相对运动与曲线运动

Learning objectives / 学习目标

完成本课后，你应当能够：

1. 对平行且匀速平移的经典惯性系写出 Galilean 位置、时间、速度和加速度变换，并说明低速边界。
2. 使用对象—参照物下标法构造一维和多维相对速度闭合链，避免凭语言猜加减号。
3. 从极坐标基矢的时间导数推导完整的 \(\mathbf v\) 与 \(\mathbf a\)，解释四个加速度项。
4. 推导旋转基底的 transport theorem，并由此得到一般平移—转动参考系中的速度、加速度关系。
5. 区分纯运动学变换项与真实相互作用；不把坐标产生的项提前当成新的物理力。
6. 用静止、纯平移、纯转动、固定于转盘等极限检查公式。

0. Notation: object first, reference second

用

\[\mathbf r_{A/B}\]

表示“\(A\) 相对 \(B\) 的位置”，速度和加速度同理。两个基本规则是

\[\mathbf r_{A/B}=-\mathbf r_{B/A},\]

\[\boxed{ \mathbf r_{A/C}=\mathbf r_{A/B}+\mathbf r_{B/C} }.\]

中间下标 \(B\) 像单位一样首尾相消。对同一时间变量求导，就得到速度与加速度闭合链。

Knowledge 1 — Galilean transformation of position and velocity / 位置与速度的伽利略变换

Knowledge ID: P01-U01-L04-K01

1.1 Translating parallel frames

设 \(S\) 的原点为 \(O\)，\(S'\) 的原点 \(O'\) 在 \(S\) 中的位置为 \(\mathbf R(t)\)，两套轴始终平行。对事件/粒子 \(P\)：

\[\boxed{ \mathbf r_{P/O}=\mathbf R(t)+\mathbf r_{P/O'} }.\]

简写为

\[\boxed{\mathbf r'=\mathbf r-\mathbf R(t).}\]

经典 Galilean 变换还假设所有地点共享绝对时间，最多差一个固定的时钟零点：

\[t'=t-t_*,\]

通常选 \(t_*=0\)。若 \(O'\) 以恒速度 \(\mathbf V\) 移动，且在 \(t=0\) 两原点重合，\(\mathbf R=\mathbf Vt\)：

\[\boxed{ \mathbf r'=\mathbf r-\mathbf Vt, \qquad t'=t }.\]

求导得

\[\boxed{\mathbf v'=\mathbf v-\mathbf V,}\]

\[\boxed{\mathbf a'=\mathbf a}\]

其中最后一式要求 \(\mathbf V\) 恒定。若平移原点加速，\(\mathbf A=d\mathbf V/dt\)，则

\[\mathbf a'=\mathbf a-\mathbf A.\]

1.2 Spacetime picture of simultaneity in the Galilean model

1.3 Worked Example 1 — event and velocity in a train frame

列车相对地面沿 \(+x\) 以 \(V=20.0\ \mathrm{m/s}\) 匀速运动，\(t=0\) 时两原点重合。地面系中，乘客在 \(t=5.00\ \mathrm s\) 位于 \(x=115\ \mathrm m\)，并以 \(v=21.5\ \mathrm{m/s}\) 沿 \(+x\) 运动。

\[x'=x-Vt=115-20.0(5.00)=15.0\ \mathrm m,\]

\[v'=v-V=1.50\ \mathrm{m/s}.\]

乘客相对列车向前走 \(1.50\ \mathrm{m/s}\)；相对地面速度更大。若他相对列车保持恒速，则两系测得的加速度均为零。

Knowledge 2 — Relative velocity in one and multiple dimensions / 一维与多维相对速度

Knowledge ID: P01-U01-L04-K02

2.1 The subtraction formula and chain rule

相对于公共参考物 \(O\)：

\[\boxed{ \mathbf v_{A/B}=\mathbf v_{A/O}-\mathbf v_{B/O} }.\]

等价的闭合写法为

\[\boxed{ \mathbf v_{A/C} =\mathbf v_{A/B}+\mathbf v_{B/C} }.\]

不要根据“顺水加、逆水减”背符号；先写对象/参照物下标，再首尾相接。

2.2 One-dimensional closing and separation rates

两物体沿同一直线：

\[v_{A/B}=v_A-v_B.\]

若两者间有符号分离 \(x_{A/B}=x_A-x_B\)，则

\[\frac{dx_{A/B}}{dt}=v_{A/B}.\]

“closing speed / 接近速率”是距离减小率的正值，常写 \(-d\lvert x_{A/B}\rvert/dt\)；它不是自动等于两个速率之和，符号取决于方向。

2.3 Worked Example 2 — two approaching trains

两列车相距 \(D=7.50\ \mathrm{km}\)，且初始时 A 位于 B 的西侧。取东为正，A 向东 \(v_A=+20.0\ \mathrm{m/s}\)，B 向西 \(v_B=-15.0\ \mathrm{m/s}\)。

\[v_{A/B}=20.0-(-15.0)=+35.0\ \mathrm{m/s}.\]

从 B 看，A 向东接近；距离以 \(35.0\ \mathrm{m/s}\) 减小。若速度保持不变：

\[t=\frac{7500\ \mathrm m}{35.0\ \mathrm{m/s}}=214\ \mathrm s=3.57\ \mathrm{min}.\]

若两列车同向，则接近速率变成速率之差；这说明用带符号速度统一处理最安全。

2.4 Worked Example 3 — boat across a river

河宽 \(180\ \mathrm m\)，水相对岸以 \(3.00\ \mathrm{m/s}\) 向东。船相对水以 \(4.00\ \mathrm{m/s}\) 正北航行。

\[\mathbf v_{B/G} =\mathbf v_{B/W}+\mathbf v_{W/G} =(3.00\widehat{\mathbf x}+4.00\widehat{\mathbf y})\ \mathrm{m/s}.\]

\[\lvert\mathbf v_{B/G}\rvert=5.00\ \mathrm{m/s}, \qquad \theta=\tan^{-1}(3/4)=36.9^\circ\]

即地面观察为北偏东 \(36.9^\circ\)。过河时间由北向分量决定：

\[t=180/4.00=45.0\ \mathrm s,\]

下游漂移

\[\Delta x=(3.00)(45.0)=135\ \mathrm m.\]

若要正对岸到达，船相对水需有 \(3.00\ \mathrm{m/s}\) 向西分量，剩余北向分量

\[v_N=\sqrt{4.00^2-3.00^2}=2.65\ \mathrm{m/s},\]

过河时间变为 \(68.0\ \mathrm s\)。

Knowledge 3 — Polar-coordinate velocity and acceleration / 极坐标中的速度与加速度

Knowledge ID: P01-U01-L04-K03

3.1 Polar geometry and moving unit vectors

平面极坐标用 \(r(t),\theta(t)\)：

\[\mathbf r=r\widehat{\mathbf e}_r.\]

\[\widehat{\mathbf e}_r =\cos\theta\widehat{\mathbf x}+\sin\theta\widehat{\mathbf y},\]

\[\widehat{\mathbf e}_\theta =-\sin\theta\widehat{\mathbf x}+\cos\theta\widehat{\mathbf y}.\]

即使 \(r\) 不变，基矢也因 \(\theta\) 变化：

\[\boxed{ \dot{\widehat{\mathbf e}}_r =\dot\theta\widehat{\mathbf e}_\theta, \qquad \dot{\widehat{\mathbf e}}_\theta =-\dot\theta\widehat{\mathbf e}_r }.\]

3.2 Full velocity and acceleration derivation

对 \(\mathbf r=r\widehat{\mathbf e}_r\) 使用乘法法则：

\[\boxed{ \mathbf v =\dot r\widehat{\mathbf e}_r +r\dot\theta\widehat{\mathbf e}_\theta }.\]

再次求导并合并同类项：

\[\boxed{ \mathbf a =(\ddot r-r\dot\theta^2)\widehat{\mathbf e}_r +(r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta)\widehat{\mathbf e}_\theta }.\]

四个贡献为：

3.3 Worked Example 4 — expanding spiral

给定

\[r(t)=1.00\ \mathrm m+(0.200\ \mathrm{m/s})t, \qquad \theta(t)=(0.500\ \mathrm{rad/s^2})t^2.\]

在 \(t=2.00\ \mathrm s\)：

\[r=1.40\ \mathrm m, \quad \dot r=0.200\ \mathrm{m/s}, \quad \ddot r=0,\]

\[\dot\theta=2.00\ \mathrm{rad/s}, \qquad \ddot\theta=1.00\ \mathrm{rad/s^2}.\]

速度分量：

\[v_r=0.200\ \mathrm{m/s}, \qquad v_\theta=r\dot\theta=2.80\ \mathrm{m/s},\]

\[v=\sqrt{0.200^2+2.80^2}=2.81\ \mathrm{m/s}.\]

加速度分量：

\[a_r=0-1.40(2.00)^2=-5.60\ \mathrm{m/s^2},\]

\[a_\theta=1.40(1.00)+2(0.200)(2.00)=2.20\ \mathrm{m/s^2},\]

\[a=\sqrt{(-5.60)^2+(2.20)^2}=6.02\ \mathrm{m/s^2}.\]

漏掉 \(2\dot r\dot\theta\) 会把 \(a_\theta\) 错算成 \(1.40\ \mathrm{m/s^2}\)。

3.4 Fast special-case checks

• 纯径向：\(\dot\theta=0\Rightarrow\mathbf v=\dot r\widehat{\mathbf e}_r\)，\(\mathbf a=\ddot r\widehat{\mathbf e}_r\)。
• 匀速圆周：\(r=R\)、\(\dot\theta=\omega\) 常量，\(\mathbf a=-R\omega^2\widehat{\mathbf e}_r\)。
• 固定半径但变角速：再加 \(R\ddot\theta\widehat{\mathbf e}_\theta\)。

Knowledge 4 — Moving bases and rotating coordinates / 运动基底与旋转坐标

Knowledge ID: P01-U01-L04-K04

4.1 Transport theorem

向量 \(\mathbf A\) 在旋转基底写成

\[\mathbf A=A_1\widehat{\mathbf e}_1+A_2\widehat{\mathbf e}_2+A_3\widehat{\mathbf e}_3.\]

基底以角速度 \(\boldsymbol\Omega\) 转动时

\[\left(\frac{d\widehat{\mathbf e}_i}{dt}\right)_I =\boldsymbol\Omega\times\widehat{\mathbf e}_i.\]

因此

\[\boxed{ \left(\frac{d\mathbf A}{dt}\right)_I =\left(\frac{d\mathbf A}{dt}\right)_R +\boldsymbol\Omega\times\mathbf A }.\]

左边是固定/惯性基底观察到的真实矢量变化率；右边第一项只微分旋转坐标中的分量，第二项补偿基底自身转动。

4.2 General velocity relation

设旋转系原点 \(O'\) 相对惯性系 \(O\) 的位置为 \(\mathbf R(t)\)，粒子相对 \(O'\) 的位置为 \(\mathbf r\)。绝对位置

\[\mathbf r_{P/O}=\mathbf R+\mathbf r.\]

用 transport theorem：

\[\boxed{ \mathbf v_I =\mathbf V_{O'} +\mathbf v_R +\boldsymbol\Omega\times\mathbf r }.\]

三项分别为原点平移、粒子相对旋转系的运动、基底转动携带速度。

4.3 General acceleration relation

再次对速度求惯性导数，并对 \(\mathbf v_R\) 使用 transport theorem：

\[\boxed{ \begin{aligned} \mathbf a_I={}&\mathbf A_{O'}+\mathbf a_R +2\boldsymbol\Omega\times\mathbf v_R\\ &+\dot{\boldsymbol\Omega}\times\mathbf r +\boldsymbol\Omega\times(\boldsymbol\Omega\times\mathbf r). \end{aligned} }\]

4.4 Worked Example 5 — walking outward on a turntable

水平转盘以恒角速度

\[\boldsymbol\Omega=(1.50\ \mathrm{rad/s})\widehat{\mathbf z}\]

转动。某人相对转盘沿径向向外以 \(\mathbf v_R=0.500\widehat{\mathbf e}_r\ \mathrm{m/s}\) 匀速行走；某刻 \(r=2.00\ \mathrm m\)。取转盘中心固定，\(\dot{\boldsymbol\Omega}=0\)，且在旋转坐标中径向速率恒定，所以 \(\mathbf a_R=0\)。

惯性系速度：

\[\mathbf v_I =0.500\widehat{\mathbf e}_r +(1.50)(2.00)\widehat{\mathbf e}_\theta =(0.500\widehat{\mathbf e}_r+3.00\widehat{\mathbf e}_\theta)\ \mathrm{m/s}.\]

加速度：

\[2\boldsymbol\Omega\times\mathbf v_R =1.50\widehat{\mathbf e}_\theta\ \mathrm{m/s^2},\]

\[\boldsymbol\Omega\times(\boldsymbol\Omega\times\mathbf r) =-\Omega^2r\widehat{\mathbf e}_r =-4.50\widehat{\mathbf e}_r\ \mathrm{m/s^2}.\]

因此

\[\mathbf a_I =(-4.50\widehat{\mathbf e}_r+1.50\widehat{\mathbf e}_\theta)\ \mathrm{m/s^2}, \qquad a_I=4.74\ \mathrm{m/s^2}.\]

这与极坐标式一致：\(\dot r=0.500\)、\(\dot\theta=1.50\)、\(\ddot r=\ddot\theta=0\)，故 \(a_r=-r\dot\theta^2=-4.50\)，\(a_\theta=2\dot r\dot\theta=1.50\)。

4.5 A derivation map worth memorizing

5. Lesson synthesis / 全课整合

5.1 Nested hierarchy

1. Parallel, fixed offset: \(\mathbf r'=\mathbf r-\mathbf b\)。
2. Parallel, translating origin: \(\mathbf r'=\mathbf r-\mathbf R(t)\)。
3. Constant-velocity Galilean frames: \(\mathbf v'=\mathbf v-\mathbf V\)，\(\mathbf a'=\mathbf a\)。
4. Polar moving basis: \(\widehat{\mathbf e}_r,\widehat{\mathbf e}_\theta\) rotate with \(\dot\theta\)。
5. General rotating frame: use \(D_I=D_R+\boldsymbol\Omega\times\) and retain all transport terms.

5.2 Diagnostic workflow

1. 明确对象和参照物，下标按“对象/参照物”书写。
2. 先画位置或速度头尾相接图，再写闭合等式。
3. 判断两套轴是平行平移还是相对转动。
4. 平行匀速系用 Galilean 变换；加速平移需保留原点加速度。
5. 极坐标中每次求导都同时微分分量和基矢。
6. 旋转系用 transport theorem，不靠死背五项。
7. 用 \(\Omega=0\)、\(\mathbf v_R=0\)、\(r=\mathrm{constant}\) 等极限复核。

5.3 Approximation and boundary map

6. Misconception clinic / 易错概念诊所

7. Practice and retrieval / 练习与检索

A. Conceptual questions

1. 为什么两个匀速平移惯性系测得的加速度相同，而速度不同？
2. 写相对速度链时，怎样用下标顺序检查等式？
3. 船头正对彼岸为何通常不能正对岸到达？
4. 在极坐标中，\(r\) 恒定是否意味着速度为零？
5. \(2\dot r\dot\theta\) 项在什么条件下消失？
6. 为什么固定在转盘上的点在转盘系 \(\mathbf a_R=0\)，惯性系却有加速度？
7. transport theorem 中哪一项来自基矢变化？

B. Quantitative and derivation questions

8. \(S'\) 以 \(+8.0\ \mathrm{m/s}\) 相对 \(S\) 运动。粒子在 \(S\) 中 \(x=50\ \mathrm m\)、\(v=12.0\ \mathrm{m/s}\)，时刻 \(t=4.0\ \mathrm s\)，两原点初始重合。求 \(x',v'\)。
9. A 向东 \(25\ \mathrm{m/s}\)，B 向东 \(18\ \mathrm{m/s}\)。求 \(\mathbf v_{A/B}\) 与 \(\mathbf v_{B/A}\)。
10. 飞机相对空气正北 \(200\ \mathrm{km/h}\)，风相对地面正东 \(60\ \mathrm{km/h}\)。求地速大小和方向。
11. 极坐标运动 \(r=2.0\ \mathrm m\)、\(\theta=0.50t^2\)（rad）。求 \(t=2.0\ \mathrm s\) 的 \(\mathbf v,\mathbf a\) 极坐标分量。
12. 粒子满足 \(r=0.30t\ \mathrm m\)、\(\theta=2.0t\)（rad）。求 \(t=3.0\ \mathrm s\) 的速度和加速度分量。
13. 转盘以 \(\Omega=2.0\ \mathrm{rad/s}\) 匀速转动。一个点固定在 \(r=0.50\ \mathrm m\)。用一般旋转系公式求惯性系速度和加速度。
14. 从 transport theorem 连续使用两次，推导五项加速度关系，并标出系数 2 的来源。

Exit ticket

从 \(\mathbf r_{abs}=\mathbf R+\mathbf r\) 出发，不查笔记写出一般旋转系速度式；然后用一句话说明为什么 \(\mathbf v_R=0\) 仍不能推出 \(\mathbf v_I=0\)。

8. References and source notes / 参考资料与使用说明

8.1 Source-to-content map

8.2 Bibliographic notes

OpenStax supplies the introductory relative-motion spine. MIT 2.003SC and 16.07 supply the UG1→UG2 moving-basis derivations. MIT 8.01SC is used to keep coordinate terms conceptually separate from real interactions and to connect forward to dynamics without doing it prematurely.