Problem Solving Lesson 帮你把万有引力和圆周运动接起来。先辨认距离和研究对象，再画真实力、选择径向正方向，最后判断方程是否适用。可以先回顾 Lesson 01：万有引力、Lesson 02：圆周运动 和 Lesson 03：行星运动。近地数值例题取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)；行星例题使用球对称源外部、轻物体及固定中心近似，特殊条件另行说明。
1. 引力式先写中心距
万有引力的距离 \(r\) 是两物体中心之间的距离。行星半径为 \(R\)，物体离表面高度为 \(h\)，就先写
\[r=R+h.\]
例题：表面上方一个行星半径。 球对称行星的表面场强为 \(12\,\mathrm{N/kg}\)。一个 \(2.0\,\mathrm{kg}\) 的物体位于表面上方 \(R\) 处，求当地场强和引力。
此处 \(h=R\)，所以 \(r=2R\)。在球外，场强按中心距的平方反比变化：
\[g(2R)=g(R)\left(\frac{R}{2R}\right)^2 =3.0\,\mathrm{N/kg}.\]
物体所受引力为 \(F_g=mg=2.0(3.0)=6.0\,\mathrm N\)。直接把高度 \(R\) 代进引力式，会误以为它仍处在表面。
两个球刚好接触时，中心距是两半径之和；它们之间还有空隙时，再加上空隙宽度。图上的“距离”标线先核对端点，再代数值。
2. 引力、场强和支持力各自回答不同问题
在球对称源外部，
\[F_g=\frac{GMm}{r^2},\qquad g=\frac{F_g}{m}=\frac{GM}{r^2}.\]
\(M\) 是源质量，\(m\) 是接收引力的物体质量。源和位置保持时，把 \(m\) 加倍会使引力加倍，场强保持。场强的单位 \(\mathrm{N/kg}\) 与 \(\mathrm{m/s^2}\) 等价。
例题：分清两个比例。 两物体的质量分别变为原来的 \(3\) 倍和 \(1/2\)，中心距变为 \(2\) 倍，则
\[\frac{F_g'}{F_g}=\frac{3(1/2)}{2^2}=\frac38.\]
若改问两个行星的表面场强，且源质量比为 \(3\)、半径比为 \(2\)，应写 \(g'/g=3/2^2=3/4\)。表面场强没有另一个测试质量因子。
给当地场强求重量，用 \(F_g=mg\)；给重量求场强，用 \(g=F_g/m\)。秤读数或支持力 \(N\) 则要另列受力方程。物体沿曲线运动时，支持力通常不等于重量。
3. 两源先看方向，近地问题再看精度
两个正质量源都会吸引物体。位于两源之间时，两股场方向相反；位于两源同一外侧时，两股场同向，不能相消。
两源之间的零场点更靠近较小质量源：较小源要靠近一些，才能与较大源在较远处的场等大。只有等质量、等距的对称情况才直接给中点零场。净场为零也不表示两股场各自为零。
近地恒定 \(g\) 是近似。由表面到高度 \(h\)，
\[\frac{g(R+h)}{g(R)}=\left(\frac{R}{R+h}\right)^2.\]
例题：按允许变化判断。 高度仅为 \(R/2000\) 时，末场强约为表面 \(0.99900075\) 倍，变化约 \(0.099925\%\)。若题目允许 \(0.2\%\) 的相对变化，可以近似恒场；若要求分辨更小变化，就要保留距离变化。
\(G\) 是万有引力常量，\(g\) 随源和位置改变。行星半径本身不变，并不能保证任意高度都有相同 \(g\)。
4. 恒定速率的圆周运动仍有加速度
速率是速度的大小。圆周运动中，即使速率不变，速度方向也在改变，因此径向加速度为
\[a_r=\frac{v^2}{r}=\omega^2r,\qquad v=\frac{2\pi r}{P},\qquad \omega=\frac vr=\frac{2\pi}{P}.\]
这里 \(P\) 表示一周周期，\(\omega\) 是角速率。速度沿轨道切线，径向加速度指向圆心。
例题：绕半径 \(3.0\,\mathrm m\) 的圆。 质点速率恒为 \(6.0\,\mathrm{m/s}\)，则 \(a_r=12\,\mathrm{m/s^2}\)、\(P=\pi\,\mathrm s\)、\(\omega=2.0\,\mathrm{rad/s}\)。走过四分之一周后，速率仍是六，速度方向已转过 \(90^\circ\)。
比较圆周需求时，先保留平方：
\[\frac{a_r'}{a_r}=\left(\frac{v'}v\right)^2\frac r{r'}.\]
若质量也改变，径向合力比例还需再乘质量比。半径变大但速率也变大时，不能只凭半径判断加速度。
5. 速率改变时，另加切向分量
沿固定圆周减速时，径向加速度向内，切向加速度反向于当前速度；加速时切向分量与速度同向。两分量垂直，所以
\[|\vec a|=\sqrt{a_r^2+a_t^2}.\]
例题：沿圆周减速。 半径 \(5.0\,\mathrm m\)，当前速率 \(10\,\mathrm{m/s}\)，以 \(15\,\mathrm{m/s^2}\) 减速。
径向大小 \(a_r=10^2/5=20\,\mathrm{m/s^2}\)，总大小为 \(\sqrt{20^2+15^2}=25\,\mathrm{m/s^2}\)。若质量为 \(2.0\,\mathrm{kg}\)，净径向力是 \(40\,\mathrm N\)，全部合力大小却是 \(50\,\mathrm N\)。
只有切向加速度为零的瞬间，总加速度才完全沿径向。不要用“总加速度一定指圆心”描述所有变速圆周运动。
6. 先画真实力，再求向心合力
向心力表示真实力合成后的向内分量。它可以来自张力、重力、支持力或摩擦，不能在这些力之外再画一支额外力。
局部指向圆心为正，统一写
\[\sum F_{\mathrm{in}}=\frac{mv^2}{r}.\]
例题：汽车走水平弯道。 \(600\,\mathrm{kg}\) 汽车以 \(12\,\mathrm{m/s}\) 沿半径 \(48\,\mathrm m\) 的固定水平弯道匀速行驶。轮胎无侧滑，\(\mu_s=0.40\)。
竖直方向平衡给 \(N=mg=6000\,\mathrm N\)；水平方向的侧向静摩擦提供径向需求，
\[f_s=\frac{mv^2}{r}=1800\,\mathrm N.\]
上限为 \(\mu_sN=2400\,\mathrm N\)，因此当前所需值可由静摩擦提供。实际静摩擦是 \(1800\,\mathrm N\)，并非每次都等于上限。
临界时才写 \(mv_{\max}^2/r=\mu_smg\)，得到 \(v_{\max}=\sqrt{\mu_sgr}=8\sqrt3\approx13.9\,\mathrm{m/s}\)。这个模型需要水平路面和无侧滑；倾斜弯道要重新分解支持力。
7. 内侧竖直圆轨道：顶底分别选径向
例题：滑过光滑圆环。 \(0.50\,\mathrm{kg}\) 小质点在半径 \(2.0\,\mathrm m\) 的固定竖直圆轨道内侧滑动。轨道为单侧接触，只能推不能拉；忽略自身转动和耗散。底点速率为 \(12\,\mathrm{m/s}\)。
先连接底、顶两个状态。高差为 \(2r\)，支持力始终垂直速度，不做功：
\[\frac12mv_b^2=\frac12mv_t^2+mg(2r), \qquad v_t^2=12^2-4gr=64.\]
顶点速率为 \(8.0\,\mathrm{m/s}\)。底点向上为内，顶点向下为内：
\[N_b-mg=\frac{mv_b^2}{r},\qquad N_t+mg=\frac{mv_t^2}{r}.\]
所以 \(N_b=41\,\mathrm N\)、\(N_t=11\,\mathrm N\)。重力并没有反向，改变的是所选局部径向。
接触要求 \(N\ge0\)。顶点由此给 \(v_t^2\ge gr\)；刚好接触才令 \(N_t=0\)。在这个理想光滑内环模型中，顶点支持力最小，因此底点临界速率为 \(\sqrt{5gr}=10\,\mathrm{m/s}\)。当前底速超过阈值，全圈接触可维持。
刚性杆、双侧卡住的轨道、滚动球或有耗散的轨道要重新检查，不能直接沿用同一阈值。
8. 凸形山顶与内环顶点的支持力不同
车沿凸形山顶运动，轨迹在最高点弯向下，径向向下；地面对车的支持力却向上，因此
\[mg-N=\frac{mv^2}{r}, \qquad N=m\left(g-\frac{v^2}{r}\right).\]
例题：山顶接触。 \(600\,\mathrm{kg}\) 车通过局部曲率半径 \(50\,\mathrm m\) 的山顶，最高点速率 \(15\,\mathrm{m/s}\)。支持力为 \(600(10-15^2/50)=3300\,\mathrm N\)，小于重量，但仍为正。
若代入某个速率得到 \(N<0\)，意味着地面必须向下拉车才能维持该圆弧；单侧地面做不到，车已不能按原接触模型运动。
摩天轮的直立座椅在最高点通常也向上推乘客，应按该真实力方向列式。先看物体在哪一侧、接触面怎样推，再选择顶点公式。
9. 斜绳先做竖直平衡，再做水平圆周
例题：稳态圆锥摆。 \(0.80\,\mathrm{kg}\) 球由轻绳悬挂，绕竖直轴作稳态水平圆周运动，半径 \(1.2\,\mathrm m\)。绳与竖直夹角 \(\theta\) 满足 \(\sin\theta=3/5\)、\(\cos\theta=4/5\)。
球没有竖直加速度，先写
\[T\cos\theta=mg,\qquad T\sin\theta=\frac{mv^2}{r}.\]
由第一式得到 \(T=10\,\mathrm N\)，水平分量为 \(6.0\,\mathrm N\)。第二式给 \(v^2=9.0\,\mathrm{m^2/s^2}\)，故 \(v=3.0\,\mathrm{m/s}\)、\(P=2\pi r/v=0.80\pi\,\mathrm s\)。
两式相除也可得 \(v^2/r=g\tan\theta\)。整股张力包含竖直分量，不能直接全部放进水平向心式。
如果题目只给释放瞬间的水平加速度和倾斜绳，同样可以在该瞬间分解力；只有运动条件支持时，才继续把它当作稳态圆锥摆。
10. 圆轨道速度从引力受力式得到
固定球对称行星周围，轻卫星只有引力且作圆轨道时，引力就是净径向力：
\[\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}, \qquad v=\sqrt{\frac{GM}{r}}.\]
卫星质量 \(m\) 约去，说明同一源、相同半径的圆轨道速率不依赖轻卫星质量。引力 \(GMm/r^2\) 和动能 \(mv^2/2\) 仍含 \(m\)。
例题：同时改变源和轨道。 新系统源质量为 \(4M\)、卫星质量为 \(3m\)、圆轨道半径为 \(4r\)。新旧速率比为 \(\sqrt{4/4}=1\)；引力比为 \(4(3)/4^2=3/4\)；卫星动能比为 \(3\)。
如果已知圆轨道速率，需要中心距，反解
\[r=\frac{GM}{v^2}.\]
例如 \(GM=300\,\mathrm{m^3/s^2}\)、\(v=5.0\,\mathrm{m/s}\) 时，\(r=12\,\mathrm m\)。若题目问离表面高度，还要减去已知源半径；缺少源半径就不能单独得到高度。
11. 从一周路程推出圆轨道周期
周期是一周路程除速率，所以
\[P=\frac{2\pi r}{v} =2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}.\]
因此同一源周围圆轨道的 周期按半径的 \(3/2\) 次幂变化。若反过来由周期求半径，半径才按周期的 \(2/3\) 次幂变化。
例题：外轨道半径为内轨道四倍。 两颗同质量轻卫星在同一源周围作圆轨道。
\[\frac{v_{\mathrm{out}}}{v_{\mathrm{in}}}=\frac12, \qquad \frac{P_{\mathrm{out}}}{P_{\mathrm{in}}}=4^{3/2}=8, \qquad \frac{K_{\mathrm{out}}}{K_{\mathrm{in}}}=\frac14.\]
外轨道一周路程为四倍，速率为一半，所需时间自然为八倍。若源质量也改变，周期比例还要除以源质量比的平方根。
这些比例比较两个圆轨道状态。它们没有描述卫星如何变轨，也不能当成同一椭圆每个位置的瞬时关系。
12. 自主练习：先说明模型，再计算
练习 1：高度与测试质量。 球形源半径 \(R\)，表面场强 \(18\,\mathrm{N/kg}\)。\(3.0\,\mathrm{kg}\) 物体位于高度 \(2R\)，求当地场强和引力；若测试质量减半，二者如何变化？
展开练习 1 解析
中心距为 \(3R\)，场强为 \(18/3^2=2.0\,\mathrm{N/kg}\)，引力为 \(6.0\,\mathrm N\)。测试质量减半时场强仍为二，引力减半为三牛顿。
练习 2：两个加速度。 圆周半径 \(4.0\,\mathrm m\)，当前速率 \(8.0\,\mathrm{m/s}\)，正以 \(12\,\mathrm{m/s^2}\) 加速。求总加速度大小和两个分量方向。
展开练习 2 解析
\(a_r=8^2/4=16\,\mathrm{m/s^2}\) 向圆心，\(a_t=12\,\mathrm{m/s^2}\) 与当前速度同向。两分量垂直，总大小为 \(20\,\mathrm{m/s^2}\)。
练习 3：接触能否成立。 小质点在半径 \(2.0\,\mathrm m\) 的光滑内侧圆轨道顶点，假定速率为 \(4.0\,\mathrm{m/s}\)。轨道只能推不能拉。由径向式求 \(N/m\)，判断该接触状态是否可能。
展开练习 3 解析
顶点 \(N+mg=mv^2/r\)，所以 \(N/m=16/2-10=-2.0\,\mathrm{m/s^2}\)。负支持力需要轨道向外拉，单侧接触模型不可能；不能把负数当成实际支持力。
练习 4：静摩擦的实际值。 \(500\,\mathrm{kg}\) 车以 \(10\,\mathrm{m/s}\) 绕半径 \(40\,\mathrm m\) 的水平弯道，\(\mu_s=0.30\)、无侧滑。求实际侧向摩擦和其上限，检查可行性。
展开练习 4 解析
\(N=5000\,\mathrm N\)，需求 \(f_s=500(100)/40=1250\,\mathrm N\)，上限 \(1500\,\mathrm N\)。需求小于上限，当前无侧滑条件可满足；实际值取 \(1250\,\mathrm N\)。
练习 5：斜绳分量。 \(1.0\,\mathrm{kg}\) 球作稳态水平圆周运动，半径 \(2.0\,\mathrm m\)，绳与竖直夹角 \(45^\circ\)。求张力、净径向力与速率。
展开练习 5 解析
\(T\cos45^\circ=10\)，张力 \(10\sqrt2\,\mathrm N\)。水平分量 \(T\sin45^\circ=10\,\mathrm N\)，所以 \(v^2=20\,\mathrm{m^2/s^2}\)、\(v=\sqrt{20}\,\mathrm{m/s}\)。
练习 6：两个圆轨道。 同一源周围，外轨道半径为内轨道九倍，外卫星质量为内卫星两倍。比较外内速率、周期、引力和动能。
展开练习 6 解析
速率比 \(1/3\)，周期比 \(27\)，引力比 \(2/9^2=2/81\)，动能比 \(2(1/3)^2=2/9\)。质量约去只适用于圆轨道速率和周期。
练习 7：由径向力反求速率。 \(2.0\,\mathrm{kg}\) 质点在半径 \(3.0\,\mathrm m\) 的圆上运动，当前净径向力已知为 \(24\,\mathrm N\)。求当前速率；这些数据是否足够求全部合力大小？
展开练习 7 解析
\(v=\sqrt{F_{\mathrm{in}}r/m}=\sqrt{24(3)/2}=6.0\,\mathrm{m/s}\)。未给切向加速度或切向合力，不能单独确定全部合力大小；如果另给匀速，才可令切向分量为零。
回到 workbook，先写中心距和模型条件。力的代数结果还要检查方向与允许范围，圆轨道公式还要检查轨道和速度方向。
13. 选学：密度、零场位置与球的合并
均匀球质量 \(M=\rho(4\pi R^3/3)\)，因此质量比由密度比乘半径比的立方确定；球外表面场强再按 \(M/R^2\) 比较。
选学练习 1。 均匀球 B 的密度是 A 的一半、半径是 A 的两倍。求质量比和表面场强比。若 \(27\) 个相同均匀球合并成一球且密度保持，求新半径和表面场强相对原单球的倍数。
展开选学练习 1 解析
B/A 质量比为 \((1/2)2^3=4\)，表面场强比为 \(4/2^2=1\)。合并后体积为 \(27\) 倍、半径为 \(3R\)，质量为 \(27M\)，表面场强为 \(27/3^2=3\) 倍。密度保持是合并模型的必要条件。
两正点质量 \(M_1,M_2\) 相隔 \(L\)，两源之间零场点距左源 \(x\)。方向反向后，才令大小相等：
\[\frac{GM_1}{x^2}=\frac{GM_2}{(L-x)^2}, \qquad \frac{x}{L-x}=\sqrt{\frac{M_1}{M_2}}.\]
选学练习 2。 左源 \(M\)、右源 \(9M\) 相隔 \(20\,\mathrm m\)，求零场点距左源的位置。
展开选学练习 2 解析
\(x/(20-x)=1/3\)，所以 \(x=5.0\,\mathrm m\)。它确实更靠近较小源。两个球有尺寸时，还要核对该点在两个球的外部，不能直接把球内场当成外部反平方场。
14. 选学：先建模型，再选择测量和拟合
水平弯道临界模型为 \(v_{\max}^2=\mu_sgr\)，所以 \(v_{\max}^2\) 对 \(r\) 的直线斜率是 \(\mu_sg\)。要先核对水平、临界和不侧滑条件，再选择所测量的量。速率也可由一周路程与周期求出。
选学练习 3。 上述实验拟合斜率为 \(4.0\,\mathrm{m/s^2}\)，取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)，求静摩擦系数。
展开选学练习 3 解析
\(\mu_s=s/g=4.0/10=0.40\)。斜率单位是加速度，系数无单位；不要把纵轴 \(v^2\) 误当成 \(v\)。
另一实验中，质量 \(m\) 的球以轻绳穿过光滑固定小管，与质量 \(M\) 的悬挂物相连。悬挂物静止、转球作稳态水平圆周运动，绳斜向上，\(M>m\)。
悬挂端给 \(T=Mg\)，转球的竖直张力分量平衡 \(mg\)，因此水平分量为 \(g\sqrt{M^2-m^2}\)。径向式给
\[v^2=s r,\qquad s=\frac{g\sqrt{M^2-m^2}}{m}, \qquad m=\frac{gM}{\sqrt{s^2+g^2}}.\]
选学练习 4。 \(M=2.0\,\mathrm{kg}\)、\(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)，\(v^2\) 对 \(r\) 的斜率为 \(10\sqrt3\,\mathrm{m/s^2}\)，求 \(m\)。
展开选学练习 4 解析
\(m=20/\sqrt{300+100}=1.0\,\mathrm{kg}\)。若把整股张力当成水平径向力，就忽略了转球重量。只有 \(m\ll M\) 才可在误差允许时近似水平；水平桌面上的转球有支持力抵消重量，则是另一种受力模型。
15. 选学：无滑传动与恒速竖直轻杆
固定轴两轮无滑接触时，接触处轮缘速率相同，\(P=2\pi r/v\) 给周期按半径比例变化。两轮的角速率一般不同；只知道相同周期时，轮缘速率则按半径变化。
刚性轻杆可推也可拉。若杆带球沿竖直圆周恒速运动，重力的切向分量需要由切向驱动抵消；没有这一驱动，不能无条件假设速率恒定。
选学练习 5。 两无滑接触轮半径为 \(2.0\,\mathrm{cm}\)、\(5.0\,\mathrm{cm}\)，求大/小周期比。另有 \(1.0\,\mathrm{kg}\) 球由轻杆带动沿半径 \(2.0\,\mathrm m\) 的竖直圆周恒速 \(6.0\,\mathrm{m/s}\) 运动，有切向驱动维持恒速，其径向分量可忽略。求顶底杆力。
展开选学练习 5 解析
周期比为 \(5/2\)。球的径向需求 \(mv^2/r=18\,\mathrm N\)。底点杆力向上，\(F_{\mathrm{rod}}-10=18\)，大小 \(28\,\mathrm N\)；顶点杆力向下，\(F_{\mathrm{rod}}+10=18\)，大小 \(8.0\,\mathrm N\)。这里不是只能拉的绳，也不是自然无驱动的摆动。
16. 选学：径向最高点与椭圆焦点
若题目明确给出球外势能 \(U=-GMm/r\)、无穷远为零，可以用能量处理大范围径向运动。此时 \(g\) 沿程变化，不能把表面 \(g\) 当成全程精确常数。
选学练习 6。 固定球形源半径为 \(R\)。轻物体从表面径向向外发射，后续只有引力；初总机械能已给为 \(E=-GMm/(4R)\)。求有限最高中心距与离表面高度。
展开选学练习 6 解析
径向最高点总速度为零，\(-GMm/r_{\max}=-GMm/(4R)\)，所以 \(r_{\max}=4R\)、\(h_{\max}=3R\)。最高点势能仍为负；无穷远零点不能临时改到最高点。
椭圆轨道的中心源在焦点，引力始终指向实际源。几何中心一般不是力的指向目标，也不能把焦点距当作每一点的局部曲率半径。
选学练习 7。 源位于图中左焦点，物体在椭圆最上端，引力朝哪里？椭圆远点是否可以像径向最高点一样令总动能零？
展开选学练习 7 解析
引力从该点指向左焦点，即左下方。椭圆远点只有径向速度零，切向速度仍存在，总动能不为零。圆轨道式 \(v=\sqrt{GM/r}\) 不能逐点套进任意椭圆；单有该速率大小，也还缺少适合圆轨道的速度方向与运动条件。
17. 选学讨论：圆锥摆测量集合
讨论题。 稳定非零半径圆锥摆，轻绳长 \(\ell\)，\(\theta\) 从竖直量，当地 \(g\) 已知。选出所有足以求净向心力的测量集合，不限制选择数，并解释未选集合缺少什么。
| 集合 | 测量量 |
|---|---|
| A | 质量 \(m\) 与 \(\theta\) |
| B | 质量 \(m\)、轨道半径 \(R\) 与周期 \(T\) |
| C | 轨道半径 \(R\)、绳长 \(\ell\) 与周期 \(T\) |
| D | 质量 \(m\)、绳长 \(\ell\) 与周期 \(T\) |
展开讨论与各集合的充分性
A、B、D均充分。A用 \(F_c=mg\tan\theta\)；B用 \(F_c=m\omega^2R\)，\(\omega=2\pi/T\)。
D先结合竖直平衡与水平圆周关系，得到 \(\cos\theta=g/(\omega^2\ell)\)，于是 \(F_c=m\sqrt{(\omega^2\ell)^2-g^2}\)。
非零圆锥摆需 \(\omega^2\ell>g\)。C没有质量，不能确定力的大小。此题为不限选择数的讨论版本；做测量充分性判断时，不凭预设答案个数删去可行方法。