Problem Solving Lesson 将动量、冲量与质心接成一条解题过程。阅读前可以回顾 Lesson 01：动量与冲量 和 Lesson 02：质心。先写清研究对象、参考系和两个时刻，再决定求动量变化、使用动量守恒，还是追踪系统质心。未另说明时取地面惯性参考系、\(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)。
1. 动量先保留方向，再取末减初
动量 momentum 是矢量：
\[\vec p=m\vec v,\qquad \Delta\vec p=\vec p_f-\vec p_i.\]
一维问题先选正方向。向右为正，向左速度要带负号；两个速率之差不一定是速度变化。动量的大小为 \(m|\vec v|\)，大小不变也允许方向改变。
例题：水平反弹。 \(0.40\,\mathrm{kg}\) 球以 \(3.0\,\mathrm{m/s}\) 向右撞墙，经过 \(0.050\,\mathrm s\)，以 \(2.0\,\mathrm{m/s}\) 向左离开。其他水平冲量可忽略。
\[p_i=0.40(3)=+1.20,\qquad p_f=0.40(-2)=-0.80 \quad\mathrm{kg\,m/s},\]
所以墙对球的水平冲量 impulse 为
\[J_x=\Delta p_x=-0.80-1.20=-2.00\,\mathrm{N\,s}.\]
墙的平均水平力为 \(-2.00/0.050=-40\,\mathrm N\)，向左。负号表达方向，不表示冲量或力的“大小为负”。动量变化大小为 \(2.00\,\mathrm{kg\,m/s}\)，也不是两端动量大小之差 \(0.40\,\mathrm{kg\,m/s}\)。
若把研究对象换成球与墙构成的系统，接触力是否仍是外力也会改变。先圈边界，再分类内力 internal force 与外力 external force。
2. 力—时间面积给有方向的冲量
在 \(F_x\)–\(t\) 图上，带符号面积给这个力的冲量：
\[J_x=\text{signed area of }F_x\text{ versus }t.\]
若纵轴是合力，面积才等于物体动量变化。横轴换成位置时，面积给功 work；先读横轴与单位。冲量的单位是 \(\mathrm{N\,s}=\mathrm{kg\,m/s}\)。
例题：正、负两段合力。 合力在 \(0\) 到 \(1\,\mathrm s\) 从零线性增到 \(12\,\mathrm N\)，\(1\) 到 \(2\,\mathrm s\) 保持 \(12\,\mathrm N\)，\(2\) 到 \(3\,\mathrm s\) 为 \(-4\,\mathrm N\)。
\[J_{0\to3}=\frac12(1)(12)+(1)(12)+(1)(-4) =14\,\mathrm{N\,s}.\]
正负面积相加，不把负面积取绝对值。问 \(0\) 到 \(2\,\mathrm s\) 时，答案是 \(18\,\mathrm{N\,s}\)，不加入后来的负段。
物体质量 \(2.0\,\mathrm{kg}\)、初速度 \(-3.0\,\mathrm{m/s}\) 时，先保留初动量：
\[p_f=p_i+J=-6+14=+8\,\mathrm{kg\,m/s}, \qquad v_f=+4.0\,\mathrm{m/s}.\]
不能把 \(J/m\) 直接当末速度；它给的是速度变化。测量若为散点，可按趋势或梯形估计面积，结果保留“约”。峰值力乘完整时间通常不等于面积。
3. 平均净力、接触力和峰值力分开
对固定质量，
\[\overline{\vec F}_{\mathrm{net}}=\frac{\Delta\vec p}{\Delta t}.\]
先选紧邻接触前、接触后的端点。若把碰后长距离滑动也纳入区间，算出的平均净力会同时含后续摩擦，不能直接叫“碰撞平均力”。
例题：向下运动的物体被垫子停住。 \(2.0\,\mathrm{kg}\) 物体在接触前速度向下 \(3.0\,\mathrm{m/s}\)，接触 \(0.15\,\mathrm s\) 后静止。以向上为正，接触中只有重力与垫子支持力。
\[\Delta p_y=2[0-(-3)]=+6.0\,\mathrm{N\,s}, \qquad\overline F_{\mathrm{net},y}=6.0/0.15=40\,\mathrm N.\]
垫子的平均支持力不是 \(40\,\mathrm N\)，还需抵消重力：
\[\overline N-mg=\overline F_{\mathrm{net},y}, \qquad \overline N=40+20=60\,\mathrm N.\]
若同样停住过程用 \(0.30\,\mathrm s\)，平均净力为 \(20\,\mathrm N\)，平均支持力为 \(40\,\mathrm N\)。相同动量变化、较长历时给较小平均净力；平均值并不能单独确定峰值。比较峰值还需力脉冲形状，例如相同形状按时间伸缩的额外条件。
两个物体相互碰撞的接触力是同一第三定律力对，彼此接触冲量等大反向。各自的速度变化却还要除各自质量，不必等大。
4. 粘合给共同速度，守恒条件来自外冲量
选固定两物体系统，在所研究方向写
\[\vec P_f-\vec P_i=\vec J_{\mathrm{ext}}.\]
碰撞内力可以很大，不改变全系统总动量。真正检查的是碰撞区间内的净外冲量。只有水平外冲量可忽略时，就只承诺水平动量守恒。
例题：相向两块粘合。 光滑水平面上，\(3.0\,\mathrm{kg}\) 块以 \(4.0\,\mathrm{m/s}\) 向右，\(1.0\,\mathrm{kg}\) 块以 \(2.0\,\mathrm{m/s}\) 向左，碰后粘合。取右为正，水平外冲量可忽略：
\[3(4)+1(-2)=(3+1)V,\qquad V=+2.5\,\mathrm{m/s}.\]
较重物体原运动方向不必直接决定末方向；方向仍由带符号总动量给出。两物体若初总动量零，粘合后共同速度才为零。
已知初末速度时也可反求质量比。例如入射车A初速度 \(u\)、B初静止，粘合后共同速度 \(V\)：
\[m_Au=(m_A+m_B)V,\qquad \frac Vu=\frac{m_A}{m_A+m_B}.\]
\(V/u>1/2\) 才给 \(m_A>m_B\)。等时间点迹在前后各匀速段内的间距比给速度比，不能用点到原点的距离或跨碰撞的一个间距。
5. 动量守恒与动能守恒分别检查
上一例的初、末总动能分别为
\[K_i=\frac12(3)(4^2)+\frac12(1)(2^2)=26\,\mathrm J, \qquad K_f=\frac12(4)(2.5^2)=12.5\,\mathrm J.\]
动能减少 \(13.5\,\mathrm J\)，可以转入形变、热等内部能。总动量守恒，没有使总动能也守恒。
- 弹性碰撞 elastic collision 还要求两物体的总动能不变；不是每个物体的动能各自不变。
- 非弹性碰撞 inelastic collision 的总平动动能改变；不必已经粘合。
- 完全非弹性碰撞 perfectly inelastic collision 使用共同末速度的粘合模型。
例题：不粘合也可损失动能。 两相同质量初速度为 \((+u,0)\)，末速度为 \((0.3u,0.7u)\)，净外冲量可忽略。末动量仍为 \(mu\)，而
\[\frac{K_f}{K_i}=0.3^2+0.7^2=0.58.\]
两物体分开但损失 \(42\%\) 的平动动能，是非弹性而非粘合模型。仅看到分开或反弹，不能判断碰撞弹性。
若题中有弹簧、磁作用或其他内部储能释放，总平动动能还可能增加。无释放储能、无正外功的被动碰撞才可用 \(K_f\le K_i\) 作候选检查；这一条件不能套到内部弹簧主动推开。
6. 反冲与接收物体都保持固定系统
例题：初静止的两块被弹簧推开。 两块质量 \(2.0\) 与 \(5.0\,\mathrm{kg}\)，初全静止，水平外冲量零。轻块末向右 \(5.0\,\mathrm{m/s}\)。由零初总动量：
\[2(5)+5v_{\mathrm{heavy}}=0,\qquad v_{\mathrm{heavy}}=-2.0\,\mathrm{m/s}.\]
两块末动量等大反向，各为 \(10\,\mathrm{kg\,m/s}\)。速率与质量成反比，全质心仍静止；每个成员并没有静止。末总平动动能为 \(35\,\mathrm J\)，可来自减少的弹性储能。
例题：落箱完成竖直运动后，只研究水平滑移。 在 \(t_1\)，箱子已落在车面上且竖直运动结束；\(4.0\,\mathrm{kg}\) 小车水平速度 \(+3.0\,\mathrm{m/s}\)，\(2.0\,\mathrm{kg}\) 箱子水平速度零。之后箱车间摩擦使它们共速，地面水平外冲量可忽略。
从 \(t_1\) 起将车与箱固定为系统：
\[4(3)+2(0)=6V,\qquad V=+2.0\,\mathrm{m/s}.\]
这一水平滑移区间的总动能由 \(18\) 降至 \(12\,\mathrm J\)，减少 \(6\,\mathrm J\)。箱子水平动能增加 \(4\,\mathrm J\)，车减少 \(10\,\mathrm J\)；不是每个成员都损失动能。
更早的竖直落下不是这笔水平能量变化的一部分。若从落下之前选起点，必须重新计入竖直动能、重力与接触阶段。
接雨、接沙等题，把所有将被接收的物质从初时纳入固定系统。竖直落下可以有竖直动量；只有其初水平动量零的条件明确时，水平式才简化为 \(Mv_0=(M+\Delta M)V\)。质量增长的小车单独是开放系统，不能无条件令它自身的动量恒定。
7. 质心位置用同一原点加权
质心 center of mass 的位置为
\[x_{\mathrm{CM}}=\frac{\sum_i m_ix_i}{M_{\mathrm{total}}}.\]
所有位置从同一原点量、对应同一时刻。质量相等才可直接平均坐标；正质量的加权位置应在最左与最右位置之间。
例题：杆的质量也要计入。 \(2.0\,\mathrm{kg}\) 与 \(6.0\,\mathrm{kg}\) 点质量分别位于 \(x=0\) 与 \(x=4.0\,\mathrm m\)。连接的均匀杆质量 \(2.0\,\mathrm{kg}\)，杆的质心在 \(x=2.0\,\mathrm m\)。
\[x_{\mathrm{CM}}=\frac{2(0)+6(4)+2(2)}{2+6+2} =2.8\,\mathrm m.\]
若在 \(x=1.0\,\mathrm m\) 加入 \(1.0\,\mathrm{kg}\)，新质心为
\[x_{\mathrm{CM,new}}=\frac{10(2.8)+1(1.0)}{11} =\frac{29}{11}\,\mathrm m\approx2.64\,\mathrm m.\]
它向新增质量的位置移动，并未直接移到 \(1.0\,\mathrm m\)。若部件只是移动而非加重，总质量固定，可用
\[\Delta x_{\mathrm{CM}} =\frac{\sum_i m_i\Delta x_i}{M_{\mathrm{total}}}.\]
一个非零质量环在固定非零质量板上移动 \(d\)，全质心位移严格小于 \(d\)；它不是环自身的位移。
质量分布关于竖直轴镜像对称时，质心在该轴上。只有一条对称轴，不能据此确定质心高度；只看外轮廓也不够，密度若不对称，质量权重就不对称。
8. 质心速度与加速度追踪整个系统
固定成员、固定质量时，
\[\vec V_{\mathrm{CM}}=\frac{\vec P}{M_{\mathrm{total}}}, \qquad \vec a_{\mathrm{CM}}=\frac{\sum_i m_i\vec a_i}{M_{\mathrm{total}}}, \qquad \vec F_{\mathrm{ext,net}}=M_{\mathrm{total}}\vec a_{\mathrm{CM}}.\]
无合外力给质心速度恒定。若初始速度非零，质心仍匀速移动；只有再给初始质心静止，才能说质心位置固定。
例题：一块固定，另一块加速。 两块质量均 \(3.0\,\mathrm{kg}\)，块1保持静止，块2加速度 \(+4.0\,\mathrm{m/s^2}\)：
\[a_{\mathrm{CM}}=\frac{3(0)+3(4)}6=+2.0\,\mathrm{m/s^2}, \qquad F_{\mathrm{ext,net}}=6(2)=+12\,\mathrm N.\]
静止块仍计入分母。固定它所需的外部作用属于系统外力，不能因两块内部可能相互作用就把全系统外力设零。
两球只受彼此相互引力时，这些力对全两球系统是内力，质心加速度零；各球却可互绕或相向加速。某一时刻质心速度零，也不单独说明合外力零，要看该时刻的质心加速度。
9. 质心图的斜率仍是速度与加速度
读 \(x_{\mathrm{CM}}\)–\(t\) 图，斜率给 \(V_{\mathrm{CM}}\)；曲线切线斜率增大，给正加速度。读 \(V_{\mathrm{CM}}\)–\(t\) 图，斜率才直接给质心加速度。
例题：窄外冲量改变位置图的斜率。 图线依次经过 \((t/\mathrm s,x_{\mathrm{CM}}/\mathrm m)=(0,1),(2,5),(5,2)\)，两段都为直线。总质量 \(4.0\,\mathrm{kg}\)，外冲量发生在 \(t=2\,\mathrm s\) 附近极短区间。
\[V_i=\frac{5-1}{2}=+2.0\,\mathrm{m/s}, \qquad V_f=\frac{2-5}{5-2}=-1.0\,\mathrm{m/s}.\]
固定总质量给
\[\Delta P=4[-1-(+2)]=-12\,\mathrm{kg\,m/s}.\]
位置没有跳变；斜率的突变表示速度改变。质心位置为正，并不能代替判断速度或合外力方向。
若质心恒速、初位置为零，已知 \(2\,\mathrm s\) 到 \(x=4\,\mathrm m\)，则 \(4\,\mathrm s\) 到 \(x_{\mathrm{CM}}=8\,\mathrm m\)。同一时刻质量 \(2m\) 的成员在 \(x=6\,\mathrm m\)，另一成员质量 \(m\)，于是
\[3(8)=2(6)+x_2,\qquad x_2=12\,\mathrm m.\]
先追踪质心，再反解成员；不要把较重成员的位置直接当质心位置。
10. 内部爆炸不改相同初态下的重力质心轨迹
把全部碎片圈在固定系统内，忽略空气阻力，且所有碎片尚未触地。它们只受同一均匀重力，全质心加速度为向下 \(g\)。若爆炸前的质心位置与速度延续相同，质心仍沿未爆炸物体的原抛物线。
两相等质量碎片同时落地，未爆炸物体落点距发射点 \(R\)。一片落在 \(2R\)，另一片落点满足
\[R=\frac{2R+x_2}{2},\qquad x_2=0.\]
共同落地时刻可这样平均；若一片先落地，地面支持力已经是全碎片系统的新增外力，之后不能继续无条件套原质心轨迹。
这里外重力不为零，所以总竖直动量持续改变。内部爆炸不改质心轨迹，不代表全系统在所有方向上动量恒定。
速率 speed 还要看当前速度方向。 以向下为正，自由飞行系统有 \(a_{\mathrm{CM}}=+g\)。若质心正在向下，速率增加；若质心正在向上，速率先减小。穿过零速度后，速率才重新增加。碰撞内力不会给全系统质心速度制造突跳，但不能因此把速率无条件画成持续增加。
11. 自主练习先留下系统与方向
练习 1：反弹的末减初。 \(0.30\,\mathrm{kg}\) 球以 \(6.0\,\mathrm{m/s}\) 向右撞墙，\(0.040\,\mathrm s\) 后以 \(2.0\,\mathrm{m/s}\) 向左离开，其他水平冲量可忽略。求墙的水平冲量与平均水平力。
展开练习 1 解析
向右为正，\(\Delta p=0.30[-2-6]=-2.40\,\mathrm{N\,s}\)，墙平均水平力为 \(-2.40/0.040=-60\,\mathrm N\)，均向左。速度变化不是 \(2-6\)，先给反弹速度负号。
练习 2：外冲量更新动量。 \(2.0\,\mathrm{kg}\) 物体初速度 \(-1.0\,\mathrm{m/s}\)。合水平力在第一秒为 \(+6\,\mathrm N\)，第二秒为 \(-2\,\mathrm N\)。求末速度，并比较初末动量矢量与初末速率。
展开练习 2 解析
\(J=6-2=+4\,\mathrm{N\,s}\)，\(p_i=-2\)、\(p_f=-2+4=+2\,\mathrm{kg\,m/s}\)，故 \(v_f=+1\,\mathrm{m/s}\)。初末速率都为 \(1\,\mathrm{m/s}\)，动量大小相同，方向却反转。
练习 3：粘合、动能与质心。 光滑水平面上，\(2.0\,\mathrm{kg}\) 块以 \(5.0\,\mathrm{m/s}\) 向右，\(3.0\,\mathrm{kg}\) 块以 \(1.0\,\mathrm{m/s}\) 向左，碰后粘合；水平外冲量可忽略。求共同速度、总动能减少量与碰前后质心速度。
展开练习 3 解析
\(P=2(5)+3(-1)=+7\,\mathrm{kg\,m/s}\)，总质量 \(5\,\mathrm{kg}\)，共同速度 \(+1.4\,\mathrm{m/s}\)。\(K_i=25+1.5=26.5\,\mathrm J\)、\(K_f=0.5(5)(1.4^2)=4.9\,\mathrm J\)，减少 \(21.6\,\mathrm J\)。质心速度在碰前后均为 \(P/M=+1.4\,\mathrm{m/s}\)。
练习 4：从静止分离。 \(3.0\) 与 \(6.0\,\mathrm{kg}\) 两块初静止，被内部弹簧推开，水平外冲量零。轻块末向右 \(4.0\,\mathrm{m/s}\)。求重块末速度、全系统质心速度与末总平动动能。
展开练习 4 解析
\(3(4)+6v_{\mathrm{heavy}}=0\)，重块速度 \(-2\,\mathrm{m/s}\)。总动量仍零，所以质心速度零。末总 \(K=0.5(3)(4^2)+0.5(6)(2^2)=36\,\mathrm J\)，可来自减少的内部弹性储能；质心静止并不使总平动动能零。
练习 5：同原点的三个位置。 三个点质量分别为 \(1.0,3.0,2.0\,\mathrm{kg}\)，同一时刻位置分别为 \(-2.0,+2.0,+5.0\,\mathrm m\)。求质心位置，并检查结果范围。
展开练习 5 解析
\(x_{\mathrm{CM}}=[1(-2)+3(2)+2(5)]/6=7/3\,\mathrm m\)。它介于 \(-2\) 与 \(5\,\mathrm m\) 之间；三个坐标的简单平均没有正确保留质量权重。
练习 6：有加速度也可在减速。 固定系统总质量 \(6.0\,\mathrm{kg}\)，两外水平力分别为向右 \(15\,\mathrm N\) 和向左 \(3\,\mathrm N\)；内部还有一对等大反向作用力。此刻质心速度 \(-4.0\,\mathrm{m/s}\)。求质心加速度与当前速率变化趋势。
展开练习 6 解析
内力不计入合外力；\(a_{\mathrm{CM}}=(15-3)/6=+2\,\mathrm{m/s^2}\)。当前速度向左、加速度向右，速率正在减小。若外力保持，\(V_{\mathrm{CM}}=-4+2t\)，先在 \(2\,\mathrm s\) 后达到零，再向右加速；不能仅凭正加速度就说当前速率增加。
练习 7：质心位置图与冲量。 使用第 9 节图，改为固定总质量 \(3.0\,\mathrm{kg}\)。求 \(t=2\,\mathrm s\) 前后质心速度和窄区间的净外冲量。是否需要知道峰值力？
展开练习 7 解析
两段斜率仍为 \(+2\) 与 \(-1\,\mathrm{m/s}\)。\(J_{\mathrm{ext}}=\Delta P=3(-1-2)=-9\,\mathrm{N\,s}\)。速度端点与总质量已足够求冲量，无需知道峰值力；若要求平均力，还需区间历时。
练习 8：爆炸系统的外力边界。 抛体在空中内部爆炸，所有碎片初质心状态延续原抛体，忽略阻力。解释全部碎片都在空中时的质心轨迹；若一片先触地，为什么不能继续直接沿用？总竖直动量是否始终恒定？
展开练习 8 解析
全部碎片在空中时只有同一均匀重力外力，质心沿原轨迹。某片先触地后，地面支持力是全系统新增外力，需重新判断质心加速度。即使尚未触地，外重力也使总竖直动量改变，不能说所有方向总动量恒定。
回到 workbook，先写一句判断：“选两块固定系统，水平外冲量可忽略”“粘合才使用共同末速度”“题问速率，要先判断质心当前速度方向”。再检查单位、初末符号、系统成员与所求时刻。解析看过后的重做用于巩固，还需要未看过解析的新题检验迁移。
12. 选学：两个未知末速度与内部能量
弹性正碰需要两个独立条件
光滑水平面上两块质量 \(m_1,m_2\)，初速度 \(u_1,u_2\)，弹性正碰后速度 \(v_1,v_2\)。既要总动量守恒，也要总动能守恒：
\[m_1u_1+m_2u_2=m_1v_1+m_2v_2,\]
\[\frac12m_1u_1^2+\frac12m_2u_2^2 =\frac12m_1v_1^2+\frac12m_2v_2^2.\]
对实际发生动量交换的一维弹性碰撞，也可用相对速度反向条件 \(v_1-v_2=-(u_1-u_2)\)。联立方程若出现“末速度仍等初速度”的分支，要辨认它可能是未发生碰撞交换的初态分支。
选学练习 1。 \(1.0\,\mathrm{kg}\) 块初以 \(+5.0\,\mathrm{m/s}\) 撞静止 \(4.0\,\mathrm{kg}\) 块，完全弹性正碰且水平外冲量可忽略。求两末速度，并分别检查总动量与总动能。
展开选学练习 1 解析
\(v_1+4v_2=5\)，\(v_1-v_2=-5\)，得 \(v_1=-3\)、\(v_2=+2\,\mathrm{m/s}\)。末总动量 \(-3+8=5\,\mathrm{kg\,m/s}\)，末总动能 \(4.5+8=12.5\,\mathrm J\)，均与初态相同。每个成员的动能都改变。
弹性总 \(K\) 不变意味着一个成员得到多少动能，另一个就在紧邻碰撞区间失去多少。若还研究之后的上升、摩擦滑动，要另分阶段。
内部弹簧可使初静止两块获得非零总动能，仍保持总动量零。候选末状态若满足动量，却使 \(K_f>K_i\)，应先检查是否释放了内部储能或获得外功；没有能量来源的被动碰撞不能采用它。
最大弹簧压缩时，接近中的两车相对速度为零，瞬时共同速度等于质心速度；这不等于两车在地面系都静止，也不自动是最终分离后的速度。暂存的弹性势能和永久耗散不能混同。
13. 选学：二维加权与木筏参考系
正交分量分别加动量
二维位置也分别用同一总质量加权 \(x\) 与 \(y\)。左右质量对称只保证 \(x_{\mathrm{CM}}=0\)，并不保证 \(y_{\mathrm{CM}}=0\)；将全部质量同乘正系数，两个质心坐标都不变。
选学练习 2。 \(2.0\,\mathrm{kg}\) 物体以 \(3.0\,\mathrm{m/s}\) 向东，与 \(1.0\,\mathrm{kg}\) 物体以 \(6.0\,\mathrm{m/s}\) 向北碰撞并粘合，平面内外冲量可忽略。求共同速度的分量、速率与方向。
展开选学练习 2 解析
东为 \(+x\)、北为 \(+y\)，\(\vec P=(6,6)\,\mathrm{kg\,m/s}\)、总质量 \(3\,\mathrm{kg}\)。所以 \(\vec V=(2,2)\,\mathrm{m/s}\)，速率 \(2\sqrt2\,\mathrm{m/s}\)，东偏北 \(45^\circ\)。不能把两个正交动量大小直接相加；只问方向时则无需先求速率。
相对筏的距离不等于对水面的位移
选学练习 3。 \(50\,\mathrm{kg}\) 人与 \(150\,\mathrm{kg}\) 均匀木筏初静止，筏长 \(6.0\,\mathrm m\)，水平水阻可忽略。人从筏左端走到右端。取右为正，求人和筏相对水面的位移。
展开选学练习 3 解析
设筏对水位移 \(q\)，人对水位移 \(q+6\)。全系统初始质心静止且无水平外力，\(150q+50(q+6)=0\)，故 \(q=-1.5\,\mathrm m\)；人对水位移 \(+4.5\,\mathrm m\)。验算 \(150(-1.5)+50(4.5)=0\)。
若题目改给人的速度相对水面 \(v\)，则直接写 \(Mv_{\mathrm{raft}}+mv=0\)。若给相对筏速度 \(w\)，人的水面速度应写 \(w+v_{\mathrm{raft}}\)。两种速度的参考系不同，分母不能照搬。
相遇点也要说明参考系：无外力时全质心匀速；只有在初始质心静止的惯性系中，相遇位置才固定在初质心处。另一个惯性系若有初始质心速度 \(U\)，相遇坐标还需加上 \(U\) 乘相遇历时。
14. 选学：范围传播与轻质量近似
若 \(\pm\) 明确表示给定范围，而关系是已知正比例 \(v_f=\alpha v_i\)，上、下界同乘 \(\alpha\)。这不是通用的统计误差组合规则。
轻质量目标也要保留精确式。质量 \(M\) 初速 \(+u\)，质量 \(\varepsilon M\) 初速 \(-u\)，\(\varepsilon>0\)；若粘合且外冲量零，
\[v_f=u\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}.\]
只有 \(\varepsilon\ll1\) 才可近似 \(v_f\approx u\)。正的有限轻质量仍使末速度与 \(u\) 有偏差；这一粘合模型也不是弹性轻球反弹。
选学练习 4。 已给 \(v_f=v_i/3\)，\(v_i=(9.0\pm0.6)\,\mathrm{m/s}\) 的 \(\pm\) 表示范围。求末速度范围。另在上面的粘合模型中取 \(\varepsilon=0.015\)，求精确 \(v_f/u\)，并指出近似为 \(1\) 时忽略的、以初速 \(u\) 为参照的百分比偏差。
展开选学练习 4 解析
输入上下界 \(8.4\) 与 \(9.6\) 同除 \(3\)，得末范围 \([2.8,3.2]\,\mathrm{m/s}\)，即 \((3.0\pm0.2)\,\mathrm{m/s}\)。
\(v_f/u=0.985/1.015\approx0.9704\)。相对初速 \(u\) 的偏差为 \(1-0.9704\approx2.96\%\)；若以精确末速度为百分比参照，分母会不同，需另说明。共同末速与小质量近似条件都要保留。