Problem Solving Lesson 将量热、导热和气体过程连接起来。可先回顾 Lesson 01：温度与内能、Lesson 02：气体动理论 和 Lesson 03：热力学定律与 P–V 图。先确认所问的是温度、热量、传热率还是内能，再选择起始式。气体做功统一记为 \(W_{\mathrm{by}}\)，吸热 \(Q\) 为正。
1. 温度、热量与传热率使用不同单位
温度描述热状态，热量描述因温差而传递的能量，传热率描述每单位时间传递多少能量。同温物体不一定具有相同总内能；摸起来更冷，也可能只是从手取热更快。
无相变、比热按常量处理时，\(Q=mc(T_f-T_i)\)。这里是温差，不是末温度。温差四摄氏度等于四开尔文；理想气体温度比则必须使用绝对温度。
例题：加热时间。 \(0.50\,\mathrm{kg}\) 样品，比热 \(600\,\mathrm{J/(kg\,K)}\)，由 \(290\) 升到 \(294\,\mathrm K\)，有效加热功率 \(120\,\mathrm W\)，无相变和其他显著能量变化。
\[Q=0.50(600)(294-290)=1200\,\mathrm J, \qquad t=Q/P=10\,\mathrm s.\]
若给输入功率与效率，应先求有效功率。克换成千克，温差与末温分开，是代入前的两项检查。
2. 量热用共同终温，逐个写能量账
例题：热样品放入冷水。 样品质量 \(0.50\,\mathrm{kg}\)、比热 \(420\,\mathrm{J/(kg\,K)}\)、初温 \(80^\circ\mathrm C\)；水质量 \(0.10\,\mathrm{kg}\)、比热 \(4200\,\mathrm{J/(kg\,K)}\)、初温 \(20^\circ\mathrm C\)。隔热，忽略容器吸热、相变及外功。
最终达到共同温度 \(T_f\)，采用“失去量等于得到量”：
\[0.50(420)(80-T_f)=0.10(4200)(T_f-20), \qquad T_f=40^\circ\mathrm C.\]
样品放热 \(8400\,\mathrm J\)，水吸热同样大小。若采用带符号热量，写 \(Q_s+Q_w=0\)；不能先把两者都取正，再相加为零。
终温靠近热容量 \(mc\) 较大的一方。两个初温的简单平均只有在对应热容量相等且满足上述模型时才成立。若容器吸热或发生相变，要把那一项加入系统能量账。
3. 稳态导热先找热流截面和图线斜率
一维稳态导热、边界温度稳定，
\[P_{\mathrm{heat}}=\frac Qt=\frac{kA\Delta T}{L}.\]
\(A\) 是垂直热流的截面，\(L\) 是沿热流的长度，不是侧面积或体积。稳态棒可以持续传热，却不继续蓄热升温。
例题：由累积热量图求材料参数。 长 \(0.50\,\mathrm m\)、截面 \(0.010\,\mathrm{m^2}\) 的棒，两端温差 \(50\,\mathrm K\)。稳态 \(Q\)–\(t\) 直线在相隔两秒的两点间增加 \(400\,\mathrm J\)。
\[P_{\mathrm{heat}}=400/2=200\,\mathrm W, \qquad k=\frac{PL}{A\Delta T}=200\,\mathrm{W/(m\,K)}.\]
斜率用两个坐标的差，不把某个热量值当功率。串联棒若界面不蓄能且无侧向损失，两段流率相同；等截面时 \(k|\Delta T/L|\) 相同。温度梯度更大的一段导热率更小。
4. 气体比例先圈定不变量
理想气体满足 \(PV=nRT\)。同一样本 \(n\) 固定时，两状态有 \(P_1V_1/T_1=P_2V_2/T_2\)，温度用开尔文。
例题：固定体积升温。 同一样本气体从 \(300\) 升到 \(450\,\mathrm K\)，体积固定，\(P_f/P_i=450/300=3/2\)。若比较两次恒容实验的 \(P\)–\(T\) 直线，斜率为 \(nR/V\)；同一样本体积减半，斜率加倍。
每粒子的平均平动动能 \(\overline K=3k_{\mathrm B}T/2\)。同温的不同气体平均平动动能相同，典型速率却还依赖粒子质量，\(v_{\mathrm{typ}}\propto\sqrt{T/m}\)。
样本总内能还要看粒子数和有效自由度。只有明确采用单原子理想气体模型时，才写 \(U=3nRT/2=3PV/2\)；“理想气体”本身不等于所有分子都只有三个有效自由度。
5. 第一定律固定流入和流出的符号
以气体为系统，\(Q\) 吸热为正，\(W_{\mathrm{by}}\) 是气体对外做功：
\[\Delta U=Q-W_{\mathrm{by}}=Q+W_{\mathrm{on}}, \qquad W_{\mathrm{on}}=-W_{\mathrm{by}}.\]
例题：放热同时被压缩。 气体向外放热 \(20\,\mathrm J\)，外界对气体做功 \(50\,\mathrm J\)。因此 \(Q=-20\)、\(W_{\mathrm{by}}=-50\,\mathrm J\)，\(\Delta U=-20-(-50)=+30\,\mathrm J\)。
不要只见“做功”就填正值，先看谁对谁。内能变化是末减初；如果题给 \(U_i\)，还需 \(U_f=U_i+\Delta U\)，不能把存量与变化量混在一起。
6. P–V 图分开端点和路径
端点的 \(PV\) 决定同一样本的温度比。准静态路径若图示压力代表边界做功压力，路径有符号面积给 \(W_{\mathrm{by}}=\int P\,dV\)。
例题：沿斜直线膨胀。 同一样本气体由 \((V,P)=(2\,\mathrm L,100\,\mathrm{kPa})\) 沿直线到 \((4\,\mathrm L,300\,\mathrm{kPa})\)。
\[\frac{T_f}{T_i}=\frac{300(4)}{100(2)}=6, \qquad W_{\mathrm{by}}=\frac{100+300}{2}(4-2)=400\,\mathrm J.\]
\(1\,\mathrm{kPa\,L}=1\,\mathrm J\)。若另外给单原子理想气体模型，\(\Delta U=3[300(4)-100(2)]/2=1500\,\mathrm J\)，所以 \(Q=1900\,\mathrm J\)。
换一条同初末路径，温度变化不变，功和热量却可能改变。不能用某一个端点压力乘全程体积变化代替斜线路径面积。
7. 过程限制与完整循环各给什么条件
定容给边界功为零；理想气体等温给内能变化为零；绝热给 \(Q=0\)。三种零量不同。这里定容零功只针对活塞边界功；若有搅拌或电功，也应另计。
完整循环回到原态，\(\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0\)，所以 \(Q_{\mathrm{net}}=W_{\mathrm{by,net}}\)。P–V 图顺时针循环净对外功为正，大小为封闭面积；逆时针则为负。
例如高、低压相差 \(100\,\mathrm{kPa}\)，最大、最小体积相差两升，顺时针矩形循环净对外功为 \(200\,\mathrm J\)，净吸热同样为 \(200\,\mathrm J\)。这不是每一段热量都为正，也不是气体单次从热源吸收的全部热量。
8. 自主练习先写所用限制
练习 1：热量与时间。 \(0.20\,\mathrm{kg}\) 样品，比热 \(1000\,\mathrm{J/(kg\,K)}\)，从 \(290\) 升到 \(293\,\mathrm K\)，有效功率 \(60\,\mathrm W\)，无相变。求热量和时间。
展开练习 1 解析
温差为三开尔文，\(Q=0.20(1000)(3)=600\,\mathrm J\)，\(t=600/60=10\,\mathrm s\)。\(293\,\mathrm K\) 是末温度，不是温差。
练习 2：导热图线。 稳态棒长两米、截面 \(0.25\,\mathrm{m^2}\)、温差 \(40\,\mathrm K\)，累积热量图经过 \((1\,\mathrm s,20\,\mathrm J)\) 与 \((5\,\mathrm s,100\,\mathrm J)\)。求传热率及导热率。
展开练习 2 解析
\(P=(100-20)/(5-1)=20\,\mathrm W\)，\(k=PL/(A\Delta T)=4\,\mathrm{W/(m\,K)}\)。图线不从原点开始，仍用坐标差求斜率。
练习 3：恒压能量账。 气体在 \(200\,\mathrm{kPa}\) 下准静态由一升膨胀到三升，内能增加 \(600\,\mathrm J\)，只有热传递及边界功。求 \(W_{\mathrm{by}}\)、\(W_{\mathrm{on}}\) 与 \(Q\)。
展开练习 3 解析
\(W_{\mathrm{by}}=200(3-1)=400\,\mathrm J\)，\(W_{\mathrm{on}}=-400\,\mathrm J\)。\(Q=\Delta U+W_{\mathrm{by}}=1000\,\mathrm J\)，为吸热。
练习 4：绝对温度。 同一样本理想气体，体积固定，由 \(27^\circ\mathrm C\) 升到 \(127^\circ\mathrm C\)。取 \(273\) 为温标换算近似，求压强比。若两样本物质量不同，能否直接沿用同一比值？
展开练习 4 解析
两温度约为 \(300\) 与 \(400\,\mathrm K\)，压强比为 \(4/3\)，不是 \(127/27\)。物质量改变时，要回到 \(P=nRT/V\)，另计 \(n\) 的比值。
做 workbook 时，先列出系统边界、温度尺度、不变量和功的约定；再把端点状态与路径量分开。只有一道具体错步时，先补对应动作，再回原题完成整段能量账。
9. 选学热机、分布与模型边界
热机吸收热量大小 \(Q_h\)、排出热量大小 \(Q_c\)，一循环输出 \(W=Q_h-Q_c\)，效率 \(\eta=W/Q_h\)。例如输出 \(2000\,\mathrm J\)、效率 \(0.25\)，则 \(Q_h=8000\,\mathrm J\)、\(Q_c=6000\,\mathrm J\)。分母是吸热量，不是排热量。
可逆两热源模型的卡诺上限为 \(1-T_c/T_h\)，温度用开尔文。\(T_h=600\,\mathrm K\)、\(T_c=300\,\mathrm K\) 时上限为 \(0.50\)；真实不可逆热机不能超过这一上限。第二定律约束系统与环境的总熵，不能只看气体自己的熵。
同种气体的典型速率加倍，温度变为四倍；混合后的平衡温度需按粒子数和有效热容加权，不能把两个峰值速率取算术平均。充分再平衡后通常得到一个共同平衡分布，峰位不是两原峰的简单平均。
“过程很快”只有相对热交换时间足够短时才支持近似绝热；两个端点 \(PV\) 相同也不保证整条路径等温。模型条件应从过程信息确定，不由一个端点或一句关键词替代。