学习目标 / Learning objectives
- 用系统边界与外冲量判断动量是否可守恒，再独立判断动能变化。
- 求解一维弹性、非弹性和完全非弹性碰撞，并检查极限情形。
- 把二维动量方程拆成独立分量，识别未知数数量与额外条件。
- 沿接触法线正确定义恢复系数，说明光滑接触与摩擦边界。
- 分析爆炸和反冲，并指出碎片动能增加来自系统内部能量。
0. 两本账模型 / A two-ledger model
记号约定：\(\mathbf u_1,\mathbf u_2\) 表示碰撞前速度，\(\mathbf v_1,\mathbf v_2\) 表示碰撞后速度。
Knowledge 1 — Elastic, inelastic, and perfectly inelastic collisions / 弹性与非弹性碰撞
Knowledge ID: P01-U04-L03-K01
若碰撞期间外冲量可以忽略，则
\[m_1\mathbf u_1+m_2\mathbf u_2 =m_1\mathbf v_1+m_2\mathbf v_2.\]
碰撞类型按系统总平动动能 \(K\) 的变化区分：
| 类型 | 动量 | 平动动能 |
|---|---|---|
| 弹性碰撞 | 守恒 | \(K_f=K_i\) |
| 被动非弹性碰撞 | 守恒 | \(K_f<K_i\) |
| 完全非弹性碰撞 | 守恒 | 各物体具有共同末速度 |
所谓“损失的动能”会转化为形变、内能、声、断裂或内部激发等形式；总能量并未消失。
反应性或超弹性碰撞可能因化学能、弹性能或其他内部储能释放而满足 \(K_f>K_i\)。由于平动动能不守恒，它仍不是弹性碰撞；但它不能归入上表“被动损失”的情形。Knowledge 5 的爆炸分析可视为内部能量快速释放的极限图景。
例题 1 / Worked Example 1 — 粘连碰撞与动能变化
\(m_1=2.00\ \mathrm{kg}\) 以 \(+4.00\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 运动，\(m_2=3.00\ \mathrm{kg}\) 初始静止。两物体碰后粘在一起，因此
\[v=\frac{m_1u_1+m_2u_2}{m_1+m_2}=1.60\ \mathrm{m\,s^{-1}}.\]
\[K_i=16.0\ \mathrm J, \qquad K_f=\frac12(5.00)(1.60)^2=6.40\ \mathrm J.\]
所以 \(\boxed{\Delta K=-9.60\ \mathrm J}\)。本例同时满足总动量守恒与平动动能减少；二者并不矛盾。
Knowledge 2 — One-dimensional collision analysis / 一维碰撞分析
Knowledge ID: P01-U04-L03-K02
2.1 一维弹性碰撞公式
在一维两体弹性碰撞中，总动量守恒与 \(K_f=K_i\) 联立可得
\[u_1-u_2=-(v_1-v_2),\]
进而得到
\[\boxed{v_1=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}u_1 +\frac{2m_2}{m_1+m_2}u_2},\]
\[\boxed{v_2=\frac{2m_1}{m_1+m_2}u_1 +\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}u_2}.\]
这些公式只适用于一维、两体、弹性碰撞，并要求所选时间区间内外冲量可忽略。
例题 2 / Worked Example 2 — 不等质量物体的弹性碰撞
一辆 \(1.00\ \mathrm{kg}\) 小车以 \(+6.00\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 与一辆静止的 \(2.00\ \mathrm{kg}\) 小车发生一维弹性碰撞：
\[v_1=\frac{1-2}{3}(6.00)=-2.00\ \mathrm{m\,s^{-1}},\]
\[v_2=\frac{2(1)}{3}(6.00)=4.00\ \mathrm{m\,s^{-1}}.\]
碰撞前后总动量均为 \(6.00\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\)，总动能均为 \(18.0\ \mathrm J\)，两本账分别闭合。
Knowledge 3 — Two-dimensional collision analysis / 二维碰撞分析
Knowledge ID: P01-U04-L03-K03
二维动量守恒必须逐分量书写：
\[m_1u_{1x}+m_2u_{2x}=m_1v_{1x}+m_2v_{2x},\]
\[m_1u_{1y}+m_2u_{2y}=m_1v_{1y}+m_2v_{2y}.\]
这两个标量方程无法单独确定四个未知末速度分量。还必须由碰后粘连条件、几何关系、弹性动能条件或接触定律提供额外约束。
例题 3 / Worked Example 3 — 二维完全非弹性碰撞
一辆 \(1200\ \mathrm{kg}\) 汽车以 \(15.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 向东行驶，与一辆 \(1800\ \mathrm{kg}\)、以 \(10.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 向北行驶的车辆相撞后粘连。碰撞历时很短，忽略路面对两车系统的冲量。
\[v_x=\frac{1200(15.0)}{3000}=6.00\ \mathrm{m\,s^{-1}},\]
\[v_y=\frac{1800(10.0)}{3000}=6.00\ \mathrm{m\,s^{-1}}.\]
因此
\[\boxed{v=8.49\ \mathrm{m\,s^{-1}},\quad \theta=45.0^\circ\text{ north of east}}.\]
该结果描述碰撞刚结束的共同速度；随后路面冲量会继续显著改变残骸的速度。
Knowledge 4 — Coefficient of restitution / 恢复系数
Knowledge ID: P01-U04-L03-K04
令接触法线单位矢量 \(\hat{\mathbf n}\) 从物体 1 指向物体 2。两物体相互接近时，\((\mathbf u_1-\mathbf u_2)\cdot\hat{\mathbf n}>0\)。定义恢复系数
\[\boxed{e= \frac{(\mathbf v_2-\mathbf v_1)\cdot\hat{\mathbf n}} {(\mathbf u_1-\mathbf u_2)\cdot\hat{\mathbf n}}}.\]
等价地，沿接触法线的相对分离速率等于相对接近速率的 \(e\) 倍。被动理想碰撞通常满足 \(0\le e\le1\)：\(e=1\) 表示法向相对运动完全恢复，\(e=0\) 表示碰撞后瞬间没有法向分离速度。
若接触光滑且无摩擦冲量，各物体的切向速度分量保持不变；粗糙接触会传递切向冲量并引起自转，此时这一捷径失效。\(e\) 可依赖材料、碰撞速率、温度、形变模式与形状，并非普适常量。主动接触或内部储能释放甚至可产生有效的 \(e>1\)。
例题 4 / Worked Example 4 — 一维恢复系数
已知 \(m_1=1.00\ \mathrm{kg}\)、\(m_2=2.00\ \mathrm{kg}\)、\(u_1=+5.00\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)、\(u_2=0\)、\(e=0.600\)。总动量方程与恢复系数方程分别为
\[v_1+2v_2=5, \qquad v_2-v_1=0.600(5)=3.\]
联立解得
\[\boxed{v_1=-0.333\ \mathrm{m\,s^{-1}},\qquad v_2=2.67\ \mathrm{m\,s^{-1}}}.\]
末态总动能为 \(7.17\ \mathrm J\)，小于初态的 \(12.5\ \mathrm J\)，与 \(e<1\) 一致。
Knowledge 5 — Explosions, recoil, and energy release / 爆炸、反冲与能量释放
Knowledge ID: P01-U04-L03-K05
爆炸是内部能量向平动动能及其他能量形式的快速转化。若外冲量可忽略，则
\[\mathbf P_f=\mathbf P_i,\]
但由于化学能、弹性能、核能或压强相关储能减少，\(K_f\) 可以大于 \(K_i\)。增加的平动动能来自内部储能，而不是由动量守恒“创造”。
例题 5 / Worked Example 5 — 反冲中的能量分配
一个静止的 \(6.00\ \mathrm{kg}\) 装置分裂成 \(2.00\ \mathrm{kg}\) 与 \(4.00\ \mathrm{kg}\) 两块。较小碎片以 \(12.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 向东运动。由总动量守恒，
\[2.00(12.0)+4.00v_2=0, \qquad \boxed{v_2=-6.00\ \mathrm{m\,s^{-1}}}.\]
碎片获得的总平动动能为
\[K_f=\frac12(2.00)(12.0)^2+\frac12(4.00)(6.00)^2 =\boxed{216\ \mathrm J}.\]
因此至少有 \(216\ \mathrm J\) 的初始内部能量转化为碎片平动动能；真实过程还会把能量分配到内能、声、形变等其他通道。
6. 本课综合 / Lesson synthesis
7. 易错诊所 / Misconception clinic
| 错误观念 | 修正 |
|---|---|
| “动量守恒就意味着动能守恒。” | 动量账与能量账必须分别建立。 |
| 弹性碰撞只守恒速率 | 应守恒矢量总动量和标量总动能。 |
| 对斜碰直接套一维弹性碰撞公式 | 分解动量分量，并使用接触几何或接触定律。 |
| 用整体速率大小定义 \(e\) | 使用相对速度在接触法线上的投影。 |
| 认为切向速度永远不变 | 只对理想光滑、无摩擦冲量的接触成立。 |
| 说爆炸“创造了能量” | 指出哪个内部储能在减少。 |
8. 练习与检索 / Practice and retrieval
P1
一个 \(0.200\ \mathrm{kg}\) 小球以 \(+10.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 运动，与一个以 \(-2.00\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 运动的 \(0.300\ \mathrm{kg}\) 小球碰后粘连。求共同末速度与动能变化。
答案
\[v=2.80\ \mathrm{m\,s^{-1}}, \qquad \Delta K=1.96-(10.0+0.600)=-8.64\ \mathrm J.\]
P2
两个等质量物体发生一维弹性碰撞，\(u_1=3.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)、\(u_2=-1.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)。求两物体末速度。
答案
等质量一维弹性碰撞交换速度：\(v_1=-1.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，\(v_2=3.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)。
P3
一个静止物体爆炸成三块，其中两块的动量分别为 \((6,0)\) 与 \((-2,5)\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\)。求第三块的动量。
答案
\[\mathbf p_3=-(\mathbf p_1+\mathbf p_2)=(-4,-5)\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}.\]
P4
一维碰撞中，\(u_1=8.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)、\(u_2=2.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)、\(v_1=3.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)、\(v_2=6.5\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)。求 \(e\)。
答案
\[e=\frac{v_2-v_1}{u_1-u_2}=\frac{3.5}{6.0}=0.583.\]
9. 公式表 / Formula sheet
\[\sum\mathbf p_i=\sum\mathbf p_f \quad\text{if}\quad \mathbf J_{\rm ext}=\mathbf0,\]
\[v_{\rm stick}=\frac{m_1u_1+m_2u_2}{m_1+m_2},\]
\[K_f=K_i\quad\text{only for an elastic collision},\]
\[e=\frac{(\mathbf v_2-\mathbf v_1)\cdot\hat{\mathbf n}} {(\mathbf u_1-\mathbf u_2)\cdot\hat{\mathbf n}}.\]
复习与拓展
- 解题前先数清未知末速度分量；仅靠动量方程通常不足以闭合问题。
- 用“等质量”与 \(m_2\gg m_1\) 两个极限检验一维弹性碰撞公式。
- 使用 \(e\) 后检查物体确实分离，而不是继续相互穿透。
- 向后衔接：火箭反冲类似连续重复的质量喷射，但火箭是开放子系统，必须写动量通量平衡。
11. 参考资料与来源说明 / References and source notes
| 来源 | 本课使用内容 |
|---|---|
| OpenStax, University Physics Volume 1, §9.3 | 动量守恒的外冲量条件 |
| OpenStax, University Physics Volume 1, §9.4 | 弹性/非弹性分类与一维分析 |
| OpenStax, University Physics Volume 1, §9.5 | 矢量分量法与爆炸示例 |
| MIT OpenCourseWare 2.003J, Lecture 6 | 恢复系数与质心系碰撞分析 |
| MIT OpenCourseWare 8.01SC, Chapter 15: Collision Theory | 基于冲量的碰撞建模与能量条件 |
参考答案 / Answers
P1：\(v=2.80\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，\(\Delta K=-8.64\ \mathrm J\)。P2：\((v_1,v_2)=(-1.0,3.0)\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)。P3：\(\mathbf p_3=(-4,-5)\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\)。P4：\(e=0.583\)。