变质量系统

学习目标 / Learning objectives

1. 区分固定物质系统、开放控制体与“当前剩余物体”，写出含动量通量的核算式。
2. 用固定符号约定从短时间动量平衡推导火箭微分方程与 Tsiolkovsky 方程。
3. 计算质量流推力与压力推力，区分喷气绝对速度和相对速度。
4. 把重力、阻力与推力一致地放入动力学方程，不重复计入喷流作用。
5. 处理吸积、漏砂等非火箭变质量问题，并说明模型边界。

0. 三类不可混淆的对象 / Three objects that must not be confused

Knowledge 1 — Momentum balance for changing system boundaries / 边界变化系统的动量核算

Knowledge ID: P01-U04-L04-K01

1.1 一维开放物体的动量核算 / One-dimensional open-body balance

若物体的速度为 \(v\)，流入流为 \((\mu_{\rm in},v_{\rm in})\)，流出流为 \((\mu_{\rm out},v_{\rm out})\)，并且所有速度都在同一惯性参考系中测量，则

\[\boxed{ m\frac{dv}{dt}=F_{\rm ext} +\sum_{\rm in}\mu_{\rm in}(v_{\rm in}-v) -\sum_{\rm out}\mu_{\rm out}(v_{\rm out}-v) }.\]

式中的相对速度因子来自这样一个事实：新加入或离开的物质必须与边界所随物体的速度比较。上述形式假设物体尺度可忽略、具有定义明确的速度 \(v\)，且各股物流均为一维；对一般控制体，必须改用矢量形式的面积通量积分。

1.2 从固定物质系统推导火箭微分方程 / Rocket differential balance from a fixed material system

在时刻 \(t\)，选取“火箭与随后 \(dt\) 内将被排出的少量物质”作为固定物质系统，其初动量为 \(mv\)。到 \(t+dt\) 时，剩余火箭的质量为 \(m+dm\)、速度为 \(v+dv\)；被排出的正质量 \(-dm\) 的速度为 \(v-u_e\)，因此

\[mv+F_{\rm ext}dt =(m+dm)(v+dv)+(-dm)(v-u_e).\]

略去二阶小量乘积 \(dm\,dv\)，得到

\[m\,dv+u_e\,dm=F_{\rm ext}dt,\]

即

\[\boxed{m\frac{dv}{dt}=F_{\rm ext}-u_e\frac{dm}{dt} =F_{\rm ext}+\mu u_e}.\]

例题 1 / Worked Example 1 — 小车收集雨水

一辆水平运动的小车具有 \(m=100\ \mathrm{kg}\)、\(v=4.00\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)。雨水竖直落入车内，因此其水平惯性系速度为 \(v_{{\rm in},x}=0\)。当 \(\mu_{\rm in}=2.00\ \mathrm{kg\,s^{-1}}\)，且无水平外力时，

\[m\frac{dv}{dt}=\mu_{\rm in}(0-v),\]

\[\boxed{a_x=-0.0800\ \mathrm{m\,s^{-2}}}.\]

小车减速，是因为它必须把新收集的水沿水平方向加速到与车相同的速度。

Knowledge 2 — Rocket equation / 火箭方程

Knowledge ID: P01-U04-L04-K02

对于理想自由飞行，取 \(F_{\rm ext}=0\)，并假定 \(u_e\) 为常量：

\[dv=-u_e\frac{dm}{m}.\]

从 \((m_i,v_i)\) 积分到 \((m_f,v_f)\)，可得

\[\boxed{\Delta v=v_f-v_i=u_e\ln\left(\frac{m_i}{m_f}\right)}.\]

这一形式的 Tsiolkovsky 理想火箭方程假定：喷流沿一维共线方向排出；相对动量排气速度 \(u_e\) 为常量；出口压强与环境压强匹配（或压力项可忽略）；所研究的机动过程中不计重力和阻力；同一次积分内不存在级间分离造成的质量跃变。若已把压力推力吸收到常量有效排气速度 \(c_{\rm eff}\) 中，则本次积分里的 \(u_e\) 应全部替换为 \(c_{\rm eff}\)，之后不得再次叠加压力项。

例题 2 / Worked Example 2 — 理想速度增量

某一级火箭具有 \(m_i=12.0\ \mathrm{Mg}\)、\(m_f=4.00\ \mathrm{Mg}\) 和 \(u_e=2.40\ \mathrm{km\,s^{-1}}\)，则

\[\Delta v=(2400)\ln(3.00)=\boxed{2.64\times10^3\ \mathrm{m\,s^{-1}}}.\]

质量比中的单位会约去。这个结果只是理想速度增量；除非另行计入初速度以及所有外力造成的速度损失，否则它既不是高度，也不是末速度。

竖直飞行时若计入重力和阻力，则

\[m\frac{dv}{dt}=T-mg-D,\]

因此实际速度增量取决于整个燃烧历程。在 \(g\) 恒定、竖直且无阻力这一特殊情形下，理想化重力损失为 \(g\,t_b\)；它并不包含在真空条件下的对数项中。

Knowledge 3 — Mass flow and thrust / 质量流率与推力

Knowledge ID: P01-U04-L04-K03

3.1 动量推力与压力推力 / Momentum and pressure thrust

对于火箭喷管，

\[\boxed{T=\mu u_e+(p_e-p_a)A_e}.\]

第一项是动量推力，第二项是压力推力。当 \(p_e=p_a\) 时，压力推力为零。定义有效排气速度

\[c_{\rm eff}=u_e+\frac{(p_e-p_a)A_e}{\mu}, \qquad T=\mu c_{\rm eff}.\]

例题 3 / Worked Example 3 — 推力与瞬时加速度

某一瞬间，\(m=500\ \mathrm{kg}\)、\(\mu=5.00\ \mathrm{kg\,s^{-1}}\)、\(u_e=2200\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)、\(p_e-p_a=20.0\ \mathrm{kPa}\)，且 \(A_e=0.0500\ \mathrm{m^2}\)，于是

\[T=(5.00)(2200)+(2.00\times10^4)(0.0500)=12.0\ \mathrm{kN}.\]

若飞行方向竖直，且阻力可忽略，则

\[a=\frac{T-mg}{m} =\frac{12000-500(9.81)}{500} =\boxed{14.2\ \mathrm{m\,s^{-2}}\text{ upward}}.\]

压力推力贡献 \(1.00\ \mathrm{kN}\)；不能先把它隐含在有效排气速度中，随后又重复相加。

3.2 比冲的约定 / Specific impulse convention

火箭性能常用下式表示：

\[I_{\rm sp}=\frac{T}{\mu g_0}=\frac{c_{\rm eff}}{g_0},\]

其单位为秒，式中标准重力加速度 \(g_0=9.80665\ \mathrm{m\,s^{-2}}\)。\(I_{\rm sp}\) 并非一段持续时间；将它乘以 \(g_0\) 才能还原有效排气速度。

Knowledge 4 — Limits of naive use of \(F=ma\) / 直接使用 \(F=ma\) 的边界

Knowledge ID: P01-U04-L04-K04

4.1 为什么 \(d(mv)/dt\) 不等于“剩余火箭所受外力” / Why \(d(mv)/dt\) is not the external force on the remaining rocket

对于这个成员不断变化、称为“剩余火箭”的集合，

\[\frac{d(mv)}{dt}=m\frac{dv}{dt}+v\frac{dm}{dt}\]

确实是其动量对时间的导数，但这一集合的成员正在变化。若不同时核算穿过边界的动量，就不能把该导数直接等同于通常意义上的外力。正确的火箭本体方程是

\[m\frac{dv}{dt}=F_{\rm ext}-u_e\dot m.\]

4.2 不得重复计数 / No double counting

必须在下列两种描述中选择一种，并始终保持一致：

• 火箭本体方程： 用推力 \(T\) 表示喷流与压力对火箭的作用，然后写成 \(m\dot v=T+F_{\rm other}\)。
• 更大的物质系统： 把火箭与尾气一并纳入固定物质集合，只对该集合施加外力；不得再加入属于内力的“推力”。

例题 4 / Worked Example 4 — 相对水平速度为零的漏砂小车

一辆无摩擦小车中的砂粒从孔中竖直漏出。砂粒刚离开时，其水平速度与小车相同，因此 \(v_{{\rm out},x}-v=0\)。由于不存在水平外力，

\[m\frac{dv}{dt}=-\mu_{\rm out}(v_{{\rm out},x}-v)=0.\]

因此即使 \(m\) 在减小，仍有 \(\boxed{v=\text{constant}}\)。若只对小车写 \(d(mv)/dt=0\)，就会错误地预言它发生加速；事实上，流出的砂粒正以速率 \(\mu v\) 带走水平动量。

5. 本课综合 / Lesson synthesis

6. 易错诊所 / Misconception clinic

7. 练习与检索 / Practice and retrieval

P1

某火箭具有 \(m=800\ \mathrm{kg}\)、\(\dot m=-4.00\ \mathrm{kg\,s^{-1}}\) 和 \(u_e=2000\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，且不受其他力。求其加速度。

P2

当 \(u_e=3.00\ \mathrm{km\,s^{-1}}\) 时，要获得 \(\Delta v=5.00\ \mathrm{km\,s^{-1}}\)，所需的质量比是多少？

P3

已知 \(\mu=3.00\ \mathrm{kg\,s^{-1}}\)、\(u_e=1800\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)、\(A_e=0.0400\ \mathrm{m^2}\)，且 \(p_e-p_a=-10.0\ \mathrm{kPa}\)。求推力。

P4

一辆以 \(3.00\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 运动的小车以 \(0.500\ \mathrm{kg\,s^{-1}}\) 的速率收集原先静止的物质。当 \(m=20.0\ \mathrm{kg}\) 时，若无水平外力，求小车的加速度。

8. 公式表 / Formula sheet

\[m\dot v=F_{\rm ext} +\sum_{\rm in}\mu_{\rm in}(v_{\rm in}-v) -\sum_{\rm out}\mu_{\rm out}(v_{\rm out}-v),\]

\[m\dot v=F_{\rm ext}-u_e\dot m=F_{\rm ext}+\mu u_e,\]

\[\Delta v=u_e\ln\left(\frac{m_i}{m_f}\right),\]

\[T=\mu u_e+(p_e-p_a)A_e=\mu c_{\rm eff},\]

\[I_{\rm sp}=\frac{T}{\mu g_0}.\]

复习与拓展

• 圈出系统边界，并在同一惯性参考系中写出每一股物流的速度。
• 数值代入之前，先把 \(\dot m<0\) 转换为取正值的流率 \(\mu=-\dot m\)。
• 判断喷口压力效应是否已经吸收到有效排气速度中。
• 前向联系：转动动力学会把同样的边界意识用于角动量和力矩的核算。

10. 参考资料与来源说明 / References and source notes

上述开放边界推导遵循控制体方法；它没有把成员不断变化的火箭之 \(d(mv)/dt\) 直接等同于外力。所有示意图和数值例题均为原创。资料于 2026-08-20 核验。