冲量与动量

Learning objectives / 学习目标

完成本课后，你应当能够：

1. 把线动量写成矢量及分量形式，并区分动量、速率与动能。
2. 把冲量解释为净力的时间积分与 \(F\)–\(t\) 图的有符号面积。
3. 从动量形式的 Newton 第二定律推导冲量—动量定理，并处理二维冲量。
4. 在短时碰撞中分辨平均力、峰值力和背景外力，判断哪些冲量可忽略。
5. 用单位、方向、极限情形与动量箭图检查答案。

0. Notation and dimensions / 记号与量纲

因为 \(1\ \mathrm N=1\ \mathrm{kg\,m\,s^{-2}}\)，所以

\[1\ \mathrm{N\,s}=1\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}.\]

Knowledge 1 — Linear momentum and its vector character / 线动量及其矢量性

Knowledge ID: P01-U04-L01-K01

1.1 Definition and components / 定义与分量

对经典质点，线动量定义为

\[\boxed{\mathbf p=m\mathbf v}.\]

动量是矢量。在 Cartesian 坐标中，

\[\mathbf p=(p_x,p_y,p_z) =m(v_x,v_y,v_z).\]

因此，向西运动的物体虽然质量和速率均为正，其 \(p_x\) 仍可为负。动量大小为

\[p=\lVert\mathbf p\rVert=mv,\]

其中 \(v=\lVert\mathbf v\rVert\) 是速率。由于速度依赖参考系，动量也依赖参考系。

1.2 Vector addition, not addition of magnitudes / 相加的是矢量，不是大小

对多个粒子，总动量是各粒子动量的矢量和：

\[\mathbf P=\sum_i\mathbf p_i.\]

方向相反的动量可以相消。两个等质量物体以相同速率反向运动时有 \(\mathbf P=\mathbf0\)；但两者都没有静止，而且总动能并不为零。由此可见，“总动量为零”不等于“系统没有运动”。

Worked Example 1 — momentum as a two-dimensional vector / 二维矢量动量

一个 \(0.150\ \mathrm{kg}\) 的冰球以 \(8.00\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 沿东偏北 \(30.0^\circ\) 运动。于是

\[\mathbf p=m v(\cos30.0^\circ\,\hat{\mathbf i}+\sin30.0^\circ\,\hat{\mathbf j}),\]

\[\boxed{\mathbf p=(1.04\,\hat{\mathbf i}+0.600\,\hat{\mathbf j})\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}}.\]

动量大小为 \(1.20\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\)。若误把两个分量的大小直接相加，会得到错误的 \(1.64\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\)；矢量大小必须由平方和开方得到。

Knowledge 2 — Impulse as force integrated over time / 冲量是力对时间的积分

Knowledge ID: P01-U04-L01-K02

2.1 Vector integral and average force / 矢量积分与平均力

从 \(t_i\) 到 \(t_f\)，合力给予物体的冲量定义为

\[\boxed{\mathbf J=\int_{t_i}^{t_f}\mathbf F_{\rm net}(t)\,dt}.\]

逐分量写为

\[J_x=\int F_x\,dt, \qquad J_y=\int F_y\,dt.\]

把时间平均力定义为

\[\mathbf F_{\rm avg} =\frac{1}{\Delta t}\int_{t_i}^{t_f}\mathbf F_{\rm net}(t)\,dt, \qquad \mathbf J=\mathbf F_{\rm avg}\Delta t.\]

这一恒等式并不意味着力恒定，也不意味着“力的大小的平均值”等于“平均力矢量的大小”。若力的方向随时间改变，这两者尤其不能混用。

2.2 Signed area and units / 有符号面积与单位

在 \(F_x\)–\(t\) 图中，时间轴上方的面积对 \(J_x\) 作正贡献，下方的面积作负贡献。若要把图形面积直接读成 \(\mathrm{N\,s}\)，横轴必须以秒为单位。这里求的是有符号面积，不是所有区域几何面积之和。

Worked Example 2 — piecewise force and signed impulse / 分段力与有符号冲量

某力分量在前 \(0.200\ \mathrm s\) 内由零线性增至 \(6.00\ \mathrm N\)，随后在 \(t=0.500\ \mathrm s\) 时线性降回零；接着出现一个高为 \(-2.00\ \mathrm N\)、底宽为 \(0.400\ \mathrm s\) 的负三角形。按有符号面积计算，

\[J_x=\frac12(0.500\ \mathrm s)(6.00\ \mathrm N) -\frac12(0.400\ \mathrm s)(2.00\ \mathrm N),\]

\[\boxed{J_x=+1.10\ \mathrm{N\,s}}.\]

所有区域的几何面积之和为 \(1.90\ \mathrm{N\,s}\)，但它不是净冲量；负区域必须相减。

Knowledge 3 — Impulse-momentum theorem / 冲量—动量定理

Knowledge ID: P01-U04-L01-K03

3.1 Derivation / 推导

对惯性系中的定质量质点，

\[\mathbf F_{\rm net}=\frac{d\mathbf p}{dt}.\]

在整个相互作用时间内积分，

\[\int_{t_i}^{t_f}\mathbf F_{\rm net}\,dt =\int_{\mathbf p_i}^{\mathbf p_f}d\mathbf p,\]

因此

\[\boxed{\mathbf J_{\rm net}=\Delta\mathbf p=\mathbf p_f-\mathbf p_i}.\]

质量恒定时，还可写成

\[\boxed{\mathbf J_{\rm net}=m(\mathbf v_f-\mathbf v_i)}.\]

该定理是矢量关系：让 \(\mathbf p_i\) 与 \(\mathbf p_f\) 共起点时，冲量箭头应从 \(\mathbf p_i\) 的箭头末端指向 \(\mathbf p_f\) 的箭头末端。

3.2 A force impulse changes direction as well as speed / 冲量既能改变速率，也能改变方向

垂直于初动量的冲量可以改变速度方向，而不会直接削弱原有方向的动量分量。一般地，

\[p_f^2=p_i^2+J^2+2\mathbf p_i\cdot\mathbf J.\]

因此只知道冲量大小还不够；冲量相对 \(\mathbf p_i\) 的方向同样决定末动量大小与方向。

Worked Example 3 — two-dimensional kick / 二维踢击

一个 \(0.400\ \mathrm{kg}\) 的球初始以 \(5.00\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 向东运动。踢球过程中它获得冲量

\[\mathbf J=(-0.800\,\hat{\mathbf i}+1.50\,\hat{\mathbf j})\ \mathrm{N\,s}.\]

其初动量为 \(2.00\,\hat{\mathbf i}\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\)，所以

\[\mathbf p_f=(1.20\,\hat{\mathbf i}+1.50\,\hat{\mathbf j})\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}},\]

\[\boxed{\mathbf v_f=(3.00\,\hat{\mathbf i}+3.75\,\hat{\mathbf j})\ \mathrm{m\,s^{-1}}}.\]

故 \(v_f=4.80\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，方向为东偏北 \(51.3^\circ\)。判断速率是否减小的精确条件是

\[p_f^2<p_i^2 \quad\Longleftrightarrow\quad J^2+2\mathbf p_i\cdot\mathbf J<0.\]

本例中 \(J^2=2.89\ \mathrm{(N\,s)^2}\)，而 \(2\mathbf p_i\cdot\mathbf J=-3.20\ \mathrm{(N\,s)^2}\)，两者之和为 \(-0.310\ \mathrm{(N\,s)^2}<0\)，所以速率确实略微减小。仅有 \(\mathbf p_i\cdot\mathbf J<0\) 是必要但不充分的：若反向冲量足够大，它可能使物体反向后以更大速率运动。

Knowledge 4 — Force-time graphs and short-duration interactions / 力—时间图像与短时相互作用

Knowledge ID: P01-U04-L01-K04

4.1 Average and peak force are different data / 平均力与峰值力是不同信息

两个力脉冲可以具有相同冲量，因而产生相同的 \(\Delta\mathbf p\)，但峰值力却相差很大。对同一动量变化，延长停止时间会降低所需平均力：

\[F_{\rm avg}=\frac{\lvert\Delta\mathbf p\rvert}{\Delta t}\]

这一标量写法只在力与动量变化共线时可直接使用；一般情形仍应写矢量式。

4.2 Contact impulse versus background impulse / 接触冲量与背景冲量

短时碰撞中的净冲量应完整写为

\[\mathbf J_{\rm net}=\mathbf J_{\rm contact} +\mathbf J_{\rm gravity}+\mathbf J_{\rm other}.\]

忽略重力冲量是一种近似，而不是新的守恒定律。只有满足下列量级条件时才有依据：

\[mg\Delta t\ll\lVert\mathbf J_{\rm contact}\rVert.\]

4.3 Rebound requires a larger momentum change than stopping / 反弹比停住需要更大的动量变化

取向上为正。一个以速度 \(-v_i\) 接近地面、又以 \(+v_f\) 弹起的球，其动量变化为

\[\Delta p=m(v_f+v_i)>0.\]

若球只停下而不反弹，则 \(\Delta p=mv_i\)。因此在接触时间相同的条件下，反弹通常需要更大的平均合力。

Worked Example 4 — bounce, gravity correction, and contact force / 反弹、重力修正与接触力

一个 \(0.0600\ \mathrm{kg}\) 的球以 \(-12.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 到达地面，并以 \(+8.00\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 离开。接触持续 \(5.00\ \mathrm{ms}\)，取向上为正。

\[\Delta p=0.0600[8.00-(-12.0)]=1.20\ \mathrm{N\,s}.\]

这是合力的冲量，因此

\[F_{\rm net,avg}=\frac{1.20}{0.00500}=240\ \mathrm N.\]

又因为 \(F_{\rm contact}-mg=F_{\rm net}\)，

\[\boxed{F_{\rm contact,avg}=240+0.0600(9.81)=241\ \mathrm N}\]

保留三位有效数字即为 \(241\ \mathrm N\)。重力冲量仅为 \(mg\Delta t=2.94\times10^{-3}\ \mathrm{N\,s}\)，约占净冲量的 \(0.245\%\)；所以本例忽略它会是一个可量化控制的近似。

5. Problem-solving protocol / 解题协议

1. 明确研究对象或定质量系统，并声明惯性参考系。
2. 先选坐标轴，再给各分量赋正负号。
3. 判断图像给出的是力分量、力的大小，还是合力。
4. 分段计算每个有符号面积或积分。
5. 用 \(\mathbf p_f=\mathbf p_i+\mathbf J_{\rm net}\) 作矢量相加。
6. 检查冲量单位是否为 \(\mathrm{N\,s}\)，并核对箭图方向和长度是否合理。

6. Lesson synthesis / 本课综合

本课可以归结为一次矢量更新：选定定质量对象，在同一时间区间内积分合力的每个分量，再把所得冲量矢量加到初动量上。力随时间的具体形状控制峰值载荷，而其有符号时间积分控制动量变化。

7. Misconception clinic / 易错诊所

8. Practice and retrieval / 练习与检索

P1 — 有符号图形面积

\(F_x=+12.0\ \mathrm N\) 持续 \(0.150\ \mathrm s\)，随后 \(F_x=-5.00\ \mathrm N\) 持续 \(0.400\ \mathrm s\)。求 \(J_x\)。

P2 — 冲量与末速度

一个 \(2.00\ \mathrm{kg}\) 的小车初速度为 \(v_x=-1.50\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，随后获得 \(J_x=+5.00\ \mathrm{N\,s}\) 的冲量。求 \(v_{f,x}\)。

P3 — 矢量冲量

一个 \(0.250\ \mathrm{kg}\) 的冰球初速度为 \((4.00,0)\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)。力 \((3.00\,\hat{\mathbf i}-4.00\,\hat{\mathbf j})\ \mathrm N\) 作用 \(0.500\ \mathrm s\)，求末速度。

P4 — 停止时间设计

一个 \(75.0\ \mathrm{kg}\) 的乘客由 \(20.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 减速至零。比较停止时间分别为 \(0.0500\ \mathrm s\) 与 \(0.250\ \mathrm s\) 时的平均力大小。

9. Formula sheet / 公式表

\[\mathbf p=m\mathbf v, \qquad \mathbf P=\sum_i\mathbf p_i,\]

\[\mathbf J=\int_{t_i}^{t_f}\mathbf F_{\rm net}\,dt =\mathbf F_{\rm avg}\Delta t,\]

\[\boxed{\mathbf J_{\rm net}=\Delta\mathbf p =\mathbf p_f-\mathbf p_i},\]

\[\mathbf p_f=\mathbf p_i+\mathbf J_{\rm net}.\]

复习与拓展

• 若力图像穿过时间轴，先问：求的是分量的有符号面积，还是几何面积？
• 物体发生反弹时，计算前先画 \(\mathbf p_i\)、\(\mathbf p_f\)，再画 \(\Delta\mathbf p\)。
• 看到“碰撞时间很短”时，应定量比较被忽略的背景冲量。
• 前向联系：Lesson 1.4.2 将把各粒子的冲量方程相加，说明孤立系统的内冲量为何成对相消。

11. References and source notes / 参考资料与来源说明

本课所有示意图与数值例题均为原创；参考资料最后核验于 2026-08-20。