牛顿定律与相互作用 · Newton's Laws and Interactions

Learning objectives / 学习目标

完成本课后，你应当能够：

用自由粒子的运动定义惯性系，并说明 Galilean 变换只把一个惯性系变到另一个惯性系的条件。
区分单个物体、固定物质系统与空间控制体，正确写出合外力—动量变化关系。
对定质量系统从 $\sum\mathbf F_{\mathrm{ext}}=d\mathbf p/dt$ 得到 $m\mathbf a$ ，并解释变质量问题为何需要动量通量。
用“施力者 $\to$ 受力者”下标识别第三定律对，避免把同一物体上的平衡力误认作作用—反作用。
按矢量叠加求合力，并用量纲、方向、极限与系统边界检查答案。
说出 Newton 模型在相对论、量子尺度、非惯性系与非封闭系统中的适用边界。

0. Notation and the modeling contract / 记号与建模协议

Symbol	Meaning
$$S$$	chosen reference frame
$\mathcal S$	chosen material system or body
$\mathbf p=\sum_i m_i\mathbf v_i$	momentum of the selected material system
$\mathbf F_{A\to B}$	force exerted by $$A$$ on $$B$$
$\sum\mathbf F_{\mathrm{ext}}$	vector sum of forces crossing the system boundary
$\mathbf u$	inertial-frame velocity of transferred mass at a port
$\mathbf u_{\mathrm{rel}}=\mathbf u-\mathbf v$	transfer velocity relative to the receiving/losing body

每次动力学计算都按同一顺序：

System: 圈出研究对象；
Frame: 声明惯性系与正方向；
Interactions: 只画跨越边界的相互作用；
Law: 写矢量方程，再投影；
Check: 核对单位、符号、极限与第三定律配对。

Newton's Laws and Interactions — 0. Notation and the modeling contract / 记号与建模协议（图 1） — 图 10. Notation and the modeling contract / 记号与建模协议

Knowledge 1 — Inertia and inertial reference frames / 惯性与惯性参考系

Knowledge ID: P01-U02-L01-K01

1.1 Newton's first law is an operational frame test

在相互作用可忽略的极限中，若粒子的速度保持恒定，所用参考系称为惯性参考系：

$\sum\mathbf F_{\mathrm{ext}}=\mathbf 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{d\mathbf v}{dt}=\mathbf 0.$

“静止”不是特殊状态； $\mathbf v=\mathbf 0$ 与任意恒定 $\mathbf v$ 都是惯性运动。第一定律同时完成两件事：定义惯性系，并指出改变速度需要净外部相互作用。

Newton's Laws and Interactions — 1.1 Newton's first law is an operational frame test（图 2） — 图 21.1 Newton's first law is an operational frame test

1.2 The Galilean family and its boundary

若 $$S'$$ 相对惯性系 $$S$$ 以恒速度 $\mathbf V$ 平移且坐标轴不转动，

$\mathbf r'=\mathbf r-\mathbf Vt-\mathbf b, \qquad \mathbf v'=\mathbf v-\mathbf V, \qquad \mathbf a'=\mathbf a.$

因此所有这种 $$S'$$ 也都是惯性系。若原点有加速度 $\mathbf A$ 或坐标轴转动， $\mathbf a'\ne\mathbf a$ ，直接写 $m\mathbf a'=\sum\mathbf F_{\mathrm{real}}$ 会失败；Lesson 1.2.4 将系统处理这些附加项。

Newton's Laws and Interactions — 1.2 The Galilean family and its boundary（图 3） — 图 31.2 The Galilean family and its boundary

1.3 Worked Example 1 — two observers, one net force

一辆 $m=2.00\ \mathrm{kg}$ 小车在地面惯性系中受恒合力 $\mathbf F=6.00\widehat{\mathbf x}\ \mathrm N$ 。另一惯性系以 $\mathbf V=4.00\widehat{\mathbf x}\ \mathrm{m/s}$ 匀速运动。

$\mathbf a=\frac{\mathbf F}{m}=3.00\widehat{\mathbf x}\ \mathrm{m/s^2}.$

因为 $\mathbf a'=\mathbf a$ ，第二位观察者也得到 $3.00\widehat{\mathbf x}\ \mathrm{m/s^2}$ ，尽管两人测得的速度相差 $4.00\ \mathrm{m/s}$ 。若第二系改为 $\mathbf A=1.00\widehat{\mathbf x}\ \mathrm{m/s^2}$ 的加速系，则 $\mathbf a'=2.00\widehat{\mathbf x}\ \mathrm{m/s^2}$ ；此时不能只用真实的 $6.00\ \mathrm N$ 写 $m\mathbf a'$ 。

Knowledge 2 — Net force and momentum change / 合力与动量变化

Knowledge ID: P01-U02-L01-K02

2.1 Fixed material system

对一个由同一批物质粒子组成的系统，在惯性系中 Newton 第二定律写成

$\boxed{ \sum\mathbf F_{\mathrm{ext}} =\frac{d\mathbf p_{\mathcal S}}{dt} }, \qquad \mathbf p_{\mathcal S}=\sum_{i\in\mathcal S}m_i\mathbf v_i.$

内部成对相互作用在系统总动量方程中相消；外力才改变系统总动量。积分形式是冲量—动量定理：

$\boxed{ \int_{t_1}^{t_2}\sum\mathbf F_{\mathrm{ext}}\,dt =\Delta\mathbf p }.$

Newton's Laws and Interactions — 2.1 Fixed material system（图 4） — 图 42.1 Fixed material system

2.2 Net force is a vector, not a list of magnitudes

$\sum\mathbf F_{\mathrm{ext}} =\left(\sum F_x\right)\widehat{\mathbf i} +\left(\sum F_y\right)\widehat{\mathbf j} +\left(\sum F_z\right)\widehat{\mathbf k}.$

“合力为零”要求每个独立分量都为零。净力与 $d\mathbf p/dt$ 同向；它不必与 $\mathbf v$ 同向。垂直于速度的净力可以只改变动量方向。

Newton's Laws and Interactions — 2.2 Net force is a vector, not a list of magnitudes（图 5） — 图 52.2 Net force is a vector, not a list of magnitudes

2.3 Worked Example 2 — impulse with a time-varying force

一个 $0.250\ \mathrm{kg}$ 球初速度为 $-6.00\widehat{\mathbf x}\ \mathrm{m/s}$ 。球拍在 $0\le t\le0.0200\ \mathrm s$ 内施力 $F_x(t)=F_0\sin(\pi t/0.0200\ \mathrm s)$ ，其中 $F_0=200\ \mathrm N$ 。冲量为

$J_x=\int_0^{0.0200}F_0\sin\left(\frac{\pi t}{0.0200}\right)dt =\frac{2F_0(0.0200)}{\pi} =2.55\ \mathrm{N\,s}.$

于是

$v_{f,x}=v_{i,x}+\frac{J_x}{m} =-6.00+\frac{2.55}{0.250} =4.19\ \mathrm{m/s}.$

球改变了运动方向。峰值力不是平均力；本例平均力为 $J/\Delta t=127\ \mathrm N$ 。

Knowledge 3 — Newton's second law for constant and variable mass / 定质量与变质量形式的第二定律

Knowledge ID: P01-U02-L01-K03

3.1 Constant mass: the familiar special case

若研究对象质量恒定且作为固定物质系统，

$\frac{d(m\mathbf v)}{dt}=m\frac{d\mathbf v}{dt},$

所以

$\boxed{\sum\mathbf F_{\mathrm{ext}}=m\mathbf a.}$

这不是“力的定义”，而是实验规律在定质量模型下的形式。 $1\ \mathrm N=1\ \mathrm{kg\,m/s^2}$ 。

Newton's Laws and Interactions — 3.1 Constant mass: the familiar special case（图 6） — 图 63.1 Constant mass: the familiar special case

3.2 Why $d(m\mathbf v)/dt$ is not the open-body force law

若一个“物体”因喷出、吸入或收集物质而改变成员，它已不是固定物质系统。直接对它当前的 $m\mathbf v$ 求导得到

$\frac{d(m\mathbf v)}{dt}=m\mathbf a+\mathbf v\frac{dm}{dt},$

但右边第二项并没有自动计入流入/流出物质携带的动量。因此一般不能写

$\sum\mathbf F_{\mathrm{ext}}=\frac{d(m\mathbf v)}{dt}$

来描述这个成员不断变化的“物体”。必须先指定控制体和边界处的质量速度。

对固定空间控制体，惯性系动量平衡可写成

$\boxed{ \sum\mathbf F_{\mathrm{ext}} =\frac{d}{dt}\int_{CV}\rho\mathbf v\,dV +\oint_{CS}\rho\mathbf v(\mathbf v\cdot\mathbf n)\,dA }.$

第一项是控制体内动量积累，第二项是向外法向 $\mathbf n$ 定义的净输出动量通量。移动控制面时，通量中的法向速度必须改为流体相对控制面的速度。

Newton's Laws and Interactions — 3.2 Why $d(m\mathbf v)/dt$ is not the open-body force law（图 7） — 图 73.2 Why $d(m\mathbf v)/dt$ is not the open-body force law

3.3 One-port lumped result, with an explicit sign convention

对速度为 $\mathbf v$ 的均匀主体，只有一股物质以惯性系速度 $\mathbf u$ 穿越边界，并规定 $$dm/dt>0$$ 表示主体质量增加，则瞬时极限给出

$\boxed{ m\frac{d\mathbf v}{dt} =\sum\mathbf F_{\mathrm{ext}} +(\mathbf u-\mathbf v)\frac{dm}{dt} }.$

该式只适用于上述单股、均匀主体、清楚定义 $\mathbf u$ 与 $$dm/dt$$ 的模型；多入口、多出口或非均匀体应回到通量平衡。对喷射， $$dm/dt<0$$ ，喷出物相对主体的速度 $\mathbf u-\mathbf v$ 与推力方向相反。

Newton's Laws and Interactions — 3.3 One-port lumped result, with an explicit sign convention（图 8） — 图 83.3 One-port lumped result, with an explicit sign convention

3.4 Worked Example 3 — cart collecting stationary rain

一辆初始质量 $m_0=100\ \mathrm{kg}$ 、水平速度 $v_0=5.00\ \mathrm{m/s}$ 的无阻力小车，以 $\dot m=2.00\ \mathrm{kg/s}$ 收集在地面系中无水平速度的竖直雨水。因此 $$u_x=0$$ ，水平外力为零：

$m\frac{dv}{dt}=(u_x-v)\dot m=-v\dot m.$

于是

$\frac{d}{dt}(mv)=m\dot v+v\dot m=0,$

$v(t)=\frac{m_0v_0}{m_0+\dot mt}.$

$t=25.0\ \mathrm s$ 时 $m=150\ \mathrm{kg}$ ，所以

$v=\frac{(100)(5.00)}{150}=3.33\ \mathrm{m/s}.$

若误写 $\sum F_x=d(mv)/dt$ 但不说明固定物质系统，恰好会在这个特殊水平分量得到同一结果，却掩盖了雨滴入流动量的物理来源；一般流入速度不为零时这种偷换会导致错误。

Knowledge 4 — Interaction pairs and Newton's third law / 相互作用对与第三定律

Knowledge ID: P01-U02-L01-K04

4.1 Directed interaction notation

若 $$A$$ 与 $$B$$ 相互作用，第三定律为

$\boxed{ \mathbf F_{A\to B}=-\mathbf F_{B\to A} }.$

两力同时存在、大小相等、方向相反、属于同一种相互作用，但它们作用在不同物体上。因此只有当系统边界同时包含 $$A$$ 与 $$B$$ 时，这一对才作为内力在系统总动量方程中相消。

Newton's Laws and Interactions — 4.1 Directed interaction notation（图 9） — 图 94.1 Directed interaction notation

4.2 Third-law pair versus balanced forces

桌上的书受到地球对书的重力 $\mathbf F_{E\to B}$ 与桌面对书的支持力 $\mathbf F_{T\to B}$ 。若书静止，这两力可以相平衡，但它们不是第三定律对，因为受力者都是书。它们各自的配对分别是书对地球、书对桌面的力。

4.3 Worked Example 4 — unequal accelerations do not violate the third law

滑冰者 $$A$$ 的质量为 $50.0\ \mathrm{kg}$ ， $$B$$ 的质量为 $80.0\ \mathrm{kg}$ 。他们互推时， $$A$$ 对 $$B$$ 的水平力为 $120\ \mathrm N$ 。忽略冰面阻力：

$F_{A\to B}=120\ \mathrm N, \qquad F_{B\to A}=-120\ \mathrm N.$

加速度大小为

$a_A=\frac{120}{50.0}=2.40\ \mathrm{m/s^2}, \qquad a_B=\frac{120}{80.0}=1.50\ \mathrm{m/s^2}.$

力相等不意味着加速度相等；质量不同导致响应不同。若把两人作为一个系统，水平内力相消，系统总动量不变。

Knowledge 5 — Superposition of forces / 力的叠加

Knowledge ID: P01-U02-L01-K05

5.1 One acceleration, vector sum of all interactions

多个相互作用同时作用时，每一个力按其模型独立计算，再作矢量和：

$\boxed{ \mathbf F_{\mathrm{net}}=\sum_{j=1}^{N}\mathbf F_j }.$

坐标分解只是计算工具，不会创造新的力。 $$F_x$$ 和 $$F_y$$ 是同一矢量的分量，不是额外的相互作用。

Newton's Laws and Interactions — 5.1 One acceleration, vector sum of all interactions（图 11） — 图 115.1 One acceleration, vector sum of all interactions

线性叠加在 Newton 力学中意味着总动量变化率等于所有外部作用之和；它不意味着每种经验力模型在所有尺度都线性，也不意味着材料响应一定线性。

5.2 Worked Example 5 — three applied forces

一个 $4.00\ \mathrm{kg}$ 质点受到

$\mathbf F_1=(12.0\widehat{\mathbf i}+5.00\widehat{\mathbf j})\ \mathrm N,$

$\mathbf F_2=(-3.00\widehat{\mathbf i}+7.00\widehat{\mathbf j})\ \mathrm N, \qquad \mathbf F_3=(-5.00\widehat{\mathbf i}-4.00\widehat{\mathbf j})\ \mathrm N.$

因此

$\mathbf F_{\mathrm{net}}=(4.00\widehat{\mathbf i}+8.00\widehat{\mathbf j})\ \mathrm N,$

$\mathbf a=(1.00\widehat{\mathbf i}+2.00\widehat{\mathbf j})\ \mathrm{m/s^2}.$

合力大小 $8.94\ \mathrm N$ ，方向为 $\tan^{-1}(8/4)=63.4^\circ$ （从 $$+x$$ 逆时针量）。先分量相加再求大小，不能把 $\lvert\mathbf F_1\rvert+\lvert\mathbf F_2\rvert+\lvert\mathbf F_3\rvert$ 当合力。

5.3 A complete interaction-to-equation map

6. Lesson synthesis / 全课整合

6.1 Formula and decision table

Situation	Correct starting equation	Required condition
Free particle in inertial frame	$\mathbf v=\mathrm{constant}$	negligible net external interaction
Fixed material system	$\sum\mathbf F_{\mathrm{ext}}=d\mathbf p/dt$	same material particles followed
Constant-mass body	$\sum\mathbf F=m\mathbf a$	mass constant; inertial frame
Finite time interval	$\mathbf J=\int\sum\mathbf F\,dt=\Delta\mathbf p$	fixed material system
Open/control-volume system	force = accumulation + momentum flux	boundary and crossing velocities specified
Interaction pair	$\mathbf F_{A\to B}=-\mathbf F_{B\to A}$	pair acts on different bodies
Many external forces	$\mathbf F_{\mathrm{net}}=\sum_j\mathbf F_j$	vector addition in one frame

6.2 Model boundaries

Assumption	Useful regime	Failure signal
Newtonian/Galilean mechanics	speeds much smaller than $$c$$ , macroscopic bodies	relativistic timing or quantum behavior
Ground as inertial	short, local terrestrial experiments	Coriolis/Foucault/long-range motion matters
Particle or rigid-body translation	size/rotation/deformation irrelevant to question	torque, deformation, distributed stress matters
Constant mass	no material crosses system boundary	collection, leakage, ablation, exhaust
Pairwise third-law model	ordinary Newtonian mechanical interactions	field momentum or retardation must be included in enlarged system

7. Misconception clinic / 易错概念诊所

Misconception / 错误观念	Correction / 修正
“没有力，物体就会停。”	在惯性系中无合力意味着速度不变，包括非零恒速。
“第一定律只是第二定律令 $$F=0$$ 。”	第一定律还给出惯性系的操作性定义；没有这个前提， $$F=ma$$ 的形式不成立。
“净力沿速度方向。”	净力沿 $d\mathbf p/dt$ ；可以垂直于瞬时速度。
“任何时候都可写 $$F=d(mv)/dt$$ 。”	只对固定物质系统成立；成员变化的主体必须计入动量通量。
“把 $$m(t)$$ 填进 $$F=ma$$ 就完成变质量问题。”	还必须知道穿越边界物质的速度与质量流率。
“第三定律两力在受力图中互相抵消。”	它们作用在不同物体上；单个物体的受力图只含其中一个。
“书的重力与支持力是一对作用—反作用。”	两力都作用在书上；它们可能平衡，但各有不同的第三定律伙伴。
“多个力直接加大小。”	力是矢量，应逐分量叠加。
“内力永远不重要。”	对系统总动量会成对抵消，但可改变内部相对运动、形变和能量分配。

8. Practice and retrieval / 练习与检索

A. Conceptual questions

为什么加速电梯不是严格惯性系？
一个物体匀速向东运动，合力一定向东吗？
怎样用系统边界判断某个力是内力还是外力？
为什么 $\mathbf F_{A\to B}$ 与 $\mathbf F_{B\to A}$ 不会在 $$B$$ 的受力图上相消？
变质量主体还缺少哪两类边界信息，才可写动量平衡？
Galilean 惯性系族的相对运动必须满足什么条件？

B. Quantitative and derivation questions

$3.00\ \mathrm{kg}$ 物体受合力 $(9.00\widehat{\mathbf i}-12.0\widehat{\mathbf j})\ \mathrm N$ ，求加速度大小与方向。
$0.150\ \mathrm{kg}$ 球的速度由 $+20.0\ \mathrm{m/s}$ 变为 $-15.0\ \mathrm{m/s}$ ，接触时间 $5.00\ \mathrm{ms}$ ，求平均力。
两滑块质量分别为 $2.00\ \mathrm{kg}$ 和 $5.00\ \mathrm{kg}$ ，相互作用力大小 $10.0\ \mathrm N$ 。求各自加速度大小并说明方向关系。
无水平外力的小车以 $v_0=4.00\ \mathrm{m/s}$ 运动，质量由 $50.0\ \mathrm{kg}$ 均匀增至 $80.0\ \mathrm{kg}$ ，收集的物质地面水平速度为零。求末速度。
证明对由两个粒子组成的系统，若第三定律成立，则内力不改变总动量。
某控制体稳态流入率和流出率均为 $2.00\ \mathrm{kg/s}$ ，一维入口速度 $+3.00\ \mathrm{m/s}$ ，出口速度 $-1.00\ \mathrm{m/s}$ 。忽略压强等其他外力时，维持该流动所需外力是多少？

Answers / 参考答案

1. 电梯原点相对惯性系有加速度，测得的自由粒子加速度不再为零。
2. 不一定；匀速意味着合力为零。
3. 力的施力者与受力者若分居边界两侧就是外力；都在边界内则是内力。
4. 两力的受力者不同； $$B$$ 的图上只有 $\mathbf F_{A\to B}$ 。
5. 质量流率及穿越边界物质相对/惯性速度；多口还需每个口的信息。
6. 原点相对速度恒定且轴不转动；同时处于 Newtonian 低速范围。
7. $\mathbf a=(3.00\widehat{\mathbf i}-4.00\widehat{\mathbf j})\ \mathrm{m/s^2}$ ，大小 $5.00\ \mathrm{m/s^2}$ ，从 $$+x$$ 向下 $53.1^\circ$ 。
8. $\Delta v=-35.0\ \mathrm{m/s}$ ， $F_{\mathrm{avg}}=m\Delta v/\Delta t=-1.05\times10^3\ \mathrm N$ 。
9. $a_1=5.00\ \mathrm{m/s^2}$ ， $a_2=2.00\ \mathrm{m/s^2}$ ，方向相反。
10. 水平动量守恒： $v_f=(50.0)(4.00)/80.0=2.50\ \mathrm{m/s}$ 。
11. $d(\mathbf p_1+\mathbf p_2)/dt=\mathbf F_{2\to1}+\mathbf F_{1\to2}=\mathbf0$ 。
12. 稳态动量流： $F_x=\dot m(v_{out}-v_{in})=2.00(-1.00-3.00)=-8.00\ \mathrm N$ ；外力向 $$-x$$ 。

Exit ticket

请分别用一句话说明：何时可写 $\sum\mathbf F=d\mathbf p/dt$ ，何时可进一步写成 $m\mathbf a$ ，以及何时必须添加动量通量。

9. References and source notes / 参考资料与使用说明

9.1 Source-to-content map

Source	Used for
OpenStax, University Physics Volume 1, §5.1 Forces	force as a vector, system language, Newtonian scale boundary
OpenStax, §5.2 Newton's First Law	inertia, equilibrium, operational inertial-frame discussion
OpenStax, §5.3 Newton's Second Law	constant-mass vector law and component method
OpenStax, §5.5 Newton's Third Law	interaction-pair interpretation and system selection
MIT OpenCourseWare 8.01SC, Chapter 7 — Newton's Laws of Motion	inertial frames, momentum principle, force notation
MIT OpenCourseWare 8.01SC, Chapter 10 — Momentum, System of Particles, and Conservation	material-system momentum and internal/external forces
MIT OpenCourseWare 8.01SC, Chapter 12 — Momentum and the Flow of Mass	continuous mass transfer and the need for momentum-flux accounting

9.2 Bibliographic and modeling notes

OpenStax provides the HS→UG1 Newton-law spine. MIT 8.01SC is used to sharpen the distinction among a material system, a changing-membership body, and a control volume. 本课有意不把“ $\sum\mathbf F=d(m\mathbf v)/dt$ ”当作任意变质量主体的通式；变质量结果都从明确的系统边界与通量约定出发。