Problem Solving Lesson 从行波图像推进到叠加、驻波与干涉。可先回顾 Lesson 01：波的性质、Lesson 02：波的行为 和 Lesson 03：波的叠加。除非另有说明，以下讨论线性介质、小振幅波和理想边界。
1. 空间图读波长，时间图读周期
固定时刻的位移对位置图中，相邻同相点的横坐标差给波长 \(\lambda\)；固定位置的位移对时间图中，相邻同相时刻的间隔给周期 \(T\)。
\[v=f\lambda=\frac\lambda T.\]
例题：两张图合用。 某波的空间图给相邻波峰距离 \(0.80\,\mathrm m\)，时间图给相邻正向过零时刻间隔 \(0.20\,\mathrm s\)。于是 \(f=5.0\,\mathrm{Hz}\)，\(v=4.0\,\mathrm{m/s}\)。波峰到相邻波谷的距离只是半个波长；一次过零到下次反向过零只是半个周期。
波进入另一种介质，连续驱动源的频率保持不变，速度改变时波长跟着变。弦波速度由张力和线密度决定，不由某个质点上下运动的速度决定。
2. 行波平移与介质质点运动分开看
向右传播的波可以写成 \(y(x,t)=g(x-vt)\)，向左传播则为 \(g(x+vt)\)。这是波形的平移，并不表示介质质点跟着波峰横穿介质。
例题：右行波的当地运动。 一段波形在当前时刻随 \(x\) 上升，即 \(\partial y/\partial x>0\)。右行时
\[\frac{\partial y}{\partial t}=-v\frac{\partial y}{\partial x}<0,\]
该位置质点正在向下。也可把后一个时刻的整张图向右移动少许，在相同 \(x\) 上比较两次高度，得到相同方向。
在光滑波峰或波谷，瞬时横向速度为零，质点通常仍有加速度；不能据此判断整个波停止。固定端反射位移脉冲反相，自由端反射位移脉冲不反相。
3. 脉冲叠加逐位置相加，碰后继续传播
例题：一个正脉冲遇到负脉冲。 两个线性波脉冲在某位置分别贡献 \(+3\,\mathrm{cm}\) 和 \(-2\,\mathrm{cm}\)，当时合位移为 \(+1\,\mathrm{cm}\)。若完全重合且处处等大反号，合位移可暂时全为零，随后仍会分开。
不能把两个脉冲的最大值相加后，直接当成每一个位置的合位移。脉冲部分重叠时，先标出各个折点在当前时刻的位置，再分段相加。线性叠加的相消不表示总能量在交叠时永久消失。
4. 驻波先由两端条件确定允许波长
两端固定的理想弦，端点是位移波节，允许条件为
\[L=n\frac\lambda2, \qquad f_n=\frac{nv}{2L},\quad n=1,2,3,\ldots.\]
例题：弦的第三谐波。 \(L=0.60\,\mathrm m,v=120\,\mathrm{m/s}\)。第三谐波有三个波腹、四个波节（包括两端），\(\lambda=2L/3=0.40\,\mathrm m\)，\(f_3=300\,\mathrm{Hz}\)。
相邻位移波节相距半波长，相邻波节与波腹相距四分之一波长。驻波没有一个整体向前移动的波峰，不能用单个腹点的运动速度代替行波速度。
5. 空气柱要区分位移与压力边界
理想闭端是空气位移波节、压力波腹；理想开端是位移波腹、压力波节。开口端近似条件忽略端部修正。
一端闭一端开的空气柱有
\[L=(2j-1)\frac\lambda4, \qquad f_j=\frac{(2j-1)v}{4L},\quad j=1,2,3,\ldots.\]
例题：封闭管的下一共振。 \(L=0.85\,\mathrm m,v=340\,\mathrm{m/s}\)。基频 \(f_1=100\,\mathrm{Hz}\)，下一允许共振是 \(300\,\mathrm{Hz}\)，属于第三谐波。第二个允许振型不等于第二谐波。
两端开口的理想管允许全部正整数谐波，基频为 \(v/(2L)\)。先判边界再数谐波，不要只看“管长”套统一公式。
6. 双缝亮暗条纹与单缝暗纹分别处理
两相干、同相且强度相同的理想窄缝，明纹满足路径差 \(d\sin\theta=m\lambda\)，暗纹满足 \(d\sin\theta=(m+1/2)\lambda\)。小角度远屏时，\(\sin\theta\approx y/L\)。
例题：双缝第一侧亮纹。 \(d=0.50\,\mathrm{mm},L=2.0\,\mathrm m,\lambda=500\,\mathrm{nm}\)，则
\[y_1\approx\frac{L\lambda}{d}=2.0\,\mathrm{mm}.\]
第一暗纹在距中央 \(1.0\,\mathrm{mm}\) 处；相邻亮纹间距为 \(2.0\,\mathrm{mm}\)。
单缝宽度为 \(a\) 时，衍射暗纹满足 \(a\sin\theta=m\lambda\)，\(m=\pm1,\pm2,\ldots\)。单缝的 \(m=0\) 不是暗纹。
例题：单缝中央亮纹全宽。 \(a=0.20\,\mathrm{mm}\)，仍用同一 \(L\) 与 \(\lambda\)。第一暗纹距中心约 \(5.0\,\mathrm{mm}\)，中央亮纹从左第一暗纹到右第一暗纹，全宽约 \(10\,\mathrm{mm}\)。半宽与全宽差一倍。
7. 薄膜干涉同时数反射相变与传播相位
从较低折射率介质向较高折射率介质反射，在通常的理想界面模型中引入半周相变；反向反射不引入这一半周相变。透射进入膜内的频率不变。
例题：空气中玻璃薄膜的最薄反射增强。 膜折射率 \(n=1.50\)，膜两侧为空气，真空波长 \(\lambda_0=600\,\mathrm{nm}\)，正入射。上表面反射有半周相变，下表面反射没有，因此反射相变相差半周。传播往返光程为 \(2nt\)，增强条件为
\[2nt=\left(m+\frac12\right)\lambda_0.\]
最小正厚度 \(t=\lambda_0/(4n)=100\,\mathrm{nm}\)。若下侧介质折射率比膜还高，两次反射都可能有半周相变，此时不能继续套同一个增强条件。斜入射还要计膜内角度的余弦。
8. 拍频比较频率，不能把周期相减
例题：两个音叉。 两音叉频率为 \(440\,\mathrm{Hz}\) 和 \(446\,\mathrm{Hz}\)，叠加后强弱起伏的拍频为 \(|446-440|=6\,\mathrm{Hz}\)，相邻强音间隔约 \(1/6\,\mathrm s\)。
如果只知与 \(440\,\mathrm{Hz}\) 音叉产生 \(6\,\mathrm{Hz}\) 拍，另一个频率可能是 \(434\,\mathrm{Hz}\) 或 \(446\,\mathrm{Hz}\)。要靠增加质量等额外变化判断在哪一侧，不能凭拍频本身只选高的一支。
9. 独立练习：先标模型，再读图或公式
练习 1。 空间图的相邻波峰间隔为 \(1.2\,\mathrm m\)，同一位置的相邻波峰出现间隔为 \(0.30\,\mathrm s\)。求速率。若频率不变、速度加倍，波长怎样变？
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\(v=1.2/0.30=4.0\,\mathrm{m/s}\)。驱动频率固定时，\(\lambda=v/f\)，速度加倍使波长加倍至 \(2.4\,\mathrm m\)。振幅信息不进入此波速计算。
练习 2。 两端固定弦长 \(0.80\,\mathrm m\)、波速 \(160\,\mathrm{m/s}\)。某振型有四个波腹。求频率及包括两端的波节数。
展开练习 2 解析
四个波腹对应 \(n=4\)，\(\lambda=2L/n=0.40\,\mathrm m\)，\(f=400\,\mathrm{Hz}\)。包括端点共有五个波节。波腹数与波节数不能混用。
练习 3。 一端闭一端开的理想管长 \(0.50\,\mathrm m\)，波速 \(340\,\mathrm{m/s}\)。求前两次允许共振频率，并说明闭端的压力振动性质。
展开练习 3 解析
基频为 \(340/(4\times0.50)=170\,\mathrm{Hz}\)，第二次允许共振为 \(3\times170=510\,\mathrm{Hz}\)。闭端空气位移为节、压力为腹；不能把位移边界直接当成压力边界。
练习 4。 双缝间距 \(0.25\,\mathrm{mm}\)、屏距 \(1.5\,\mathrm m\)，使用真空中 \(600\,\mathrm{nm}\) 的光，整套装置在空气中。求中央亮纹到第二侧亮纹的距离。若装置整体浸入折射率 \(1.50\) 的透明介质，距离怎样变？
展开练习 4 解析
空气中 \(y_2\approx2L\lambda_0/d=7.2\,\mathrm{mm}\)。介质中波长为 \(400\,\mathrm{nm}\)，几何距离保持，故距离变成原来的 \(1/1.50\)，即 \(4.8\,\mathrm{mm}\)。这里说明整套光路同处该介质；只有某一小段加入介质时不能这样整体缩放。
练习 5。 同一点的两脉冲贡献为 \(-4\,\mathrm{cm}\) 和 \(+4\,\mathrm{cm}\)。此刻合位移是什么？能否据此断言两脉冲以后消失？
展开练习 5 解析
当地合位移为零。线性脉冲在交叠结束后仍可各自继续传播；一个时刻的合位移不决定全部动能与弹性势能，也不能证明脉冲永久消失。
10. 选学：强度、偏振与移动源
均匀无吸收介质中，固定频率的线性波强度通常与振幅平方成正比。各向同性点源在自由空间传播时，强度 \(I=P/(4\pi r^2)\)；距离加倍使强度成为四分之一。这两个比例分别比较振幅与传播距离。
线偏振光通过理想分析器，\(I=I_0\cos^2\theta\)，角度从入射偏振方向到分析器透光轴。非偏振光先通过理想偏振片时平均强度减半，第二片再用马吕斯定律。
例题：两片偏振片。 非偏振光强度 \(I_0\)，两透光轴成 \(60^\circ\)，最终强度为 \((I_0/2)\cos^260^\circ=I_0/8\)。第一次的减半不能省略。
声音的经典多普勒问题要相对于介质定义源、观察者速度。静止观察者前方，朝其移动的声源把前方波峰压近；若声源速率 \(v_s<v\)，\(f'=fv/(v-v_s)\)。这套声波模型不能直接作为真空光的相对论公式。
理想多缝光栅的主极大满足 \(d\sin\theta=m\lambda\)，可能级次还必须满足 \(|m\lambda/d|\le1\)。将缝数增加可以改变峰宽与亮度，但不能在间距固定时随意改变主极大的角位置。