 \(52\,\mathrm N\)。求竖直加速度。若此刻速度向下 \(2\,\mathrm{m/s}\)，是在加速下行还是减速下行？
展开练习 7 解析
向上为正，\(a_y=52/4-10=+3\,\mathrm{m/s^2}\)。速度向下而加速度向上，所以减速下行。仅给读数时还不能确定速度方向。
练习 8：三个判断各缺哪一步。 “瞬时 \(v=0\) 就有合力零”；“静止书的支持力与重力等大，所以是第三定律伙伴”；“只知道一个静摩擦力向右，就能断定加速度向右”。分别说明理由。
展开练习 8 解析
第一项需知道速度是否持续不变，瞬时零速度不确定加速度。第二项需交换施力与受力对象；两力都作用在书上，只是同物体的平衡力。第三项需求全部外力的合矢量，单个力不能决定加速度方向。
做 workbook 时先留下一句选法理由，例如“先用竖直平衡求实际支持力”“先算静止所需摩擦，再与上限比较”“整体求共同加速度，切出末端块求张力”。然后检查力的伙伴、正负号、质量、单位和模型条件。
11. 选学：墙面平衡、双悬挂与绳的容量
墙面静摩擦可向上、向下或为零
物块静止压在竖直墙上，以向上为正，若重量 \(36\,\mathrm N\)、外力向上分量 \(48\,\mathrm N\)，则
\[f_y=36-48=-12\,\mathrm N.\]
所需摩擦为 \(12\,\mathrm N\) 向下，不是看到“压墙”就一律向上。若墙面法向力 \(30\,\mathrm N\)、\(\mu_s=0.7\)，上限 \(21\,\mathrm N\) 足够，静止可行。其他向上分量小于重量时，所需摩擦则向上。
两侧都悬挂时分别沿运动路径列式
理想 Atwood machine 中，重侧向下、轻侧向上各选路径正方向：
\[m_hg-T=m_ha,\qquad T-m_lg=m_la.\]
所以
\[a=\frac{(m_h-m_l)g}{m_h+m_l}.\]
例如 \(m_h=7\,\mathrm{kg}\)、\(m_l=3\,\mathrm{kg}\)，得 \(a=4\,\mathrm{m/s^2}\)，\(T=3(10+4)=42\,\mathrm N\)。从静止释放 \(0.75\,\mathrm s\) 后，两侧速率为 \(3\,\mathrm{m/s}\)，方向相反。驱动用重量差，惯性项用总质量；两个重量都由地球施加，不是彼此的第三定律伙伴。
理想轻绳等张力来自绳自身轴向合力近零。若绳有不可忽略的质量，竖直绳段自身重量与加速度需要额外端力差：
\[T_{\mathrm{top}}-T_{\mathrm{bottom}}=m_{\mathrm{segment}}(g+a_y).\]
指定哪根绳有断裂上限，就限制哪根绳的张力；同一结点的不同方向绳不自动等张力。
12. 选学：阻力、终端速度与弹簧连接的模型边界
阻力增长使下落速度曲线逐渐变平
从静止释放，若阻力 \(D(v)\) 随速率增大且 \(D(0)=0\)，以下向为正：
\[a_{\mathrm{down}}=g-\frac{D(v)}m.\]
起初 \(a=g\)，随后阻力增大，向下加速度减小。只要 \(D<mg\)，速率仍增加；到 \(D=mg\) 时净力零，达到非零终端速率 terminal speed。\(v\)–\(t\) 斜率趋零，不表示 \(v\) 趋零。
例题：平方阻力。 重量 \(72\,\mathrm N\)，阻力大小在 SI 单位下为 \(D=2v^2\)。终端时
\[2v_T^2=72\Rightarrow v_T=6\,\mathrm{m/s}.\]
速率取非负根。阻力会变化时，不把全过程当恒加速度套五个运动学方程。
弹簧力使用相对自然长度的形变
理想弹簧 spring 的力为 \(F_s=-kx\)，其中 \(x\) 是带方向的形变；大小为 \(k|x|\)，不是弹簧总长度。竖直静态称重可由 \(k\Delta\ell=mg\) 求质量。
两根相同弹簧对称支撑水平板，中心新增质量 \(6\,\mathrm{kg}\)，每根 \(k=600\,\mathrm{N/m}\)。比较加人前后平衡，板自重消去，额外伸长为
\[2k\Delta x=60\,\mathrm N \Rightarrow \Delta x=0.050\,\mathrm m.\]
这是新增伸长，仍须加上板原先造成的伸长，才得到总形变。
轻弹簧的两端沿轴无其他载荷时，端力近似等大；作用于两块的两个弹簧力并不直接互为第三定律伙伴，分别找“块对弹簧”的伙伴。轻弹簧仍能伸长，不能当作不可伸长绳来约束两块共同加速度。初始自然长度时弹簧力可为零；后来伸长变化，力与各块加速度也可变化。
等间隔、近似等横向冲量可以给平均恒定的横向加速度与平滑抛物线近似；离散敲击之间若无力，实际是直线段。平均模型不能替代瞬时受力。
13. 选学：实验先核对合力、坐标轴与证据
静态弹簧称重使用重力平衡关系；动态测惯性质量则使用 \(m=F_{\mathrm{net}}/a\)。力探头的一次读数未必就是净力。若真实质量 \(4\,\mathrm{kg}\)、探头力 \(18\,\mathrm N\)，还存在未计入的同向 \(6\,\mathrm N\) 助推，则实际 \(a=24/4=6\,\mathrm{m/s^2}\)；只用探头读数推算会得 \(18/6=3\,\mathrm{kg}\)，偏小。遗漏反向阻力则可产生相反方向的偏差。
图线也先读轴：\(F_{\mathrm{net}}\)–\(a\) 图斜率为 \(m\)；\(a\)–\(F_{\mathrm{net}}\) 图斜率为 \(1/m\)。若横轴换成一个施加力而有固定反向阻力 \(f_0\)，则
\[a=\frac{F_{\mathrm{applied}}-f_0}{m},\]
不再过原点。水平力轴截距可以提示这个反向作用，不能把施加力与净力的图混用。
从静止的无摩擦斜面运动有 \(x-x_0=(g\sin\theta)t^2/2\)，所以 \(x\)–\(t^2\) 斜率是 \(g\sin\theta/2\)；非零初速度时须保留额外的 \(v_0t\) 项。慢慢倾斜至临界将滑时，\(\mu_s=\tan\theta_c\)，只测临界角即可；尚未临界的静止角只给下界。
在给定的有效滑轮反向作用模型中，可由区间平均路径加速度求
\[\overline{T_h-T_l}=(m_h-m_l)g-(m_h+m_l)\overline a.\]
例如两侧 \(4\) 与 \(1\,\mathrm{kg}\)，\(\overline a=5\,\mathrm{m/s^2}\)，\(g=10\) 时，这个平均有效反向作用为 \(30-5(5)=5\,\mathrm N\)。它是沿两条路径相加得到的标量，不是所取整体净外力矢量；\(\Delta v/\Delta t\) 也不自动证明每个瞬间加速度恒定。
比较仪器时，多显示几位小数只说明分辨率或报告精度更细，不能单独证明更准确。模型预测与一次测值不符，可以提出能解释偏差方向的可能原因；还需核对其他模型或测量影响，才能进一步确定。增加重复次数不会自动补上模型里漏掉的力。