Problem Solving Lesson 从光子和能级推进到核反应与衰变。可先回顾 Lesson 01：原子结构证据、Lesson 02：光电效应、Lesson 03：波粒二象性、Lesson 04：黑体与光谱、Lesson 05：原子能级、Lesson 06：放射性衰变 和 Lesson 07：核裂变与聚变。近代物理中相似的符号可能代表不同对象，计算前要先写清楚。
1. 单个光子能量与光束总功率分开
\[E_\gamma=hf=\frac{hc}{\lambda_0}, \qquad p_\gamma=\frac{E_\gamma}{c}, \qquad \dot N=\frac P{E_\gamma}.\]
\(\lambda_0\) 是真空波长，\(P\) 是整束光的能量率。常用 \(hc\approx1240\,\mathrm{eV\,nm}\)，\(1\,\mathrm{eV}=1.602\times10^{-19}\,\mathrm J\)。
例题：同样功率、不同颜色。 A 光子能量 \(2.0\,\mathrm{eV}\)，B 光子能量 \(4.0\,\mathrm{eV}\)，两束功率都为 \(3.204\,\mathrm{mW}\)。A 每秒有 \(10^{16}\) 个光子，B 每秒有 \(5.0\times10^{15}\) 个。功率相同不表示每秒光子数相同。
如果波长缩短一半，单个光子的能量与动量都加倍；在功率保持时，光子到达率减半。介质中的短波长不能未经说明代入真空 \(hc/\lambda_0\)。
2. 光电效应先查阈值，再求最大动能
对普通单光子光电效应，
\[K_{\max}=hf-\phi,\qquad f_0=\frac\phi h, \qquad eV_s=K_{\max}.\]
例题：能量够不够。 金属逸出功 \(\phi=2.0\,\mathrm{eV}\)，以 \(400\,\mathrm{nm}\) 真空波长照射，\(E_\gamma=1240/400=3.10\,\mathrm{eV}\)，最大动能 \(1.10\,\mathrm{eV}\)，截止电压大小 \(1.10\,\mathrm V\)。
若波长改为 \(700\,\mathrm{nm}\)，光子能量约 \(1.77\,\mathrm{eV}\)，低于阈值。即使增大光束强度，单光子模型仍不能用许多低能光子的能量相加来释放一个电子。
频率固定且高于阈值，增大照射强度可以增加发射电子数与饱和电流，通常不改变 \(K_{\max}\)。截止电压测最大动能，饱和电流测每秒到达的电荷，二者不是同一个读数。
3. 物质波用动量，近似条件要保留
\[\lambda=\frac hp.\]
非相对论粒子可用 \(p=mv\)，也可在已知动能时用 \(p=\sqrt{2mK}\)。电子从静止被电压大小 \(V\) 加速且速度远低于光速时，\(K=eV\)，所以 \(\lambda=h/\sqrt{2meV}\)。
例题：同质量粒子的动能变为四倍。 动量变为两倍，德布罗意波长变为一半。若只知道速度加倍，但原速度已接近光速，就不能继续用 \(mv\) 给同一结论。
一维位置概率密度由 \(|\psi(x)|^2\) 描述。若相同长度的两个很小区间内，波函数幅值分别近似为 \(2a\) 与 \(a\)，概率约为四比一。波函数的负号不表示负概率。三维径向分布还涉及体积元，不能把 \(|\psi|^2\) 的最大位置一律当成径向概率最大的半径。
4. 光谱先确认初态，再找能量差
原子吸收或发射光子时，光子能量等于允许的能级差，\(hf=|E_f-E_i|\)。同一套能级不表示每个时刻都能走任意跃迁。
例题：三个给定能级。 \(E_1=-5.0\,\mathrm{eV},E_2=-3.0\,\mathrm{eV},E_3=-1.0\,\mathrm{eV}\)。原子最初在 \(E_1\)，能吸收 \(2.0\,\mathrm{eV}\) 到 \(E_2\)，也能吸收 \(4.0\,\mathrm{eV}\) 到 \(E_3\)；在只给这三个束缚能级且忽略展宽的模型中，\(3.0\,\mathrm{eV}\) 不对应从该初态出发的允许束缚跃迁。
若原子已在 \(E_3\)，可直接发射 \(4.0\,\mathrm{eV}\) 回到 \(E_1\)，或分两步各发射 \(2.0\,\mathrm{eV}\)。不同能级对可以给相同能量差，因此三个向下能级对在此例只产生两种不同频率，不能机械地把“跃迁对数”当成“不同谱线数”。
以零能量表示游离阈值时，基态 \(-5.0\,\mathrm{eV}\) 的电离至少需要 \(5.0\,\mathrm{eV}\)。能级的绝对负号与发射光子的正能量要区分。
5. 黑体的峰位与总辐射用不同规律
理想黑体的波长谱峰满足 \(\lambda_{\max}T=b\)，总辐射功率满足 \(P=\sigma AT^4\)。真实物体可在给定发射率模型下加入 \(\epsilon\)；与环境交换净功率还需计环境辐射。
例题：面积不变、温度加倍。 理想黑体由 \(3000\,\mathrm K\) 升到 \(6000\,\mathrm K\)，波长谱峰从约 \(966\,\mathrm{nm}\) 移到约 \(483\,\mathrm{nm}\)，总发射功率成为十六倍。
峰位变短不能直接推出总功率只变两倍。温度必须用开尔文。波长谱和频率谱的峰并非简单互取倒数的同一个最大值，应按题目说明的谱变量读峰。
6. 核反应先守质量数与电荷，再核能量
质量数 \(A\) 计核子数，原子序数 \(Z\) 计核内质子数。方程两侧 \(A\) 总和与电荷总和相等，不表示静止质量也逐项相等。
例题：α 衰变的剩余核。 \(^{238}_{92}\mathrm U\) 放出 \(^4_2\mathrm{He}\)，子核为 \(^{234}_{90}\mathrm{Th}\)。中子数由 \(146\) 变为 \(144\)，不能只把原子序数减二而保留质量数。
β⁻ 衰变中，核内中子变成质子并发出电子和反电子中微子，核的 \(A\) 不变、\(Z\) 增一。电子的质量数为零、电荷数为负一；方程还应保留粒子种类与题目要求的守恒量。
\[Q=\left(\sum m_{\mathrm{initial}}-\sum m_{\mathrm{final}}\right)c^2.\]
反应释放 \(Q>0\)，说明产物静止质量总和更小。中子、电子等若出现在反应中，都要按使用的质量表纳入；不能只计算两个最大核。
7. 反应能量按一次反应计，再乘实际次数
例题：一套完整质量表。 裸核反应 \(^2_1\mathrm H+{}^3_1\mathrm H\rightarrow{}^4_2\mathrm{He}+{}^1_0n\)。给定同一裸核质量体系的四个质量分别为 \(2.0136,3.0155,4.0015,1.0087\,\mathrm u\)，并取 \(1\,\mathrm u\,c^2=931.5\,\mathrm{MeV}\)。
\[\Delta m=2.0136+3.0155-4.0015-1.0087=0.0189\,\mathrm u, \quad Q\approx17.6\,\mathrm{MeV}.\]
此例质量是给定的四舍五入值，所以结果也保留相应精度。若初态动能总和为 \(0.40\,\mathrm{MeV}\)、没有其他能量输出，则产物总动能约为 \(18.0\,\mathrm{MeV}\)；不能把初态动能丢掉，也不能仅靠总能量断定中子和氦核各分一半。
如果 \(10^{12}\) 次反应实际发生，释放总能量约 \(17.6\times10^6\times1.602\times10^{-19}\times10^{12}=2.82\,\mathrm J\)。反应次数由消耗的反应物对数决定，不能把所有核子数当成反应次数。
中性原子质量与裸核质量不能混搭。使用原子质量时，要核对反应两侧电子数是否抵消、是否另需电子质量与束缚能修正。
8. 半衰期计算剩余量，分阶段衔接
固定核素、固定衰变常量且没有补充样本时，
\[N(t)=N_0\left(\frac12\right)^{t/T_{1/2}}, \qquad A(t)=\lambda N(t),\quad \lambda=\frac{\ln2}{T_{1/2}}.\]
例题：经过两次半衰期。 初有 \(8.0\times10^6\) 个未衰变母核，半衰期为三天。六天后剩 \(2.0\times10^6\) 个，已衰变 \(6.0\times10^6\) 个。后一项来自初量减剩余量，不是再把初量乘四分之一。
若第二阶段换了样本、补充了核素或改变了有效计数条件，要先更新第二阶段的起始量。核素自身的半衰期通常不因把样本量减半而改变；剩余量很少时，随机波动不能保证每个小样本精确减半。
9. 独立练习：对象和单位都写清楚
练习 1。 逸出功为 \(2.2\,\mathrm{eV}\) 的金属受到 \(310\,\mathrm{nm}\) 光照射。求最大光电子动能和截止电压大小。频率固定、强度加倍会怎样影响这两个量？
展开练习 1 解析
光子能量 \(1240/310=4.0\,\mathrm{eV}\)，所以 \(K_{\max}=1.8\,\mathrm{eV}\)，截止电压大小为 \(1.8\,\mathrm V\)。在普通单光子模型和相同材料条件下，这两个最大能量量不变；发射电子到达率和饱和电流可以增大。
练习 2。 两束同频光，第一束功率是第二束的三倍。比较单个光子能量及每秒光子数；再说明光束功率不变而光子能量变成三倍时的计数率。
展开练习 2 解析
同频给相同的单光子能量，第一束每秒光子数是第二束三倍。若功率固定而单光子能量变三倍，\(\dot N=P/E_\gamma\) 变成三分之一。比较前先明确哪个条件保持。
练习 3。 某一维波函数在两个等长小区间内的幅值近似为 \(-3a\) 和 \(+a\)。比较当地位置概率。若同质量的非相对论粒子动能变为九倍，波长怎样变？
展开练习 3 解析
概率密度比为 \(|-3a|^2/|a|^2=9\)，负号不产生负概率。动量按 \(\sqrt K\) 变为三倍，德布罗意波长变成三分之一。两项使用不同物理模型，不应把幅值比例移到粒子动量中。
练习 4。 \(^{14}_{6}\mathrm C\) 发生 β⁻ 衰变。求子核的 \(A,Z\)；初始母核经过三次半衰期后，分别有多少比例未衰变、已衰变？
展开练习 4 解析
子核为 \(^{14}_{7}\mathrm N\)，并发出电子与反电子中微子。剩余母核比例为 \(1/8\)，已衰变母核比例为 \(7/8\)。这里比较母核是否衰变，不把可能继续衰变的子核链混入。
练习 5。 给定完整反应两侧静止质量之差为 \(0.010\,\mathrm u\)，反应物初始总动能为 \(2.0\,\mathrm{MeV}\)，没有其他能量去向。取 \(1\,\mathrm u\,c^2=931.5\,\mathrm{MeV}\)。求释放的反应能量及产物总动能。
展开练习 5 解析
\(Q=9.315\,\mathrm{MeV}\)，产物总动能 \(K_f=K_i+Q=11.315\,\mathrm{MeV}\)。按输入精度可写约 \(9.3\,\mathrm{MeV}\) 和 \(11.3\,\mathrm{MeV}\)。\(Q\) 与总末态动能不相同，除非初态动能可忽略。
10. 选学：散射、氢样原子与衰变阶段
卢瑟福散射中，大角度或反向散射说明原子的正电荷和大部分质量集中在很小区域；多数粒子直通过与这一结论相容。粒子接近核时的动能变化，可在给定静电近似下由动能与电势能守恒判断。
氢样单电子体系的简化能级为 \(E_n=-13.6Z^2/n^2\,\mathrm{eV}\)。它不能直接套到任意多电子原子。发射光子的能量取两个能级之差，不把轨道编号的差当能量差。
康普顿散射中，自由、初始静止电子模型给散射光子波长增量
\[\Delta\lambda=\frac{h}{m_ec}(1-\cos\theta).\]
正向散射增量为零，反向最大；光子一般失去部分能量，电子获得反冲动量与动能。这里同时需要能量和动量守恒，不能用经典静止电子吸收整颗光子的想法替代。
例题：分阶段计数。 某阶段结束剩余 \(N_0/4\)，随后在没有补充的条件下又过一个相同半衰期，最终剩 \(N_0/8\)，后一阶段新衰变 \(N_0/8\)。后一阶段的起点是 \(N_0/4\)，不是重新回到 \(N_0\)。
研究不同温度的净热辐射时，可在给定灰体模型下使用 \(P_{\mathrm{net}}=\epsilon\sigma A(T^4-T_{\mathrm{env}}^4)\)。这一步把环境交换加入，不能由发射功率单独判断样本净降温率。