Problem Solving Lesson 先区分“源产生的磁场”“磁场对电荷或电流的力”“变化磁通量产生的电动势”，再接到 RL 与 LC 的初末状态。阅读前可回顾 Lesson 01：电流的磁场、Lesson 02：磁力、Lesson 03：电磁感应、Lesson 04：磁性的来源 和 Lesson 05：电感。本课数值题取 \(\mu_0=4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{T\,m/A}\)。
1. 先认清三个不同的方向问题
电流产生场，先按源电流与观察位置定 \(\vec B\)；场对运动电荷的力，用 \(\vec F_B=q\vec v\times\vec B\)；感应回路方向先按 Lenz's law 决定所需感应场，再用回路右手法则给电流。不要看到“磁”就套同一个手势。
纸面外记 \(+z\)、纸面内记 \(-z\)。叉乘 \(\hat x\times\hat y=\hat z\)，交换次序会反号。运动电荷产生的场中，径向矢量从源指向观察点；求电荷受力时则直接用观察点的场，不再插入源到点的矢量。
开关题另标切换前、刚切换后与很久后。电动势 emf 不等于一定有电流；闭合回路、返回电阻与初始储能都要检查。
2. 长直导线：先定绕向，再叠加大小
理想无限长细直线在距离r处给 \(B=\mu_0I/(2\pi r)\)，方向绕导线成圆。距离是到直线的垂距。
例题：两线的中点。 两根平行细线穿纸面向外，分别在 \(x=-0.10\,\mathrm m\) 与 \(x=+0.10\,\mathrm m\)；左流4 A、右流2 A。中点处左源场向上 \(8\,\mu\mathrm T\)，右源场向下 \(4\,\mu\mathrm T\)，合场向上 \(4\,\mu\mathrm T\)。
同向平行电流相吸、反向相斥，双线力大小相等反向。某一根电流更大不会使两根相互作用力不同；若问单位长度力，用 \(F/\ell=\mu_0I_1I_2/(2\pi d)\)。
3. 安培定律：包围电流之外，还要有对称性
磁静态真空中 \(\oint\vec B\cdot d\vec\ell=\mu_0I_{\rm enc}\)。环路绕向与面法向遵循右手约定，穿面反向电流要代数相减。
例题：均匀实心导线。 很长的圆导线半径 \(R=0.020\,\mathrm m\)，总流6 A均匀分布。内部 \(I_{\rm enc}=I r^2/R^2\)；圆柱对称性给同轴圆上B切向等大，因此
\[B(r)=\begin{cases}\mu_0Ir/(2\pi R^2),&r<R,\\\mu_0I/(2\pi r),&r>R.\end{cases}\]
在 \(r=0.010\,\mathrm m\) 为 \(30\,\mu\mathrm T\)，表面为 \(60\,\mu\mathrm T\)，在 \(r=0.040\,\mathrm m\) 又为 \(30\,\mu\mathrm T\)。内部不是点线源的 \(1/r\) 关系。
零包围电流只能直接给零环流。除非另有足够对称性，不能说回路上每点B零。例如外部导线可以使不包围电流的回路各点有非零场，环流仍相消。
4. 圆线圈：磁矩、合力与力矩分开
N匝平面线圈磁矩 \(\vec\mu=NI\vec A\)，法向按电流右手定则。均匀场中闭合载流线圈的合力零，力矩大小 \(\tau=\mu B\sin\theta\)，\(\theta\) 是磁矩与场的夹角。
例题：线圈在均匀场中。 \(N=25\)、\(I=.40\,\mathrm A\)、\(A=.020\,\mathrm{m^2}\)、\(B=.10\,\mathrm T\)，磁矩与场夹30°。磁矩大小 \(.20\,\mathrm{A\,m^2}\)，力矩 \(.010\,\mathrm{N\,m}\)，合力仍零。
各边受力相消不保证力矩相消。若场非均匀，近远边力可以不等，闭合线圈合力也可能非零；不能把均匀场结论推广到靠近直导线的所有情境。
5. 电荷磁力：叉乘方向与电荷符号
磁力大小 \(|q|vB\sin\theta\)。静止、平行或反平行运动时磁力为零，不能由此说磁场本身零。
例题：向右的带电粒子。 \(q=+2.0\,\mu\mathrm C\)、\(v=300\,\mathrm{m/s}\) 向右，\(B=.20\,\mathrm T\) 向纸面外。\(\hat x\times\hat z=-\hat y\)，力向下、大小 \(1.2\times10^{-4}\,\mathrm N\)。换成同大小负电荷，力向上。
磁力与当时速度垂直，单独作用时不改变速率或动能，可改变运动方向。变化磁场还可能伴随感应电场，那时电场可以做功；“磁力不做功”不能替代对所有电磁作用的能量检查。
6. 轨道：只让垂直速度进入半径
匀强静磁场中，垂直速度给圆周运动：\(r=mv_\perp/(|q|B)\)，周期 \(T=2\pi m/(|q|B)\)。平行速度保持恒定；两分量都非零时是螺旋，螺距为 \(v_\parallel T\)。
例题：螺旋运动。 非相对论粒子 \(m=6.0\times10^{-10}\,\mathrm{kg}\)、\(|q|=3.0\,\mu\mathrm C\)，在 \(.10\,\mathrm T\) 场中 \(v_\perp=100\,\mathrm{m/s}\)、\(v_\parallel=30\,\mathrm{m/s}\)。半径 \(.20\,\mathrm m\)，周期 \(.0126\,\mathrm s\)，螺距约 \(.377\,\mathrm m\)。
总速率不能直接代半径。磁场轴向常速不意味着横向也直线运动。只有非相对论、固定m与q、匀强场模型下，周期才不依赖速率与半径。
7. 速度选择器与Hall极性先查载流子
速度选择器用 \(q\vec E+q\vec v\times\vec B=0\)。例如v向右、B向外，正电荷磁力向下，E应向上。互垂直时 \(v=E/B\)；\(E=600\,\mathrm{V/m}\)、\(B=.20\,\mathrm T\) 给 \(v=3000\,\mathrm{m/s}\)。换电荷符号会同时翻转两力，不改变选出的速率。
Hall effect 则先区分约定电流与真实载流子。例题：电子金属板。 约定电流向右、B向外，电子向左漂移。电子磁力向下，使下边积累负电荷、上边电势较高；稳态Hall电场向下，让电子电力向上平衡磁力。
若漂移速率50 m/s、B=.20 T、板横宽 \(.010\,\mathrm m\)，则 \(E_H=v_dB=10\,\mathrm{V/m}\)，上减下电势差 \(.10\,\mathrm V\)。此极性使用金属、电子单载流子与稳态平衡；正载流子模型会改变边缘极性。
8. 磁通量：用法向，问变化而不是场是否存在
平面均匀场磁通量 \(\Phi_B=\vec B\cdot\vec A=BA\cos\theta\)。角度相对于法向；给平面角度时用相应正弦。面积、法向场分量和相对取向任何一项变化都可能改通量。
Faraday's law 为 \(\mathcal E=-N\,d\Phi_B/dt\)。N表示通量链的匝数；若题中已给总通量链，不能再乘一次N。开路可有emf；闭合纯电阻回路才在适用近似下进一步用 \(I=\mathcal E/R\)。
读磁场图时，“B大”不等于“emf大”。瞬时emf由局部斜率决定，平均emf由有符号通量改变量除时间决定。
9. 磁场反向：过零时仍可能感应
例题：有符号场线性下降。 单匝面积 \(.020\,\mathrm{m^2}\)、电阻5 Ω，选纸面外法向。\(B\) 从0时的 \(+.30\,\mathrm T\) 线性降到6 s时的 \(-.30\,\mathrm T\)。忽略该回路自感。
\[\frac{dB}{dt}=-.10\,\mathrm{T/s},\qquad\mathcal E=-(.020)(-.10)=+.0020\,\mathrm V.\]
正绕向为逆时针，电流为 \(.40\,\mathrm{mA}\)、逆时针，在整段恒定。3 s时B恰零，导数仍非零，不能让电流在那里归零或翻向。
反过来由emf积分回B时，要保留初始值。若emf只是“随t线性增加”，一般只能得到二次多项式，不能自动删去一次项与常数项。
10. 楞次定律：反抗变化，再从场转成绕向
外场向纸面内且增强，向内磁通量增加，感应场要向外，回路电流逆时针。外场向内但减弱时，感应场改为向内、电流顺时针。被反抗的是磁通量的变化，不是一律反抗原场。
做靠近直线源或移动磁铁的题，先判回路位置的外场方向，再判大小如何变化。问作用在磁铁还是回路上的力，要指出受力对象；不能把一方的方向直接写给另一方。
原图只给电压测量时，先讨论emf或通量链；原图给闭合回路及有限返回电阻时，才讨论流过它的电流。开槽环和闭合环的感应电荷重新分布与持续回路电流并不相同。
11. 动生emf：面积变化、返回路径与机械功率
例题：恒速滑动杆。 杆长 \(.20\,\mathrm m\)，在向内 \(.40\,\mathrm T\) 均匀场中向右以3.0 m/s滑动，连接静止轨道及5 Ω电阻形成矩形闭环，忽略杆与轨道电阻及自感。杆和左返回边之间的面积增加，感应电流逆时针。
\[\mathcal E=B\ell v=.24\,\mathrm V,\qquad I=.048\,\mathrm A.\]
杆电流向上，\(I\vec\ell\times\vec B\) 给杆向左力 \(F_B=IB\ell=.00384\,\mathrm N\)。外力要维持恒速，大小相同、向右，机械功率
\[P_{\rm ext}=F_Bv=.01152\,\mathrm W=I^2R=\mathcal E^2/R.\]
恒速给合力零，不给磁力零。若还有摩擦，外力功率还要加摩擦耗散。
完整刚性闭环在全域静态均匀场中无旋转地平移，通量不变，净emf零；不能只取一个边的 \(B\ell v\)。进出有限磁区时用重叠面积随时间的变化，完全在区内与边缘穿越的阶段要分开。
12. 旋转线圈：先写初始法向，再定相位
例题：从法向平行场开始旋转。 N=10、A=.010 m²、B=.30 T，线圈以角速度20 rad/s在固定场中转动，法向与场的角度为 \(\omega t\)，忽略负载对运动的反馈。单匝通量 \(BA\cos\omega t\)，总emf为
\[\mathcal E=NBA\omega\sin\omega t, \qquad\mathcal E_{\max}=.60\,\mathrm V.\]
初时通量最大而emf零；到 \(t=\pi/(2\omega)\) 时通量首次零，emf达到正峰值。换初始取向会改相位，不能每次都从正弦或余弦口诀出发。若旋转轴不改变法向投影，场虽存在也不会由这个动作产生净emf。
13. 磁性材料：磁畴机制与剩磁条件
电流环的磁矩和运动电荷都可作为磁场源；铁磁样品的宏观磁化可用磁畴取向与畴占比解释。净磁化不要求每个磁畴永久固定，也不是自由电子的净电荷极化。
例题：明确有剩磁的样品。 已给样品在强场磁化后撤场仍保留非零净磁矩，因此可以继续产生磁场。这里的判断使用已给剩磁 remanence 条件。
仅观察“撤场后不再明显吸住铁屑”，不能单独把任意未知样品归类为顺磁体；软铁磁体也可能不保留明显磁化。比较材料时应检查题设是否明确材料种类、温度、历史或限制的模型，不能把两类简化实验当作所有真实材料的唯一分类规则。
14. 电感：磁通链、导数与初值
固定几何的线性电感满足 \(\lambda=N\Phi_B=Li\)。长空气芯螺线管近似 \(L=\mu_0N^2A/\ell\)，一个N来自场，另一个来自磁通链。有限管端部或非线性磁芯需按给定模型处理。
被动端压约定为电流流入正参考端，此时 \(v_L=L\,di/dt\)；沿电流方向的自感emf则为 \(-L\,di/dt\)。问大小时取绝对值。
例题：规定电流与规定电压。 L=.30 H、\(i=2-.5t\)（SI），导数为 \(-.5\,\mathrm{A/s}\)，被动端压 \(-.15\,\mathrm V\)，大小 \(.15\,\mathrm V\)。不是用当时i乘L。
另一个理想L=2 H直接承受 \(v_L=6t^2\)（SI），\(i(0)=1\,\mathrm A\)。应积分：
\[i(t)=1+\frac12\int_0^t6u^2du=1+t^3\quad\text{按SI计}.\]
已给电流求导，已给电压求积分。非零初始电流不能丢掉。
15. 电感切换：初始连续与稳态短路分开
非零理想L且端压有限时，\(i_L(0^+)=i_L(0^-)\)。端压可以突变，电流不能突跳。直流稳态则 \(di/dt=0\)、\(v_L=0\)，理想L可替成导线，电流与磁储能未必零。
例题：换接到更大返回电阻。 理想6 V源、3 Ω与1.5 H电感串联并保持很久，初始电流2 A。随后断开原电源及原电阻，把电感接入6 Ω闭合返回路径。刚切换仍为2 A，端压大小12 V；被动参考下为−12 V，有限却大于旧电池电压。
新回路 \(\tau=L/R=.25\,\mathrm s\)，电流 \(i=2e^{-t/.25}\,\mathrm A\)。不能把新电阻直接代 \(E/R\) 当瞬时电流，也不能把已断开的内阻或电源加到返回路径里。
16. RL时间与能量：同分数比较看τ
简单零初值恒压RL有 \(i=I_\infty(1-e^{-t/\tau})\)、\(I_\infty=\mathcal E/R\)、\(\tau=L/R\)；无源闭合RL为 \(i=I_0e^{-t/\tau}\)。电感磁储能是 \(U_L=Li^2/2\)；电阻 \(i^2R\) 是功率，不能直接加进储能。
上升到终值分数f需 \(t=-\tau\ln(1-f)\)；衰减到初值分数f需 \(t=-\tau\ln f\)。半值均给 \(\tau\ln2\)。上升约63%和剩余约37%对应约一τ，准确百分数仍要用对数。
相同目标分数时，时间随τ同比变化，即使两电路最终电流不同。RL的R在分母，RC的R在乘积，不能混用。
| 理想元件 | 有限激励的切换瞬间 | 已达直流稳态 | 简单时间常数 |
|---|---|---|---|
| 电容C | 端压连续 | 支路电流零 | \(R_{\rm seen}C\) |
| 电感L | 电流连续 | 端压零 | \(L/R_{\rm seen}\) |
复杂的一电感线性网络先把独立理想电压源置零为短路，再从L端点求所见电阻。仍须用当前开关位置；纸面上看似并联的两电阻，在无源返回中可能变成串联。
17. LC振荡：先确认新回路是孤立无损的
例题：满电电容接电感。 \(.020\,\mathrm F\) 电容初始4.0 V、电感 \(.50\,\mathrm H\) 初始电流零。随后与电源、充电电阻完全断开，仅形成理想无损LC闭环。
初能 \(.16\,\mathrm J\)，\(\omega_0=1/\sqrt{LC}=10\,\mathrm{rad/s}\)，周期约 \(.628\,\mathrm s\)。初电荷 \(.080\,\mathrm C\)，
\[q=.080\cos(10t)\,\mathrm C,\qquad I_{\max}=V_0\sqrt{C/L}=.80\,\mathrm A.\]
选流出初始正板为正，有 \(i=-dq/dt=.80\sin(10t)\,\mathrm A\)。四分之一周期时q零、|i|最大；半周期时同一板q为 \(-.080\,\mathrm C\)、i零。能量在电容与电感间交换，振幅不衰减。
普通频率 \(f=\omega_0/(2\pi)\)；由f和C求L时 \(L=1/(4\pi^2f^2C)\)。含电阻的RLC会有耗散，不可沿用理想LC的等幅结论。
18. 自主练习：先交方向、模型或初态
练习1：导线内外。 均匀实心长导线半径R、总流I。\(r=R/2\) 处包围电流与场，各是总流、表面场的几分之几？
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包围电流为 \(I/4\)，场为表面场的 \(1/2\)。环路长度也变为一半，不能把电流倍率直接当场倍率。
练习2：电子磁力。 电子向右、B向纸面外，磁力向哪里？只受该匀强静磁场时，速率是否改变？
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正电荷叉乘向下，电子反向所以向上。磁力垂直速度，只改变方向，不改速率。
练习3：同速电荷选择器。 互垂直E、B已使正电荷以v无偏转。换成同速负电荷、初方向相同，能否继续无偏转？
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可以。两力同时反向，\(\vec E+\vec v\times\vec B=0\) 不变。不是只把磁力翻向。
练习4：B过零。 单匝面积 \(.040\,\mathrm{m^2}\)，法向场导数恒为 \(-.20\,\mathrm{T/s}\)。B某时刻零，emf大小多少？会因过零而归零吗？
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大小 \(.040\times.20=.0080\,\mathrm V\)，不会因为B零而归零。需要的是通量导数。
练习5：开路杆。 三者互垂直的杆长 \(.30\,\mathrm m\)，B=.20 T，v=4.0 m/s，理想高阻表测两端。emf大小？没有闭合路径，能否直接用任意R求持续电流？
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\(B\ell v=.24\,\mathrm V\)。没有指定闭合返回路径，不能由这个emf推任意持续回路电流；高阻测量近似不加载。
练习6：全域平移。 刚性完整闭合环在全域静态均匀场中平移，没有转动与形变。净emf多少？为何不能只取一个边的 \(B\ell v\)？
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通量不变，净emf零；整个闭路的各段动生贡献相消。一个边不是完整回路积分。
练习7：Hall模型。 电子金属的约定电流向右，B向外，稳态上、下边哪边电势较高？写出电子漂移和初始磁力方向。
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电子向左漂移、磁力向下，下边负、上边高势。结论使用电子单载流子金属模型。
练习8：切换电感。 L=.40 H、电流初值3 A，改接5 Ω无源闭合返回，端压有限。瞬间电流、端压大小、τ分别多少？
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电流仍3 A，端压大小15 V，τ=.080 s。被动端压为−15 V，磁储能释放；新返回中没有电源给新的稳态非零电流。
练习9：同分数RL。 两电路均从零上升到各自终值一半。第二电路L不变、所见R减半，时间比是多少？
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τ加倍，\(t=\tau\ln2\)，时间比2。最终电流也改变，不会抵消同分数时间比较。
练习10：LC频率。 理想LC已给 \(LC=.010\,\mathrm{s^2}\)。求角频率与普通频率。
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\(\omega_0=10\,\mathrm{rad/s}\)，\(f=10/(2\pi)\approx1.59\,\mathrm{Hz}\)。Hz与rad/s不能直接替换。
练习11：电流求导。 理想L=2 H，规定 \(i=3t^2+1\)（SI）。求t=1 s的端压大小；常数1 A贡献什么？
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导数6t A/s，t=1时端压大小12 V。常数偏置导数零，不产生额外自感端压。
练习12：材料条件。 未知材料在撤去磁体后不再明显吸住铁屑。仅凭此现象能否唯一确定是顺磁体？
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不能。软铁磁材料也可能没有明显剩磁。还须材料或限定模型信息，不能把缺失条件补成已知。
19. 选学：空间积分、Maxwell项与变压器
非均匀磁场先积面积，不用任意一点B
矩形面位于 \(0\le x\le w\)，高h，法向场 \(B(x)=B_0(1+x/a)\)。磁通量
\[\Phi_B=h\int_0^wB_0(1+x/a)dx=B_0h\left(w+\frac{w^2}{2a}\right).\]
若整个面位于同一函数适用区间，本线性场恰可用中点B乘面积；一般非线性分布不能如此简化。通量再对时间求导时，还须明确哪些参数变化。
变化B产生的环向电场
半径R的圆区有均匀法向 \(B(t)\)，轴对称且回路静止。选与正法向配套的绕向，Faraday环流给
\[E_\phi(r)=\begin{cases}-\dfrac r2\dfrac{dB}{dt},&r<R,\\-\dfrac{R^2}{2r}\dfrac{dB}{dt},&r>R.\end{cases}\]
这里的环向感应电场不是静电势差梯度的闭路零积分。区外回路的包围通量只来自面积 \(\pi R^2\)，不能继续使用 \(\pi r^2\)。
位移电流与闭合磁通量
真空 Maxwell–Ampere law 增加 \(I_D=\epsilon_0\,d\Phi_E/dt\)。充电电容间隙可有位移电流项，虽然没有载流子穿过真空间隙；它不是绝缘体漏电。普通磁场的闭合面总通量为零，\(\oint\vec B\cdot d\vec A=0\)，也不意味着面上局部B零。
理想交流变压器
变化通量在两绕组产生emf，理想交流变压器有 \(V_2/V_1=N_2/N_1\)，无损时 \(V_1I_1=V_2I_2\)。例如匝数20与100、输入交流10 V、传输10 W，则输出50 V，输入电流1.0 A、输出电流.20 A，均按同一有效值约定。
固定直流通量不会在长期稳态持续产生次级emf；不能把交流匝数规律直接用于“接直流很久”。理想条件还排除了磁损、漏磁及绕组电阻。