势能与保守力 · Potential Energy and Conservative Forces

Learning objectives / 学习目标

完成本课后，你应当能够：

用路径无关、任意闭路功为零与势函数存在这三种等价表述辨认保守力。
从保守力做功定义 $\Delta U=-W_{\rm cons}$ ，推导近地重力势能与理想弹簧势能。
在一维使用 $$F_x=-dU/dx$$ ，在三维使用 $\mathbf F=-\nabla U$ ，并从等势面判断力方向。
区分势能差的物理意义与势能零点的约定自由，保持同一计算中的参考选择一致。
说明“ $\nabla\times\mathbf F=0$ ”成为全局保守的充分条件时为何还需要单连通定义域等边界条件。

0. Three equivalent doors into conservative mechanics

“在所述定义域上”是定理的一部分。若定义域有洞、奇点或被排除区域，局部导数条件可能成立，而环绕洞的闭路积分仍非零。

Knowledge 1 — Conservative and nonconservative forces / 保守力与非保守力

Knowledge ID: P01-U03-L02-K01

1.1 Path independence

设静态力场 $\mathbf F(\mathbf r)$ 定义在区域 $$D$$ 。若任意两点 $A,B\in D$ 之间，所有留在 $$D$$ 内的路径 $$C_1,C_2$$ 都满足

$\int_{C_1}\mathbf F\cdot d\mathbf r =\int_{C_2}\mathbf F\cdot d\mathbf r,$

则称该力在 $$D$$ 上是保守力。否则为非保守力。

Potential Energy and Conservative Forces — 1.1 Path independence（图 2） — 图 21.1 Path independence

将 $$C_1$$ 从 $$A$$ 到 $$B$$ 与反向 $$-C_2$$ 从 $$B$$ 回 $$A$$ 拼接成闭路，得到等价判据：

$\boxed{\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=0 \quad\text{for every closed }C\subset D.}$

Potential Energy and Conservative Forces — 1.1 Path independence（图 3） — 图 31.1 Path independence

1.2 Local curl test and its topological boundary

若 $\mathbf F$ 在三维单连通区域 $$D$$ 上具有连续一阶偏导，则

$\boxed{\nabla\times\mathbf F=\mathbf0}$

等价于 $\mathbf F$ 在 $$D$$ 上存在单值势函数。二维 Cartesian 形式为

$\frac{\partial F_y}{\partial x} =\frac{\partial F_x}{\partial y}.$

但是“旋度为零”只是局部条件；若定义域不是单连通，必须再检查不能缩成一点的闭路。

Potential Energy and Conservative Forces — 1.2 Local curl test and its topological boundary（图 4） — 图 41.2 Local curl test and its topological boundary

1.3 Worked Example 1 — curl-free but not globally conservative

在穿孔平面 $D=\mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}$ 上，令

$\mathbf F(x,y)=C\left( -\frac{y}{x^2+y^2}\hat{\mathbf i} +\frac{x}{x^2+y^2}\hat{\mathbf j} \right),$

其中 $$C$$ 的单位为焦耳。可在 $$D$$ 内直接算得 $\partial F_y/\partial x=\partial F_x/\partial y$ ，所以局部旋度为零。取半径 $$R$$ 的逆时针圆周

$\mathbf r(\phi)=R\cos\phi\,\hat{\mathbf i}+R\sin\phi\,\hat{\mathbf j}, \quad 0\le\phi\le2\pi.$

圆周上 $\mathbf F=(C/R)\hat{\boldsymbol\phi}$ ， $d\mathbf r=R\hat{\boldsymbol\phi}\,d\phi$ ，所以

$\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r =\int_0^{2\pi}C\,d\phi =2\pi C\ne0.$

因此该场在整个穿孔平面上不是全局保守场；不能定义覆盖所有 $$D$$ 的单值势函数。问题不是导数算错，而是圆内奇点被排除，定义域有洞。

1.4 Nonconservative does not mean energy disappears

动摩擦、阻力等常被称为耗散力，因为仅追踪宏观机械能时， $$K+U$$ 会减少。但减少的机械能通常转化为物体与环境的内能、声等；“非保守”描述的是无法用单一位置势函数替代其功，并不等于总能量被销毁。

Knowledge 2 — Gravitational and elastic potential energy / 重力势能与弹性势能

Knowledge ID: P01-U03-L02-K02

2.1 Definition by conservative work

对保守力，定义势能差

$\boxed{U(B)-U(A)=-\int_A^B\mathbf F_{\rm cons}\cdot d\mathbf r.}$

因此保守力做正功时势能下降，做负功时势能上升。

Potential Energy and Conservative Forces — 2.1 Definition by conservative work（图 5） — 图 52.1 Definition by conservative work

2.2 Uniform gravity near Earth's surface

取 $$+y$$ 竖直向上，近地匀强重力为

$\mathbf F_g=-mg\hat{\mathbf j}.$

于是

$\Delta U_g=-\int_{y_i}^{y_f}(-mg)\,dy =mg(y_f-y_i),$

$\boxed{U_g(y)=mgy+C.}$

该表达式只适用于高度变化相对地球半径足够小、 $$g$$ 可视为常量的情形；大尺度引力应使用 $$U(r)=-GMm/r+C$$ 。

Potential Energy and Conservative Forces — 2.2 Uniform gravity near Earth's surface（图 6） — 图 62.2 Uniform gravity near Earth's surface

2.3 Ideal spring

若 $$x$$ 表示弹簧相对自然长的有符号伸长量，Hooke 定律为

$\[F_s=-kx.\]$

故

$U_s(x)-U_s(0)=-\int_0^x(-kx')dx'=\frac12kx^2,$

$\boxed{U_s(x)=\frac12kx^2+C.}$

Potential Energy and Conservative Forces — 2.3 Ideal spring（图 7） — 图 72.3 Ideal spring

Hooke 模型只在弹簧线性弹性范围内可靠；过度拉伸、塑性形变、内耗和迟滞会破坏简单的单值二次势模型。

2.4 Worked Example 2 — gravity and spring energy differences

**(a) 重力：**质量 $0.500\ \mathrm{kg}$ 的物体缓慢升高 $2.00\ \mathrm m$ ，取 $g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$ ：

$\Delta U_g=(0.500)(9.81)(2.00)=9.81\ \mathrm J,$

$W_g=-9.81\ \mathrm J.$

**(b) 弹簧：** $k=200\ \mathrm{N/m}$ ，伸长由 $x_i=0.100\ \mathrm m$ 变为 $x_f=0.250\ \mathrm m$ ：

$\begin{aligned} \Delta U_s &=\frac12(200)(0.250^2-0.100^2)\\ &=5.25\ \mathrm J, \end{aligned}$

故弹簧力做功 $W_s=-5.25\ \mathrm J$ 。两个计算都只依赖端点，因为对应理想力是保守力。

Knowledge 3 — Force as the negative gradient of potential / 力是势能的负梯度

Knowledge ID: P01-U03-L02-K03

3.1 One dimension: force is negative slope

由 $$dU=-F_xdx$$ 得

$\boxed{F_x(x)=-\frac{dU}{dx}.}$

势能图向右上升时 $$dU/dx>0$$ ，力指向左；向右下降时力指向右。力把系统推向较低势能方向，但粒子可因惯性暂时“爬坡”。

Potential Energy and Conservative Forces — 3.1 One dimension: force is negative slope（图 8） — 图 83.1 One dimension: force is negative slope

3.2 Three dimensions: negative gradient

全微分为

$dU=\frac{\partial U}{\partial x}dx +\frac{\partial U}{\partial y}dy +\frac{\partial U}{\partial z}dz.$

与 $dU=-\mathbf F\cdot d\mathbf r$ 对比，得到

$\boxed{ \mathbf F=-\nabla U =-\frac{\partial U}{\partial x}\hat{\mathbf i} -\frac{\partial U}{\partial y}\hat{\mathbf j} -\frac{\partial U}{\partial z}\hat{\mathbf k}.}$

$\nabla U$ 垂直等势面并指向 $$U$$ 增长最快的方向，因此 $\mathbf F$ 垂直等势面并指向 $$U$$ 下降最快的方向。

Potential Energy and Conservative Forces — 3.2 Three dimensions: negative gradient（图 9） — 图 93.2 Three dimensions: negative gradient

3.3 Worked Example 3 — recover a potential from a two-dimensional field

令

$\mathbf F=(2\alpha xy)\hat{\mathbf i}+(\alpha x^2)\hat{\mathbf j}, \qquad \alpha=1.00\ \mathrm{N/m^2}.$

因为

$\frac{\partial F_y}{\partial x}=2\alpha x =\frac{\partial F_x}{\partial y},$

且定义域为整个平面，可求全局势。由 $\partial U/\partial x=-2\alpha xy$ ，

$U=-\alpha x^2y+g(y).$

再用 $-\partial U/\partial y=\alpha x^2=F_y$ ，得到 $$g'(y)=0$$ ，故

$\boxed{U(x,y)=-\alpha x^2y+C.}$

从 $$A=(0,0)$$ 到 $B=(2.00\ \mathrm m,1.00\ \mathrm m)$ ：

$\Delta U=-\alpha(2.00\ \mathrm m)^2(1.00\ \mathrm m)=-4.00\ \mathrm J,$

$W_{A\to B}=-\Delta U=4.00\ \mathrm J.$

此后无需知道具体路径；前提是路径留在同一无奇点定义域中。

Potential Energy and Conservative Forces — 3.3 Worked Example 3 — recover a potential from a two-dimensional field（图 10） — 图 103.3 Worked Example 3 — recover a potential from a two-dimensional field

Knowledge 4 — Reference choices and energy differences / 势能零点与能量差

Knowledge ID: P01-U03-L02-K04

4.1 Additive freedom

若 $U(\mathbf r)$ 产生力 $\mathbf F=-\nabla U$ ，则

$U'(\mathbf r)=U(\mathbf r)+C$

产生完全相同的力，因为 $\nabla C=0$ 。因此绝对零点由约定选择，而

$\Delta U=U_f-U_i$

与该常数无关。

Potential Energy and Conservative Forces — 4.1 Additive freedom（图 11） — 图 114.1 Additive freedom

常见且方便的选择包括：近地问题令某参考高度 $$y_0$$ 处 $$U_g=0$$ ；理想弹簧令自然长 $$x=0$$ 处 $$U_s=0$$ ；孤立引力问题常在 $r\to\infty$ 令 $U\to0$ 。后者只有当极限存在且问题域允许时才可用。

4.2 Consistency when several potentials are added

同一系统可有多个保守相互作用：

$U_{\rm total}=U_g+U_s+\cdots.$

每一项可选自己的加法常数，但在同一道题的初态与末态之间必须保持相同约定。改变零点会整体平移总能量数值，却不改变速度、力、转折点条件 $$E-U=K$$ 或能量差。

4.3 Worked Example 4 — changing the zero does not change the answer

质量 $m=1.50\ \mathrm{kg}$ 的物体从 $y_i=1.00\ \mathrm m$ 升至 $y_f=4.00\ \mathrm m$ 。

若令 $$U=0$$ 在 $$y=0$$ ，则

$U_i=14.7\ \mathrm J, \qquad U_f=58.9\ \mathrm J,$

$\Delta U=44.1\ \mathrm J.$

若改令 $$U=0$$ 在 $y=10.0\ \mathrm m$ ，则 $U'=mg(y-10.0\ \mathrm m)$ ：

$U_i'=-132\ \mathrm J, \qquad U_f'=-88.3\ \mathrm J,$

舍入前相减仍给

$\Delta U'=mg(y_f-y_i)=44.1\ \mathrm J.$

负势能本身没有异常；零点是约定，差值才进入可测动力学。

4.4 System-boundary picture

5. Lesson synthesis / 全课整合

5.1 Decision workflow / 判定流程

写出力场及其完整定义域，标出奇点和被排除区域。
在定义域内检查混合偏导或旋度。
若区域单连通且光滑条件满足，可积分构造 $$U$$ ；若有洞，再检查非可缩闭路。
构造 $$U$$ 时保留“另一变量的未知函数”，不要漏掉积分自由度。
最后对所得 $$U$$ 求 $-\nabla U$ ，逐分量复原原力场。
所有数值题只用同一势能零点求初末状态；最好直接算 $\Delta U$ 。

6. Model boundaries / 模型边界

Statement	Valid when	Failure or extension
Path independence $\Leftrightarrow$ closed-loop work zero	all compared paths lie in one stated domain	excluded singularities can change loop classes
$\nabla\times\mathbf F=0\Rightarrow$ conservative	$$C^1$$ field on a simply connected domain	not sufficient globally on a multiply connected domain
$$U_g=mgy+C$$	nearly uniform $$g$$ over vertical range	use $$-GMm/r+C$$ for planetary scale
$U_s=\tfrac12kx^2+C$	Hooke-law range, negligible hysteresis	nonlinear elasticity or dissipation needs a richer model
$\mathbf F=-\nabla U$	position-dependent conservative force	velocity-dependent forces may require generalized potentials
Potential energy assigned to an object	shorthand when interaction partner is implicit	rigorous accounting requires a system including the interaction

7. Misconception clinic / 易错概念诊所

Misconception / 错误观念	Correction / 修正
“势能是物体自身携带的东西。”	势能关联相互作用系统及其构型。
“保守力不会改变动能。”	保守力可在 $$K$$ 与 $$U$$ 间转换；只是其功可写成 $-\Delta U$ 。
“非保守力不满足能量守恒。”	总能量仍守恒；只是不能用单值位置势代替该力的全部功。
“旋度为零一定全局保守。”	还需定义域拓扑与光滑性条件；穿孔平面给出反例。
“势能必须非负。”	势能零点任意，负值完全允许。
“ $$F=-dU/dx$$ 中负号表示力总为负。”	负号表示力指向势能下降方向；具体正负由斜率决定。
“弹簧势能是 $$kx^2$$ 。”	正确系数为 $\tfrac12$ ，由积分 Hooke 力得到。
“ $$mgy$$ 对任意高度都精确。”	它是假设 $$g$$ 恒定的近地近似。
“两条路径端点相同，所以功必相同。”	只有保守力才成立；一般功依路径。

8. Formula sheet / 公式表

Concept	Equation	Conditions
Potential difference	$U_B-U_A=-\int_A^B\mathbf F_{\rm cons}\cdot d\mathbf r$	conservative force
Closed-loop test	$\oint_C\mathbf F_{\rm cons}\cdot d\mathbf r=0$	every loop in domain
Curl test	$\nabla\times\mathbf F=\mathbf0$	with domain conditions
Force from potential	$\mathbf F=-\nabla U$	static scalar potential
Uniform-gravity potential	$$U_g=mgy+C$$	local constant $$g$$
Ideal-spring potential	$U_s=\tfrac12kx^2+C$	Hooke regime
Gauge shift	$$U'=U+C$$	same force and $\Delta U$

9. Practice and retrieval / 练习与检索

A. Conceptual questions

为什么“任意闭路功为零”与“路径无关”互相推出？
$$U(x)$$ 在某点向右上升， $$F_x$$ 指向哪里？
势能图整体上移 $100\ \mathrm J$ 会改变什么、不改变什么？
为什么局部旋度为零还不足以处理含奇点的定义域？
动摩擦使机械能减少时，总能量去了哪里？

B. Quantitative and derivation questions

$2.00\ \mathrm{kg}$ 物体升高 $3.00\ \mathrm m$ ，求 $\Delta U_g$ 和重力功。
$k=80.0\ \mathrm{N/m}$ 的弹簧由 $x=-0.100\ \mathrm m$ 变到 $x=0.200\ \mathrm m$ ，求 $\Delta U_s$ 与弹簧功。
给定 $$U(x)=ax^4-bx^2$$ ，求 $$F_x(x)$$ 。
检查 $\mathbf F=(3y^2)\hat{\mathbf i}+(6xy)\hat{\mathbf j}$ 在整个平面是否保守，并求一个势函数。
证明把 $$U$$ 换成 $$U+C$$ 不改变力和势能差。
对 $\mathbf F=C(-y\hat{\mathbf i}+x\hat{\mathbf j})/(x^2+y^2)$ ，说明为何不能只凭局部旋度判断全局保守性。

Answers / 参考答案

1. 两条路径拼成闭路；反过来，把闭路拆成去程与反向回程。
2. $$F_x=-dU/dx<0$$ ，指向左。
3. 绝对势能和总能量标签均上移；力、 $\Delta U$ 、运动与转折点条件不变。
4. 绕洞闭路不能缩成局部小环，可能包围奇点并有非零环流。
5. 转化为系统与环境的内能、声等；需扩大系统边界记账。
6. $\Delta U_g=(2.00)(9.81)(3.00)=58.9\ \mathrm J$ ， $W_g=-58.9\ \mathrm J$ 。
7. $\Delta U_s=\frac12(80.0)(0.200^2-0.100^2)=1.20\ \mathrm J, \qquad W_s=-1.20\ \mathrm J.$ 8. $$F_x=-4ax^3+2bx$$ 。
9. 混合偏导均为 $$6y$$ ，整个平面单连通； $$U=-3xy^2+C$$ 。
10. $-\nabla(U+C)=-\nabla U$ ，且 $(U_f+C)-(U_i+C)=\Delta U$ 。
11. 原点被排除使定义域非单连通；环绕原点一次的闭路积分为 $2\pi C$ 。

Exit ticket

画一幅有闭合等势线的二维图，标出 $\nabla U$ 、 $\mathbf F$ 与任意切向微位移；写出三者的垂直或反向关系，并补上全局保守判据中的定义域条件。

10. References and source notes / 参考资料与使用说明

10.1 Source-to-content map

Source	Used for
OpenStax, University Physics Volume 1, §8.1 Potential Energy of a System	$\Delta U=-W_{\rm cons}$ , interaction-system viewpoint, gravity and spring potentials
OpenStax, §8.2 Conservative and Non-Conservative Forces	path independence, closed-loop criterion, component tests and force from potential
OpenStax, Chapter 8 Key Equations	notation and equation cross-check
MIT OpenCourseWare 8.01SC, Week 8: Potential Energy and Energy Conservation	undergraduate sequencing, system choices and conservative-force applications
MIT OCW 18.02SC, Multivariable Calculus — Lecture Notes	line-integral theorem, potential construction, simply connected regions and domain-sensitive vector-calculus criteria

10.2 Bibliographic notes

OpenStax Chapter 8 supplies the mechanics spine. MIT 8.01SC checks physics conventions; MIT 18.02SC checks the vector-calculus and domain logic. The punctured-plane example is included specifically to prevent overgeneralizing the local curl test.