转动运动学 · Rotational Kinematics

Learning objectives / 学习目标

完成本课后，你应当能够：

用弧度定义角位移，并从 $\theta(t)$ 求 $\omega(t)$ 、 $\alpha(t)$ ，解释其符号和轴向。
从微积分推导并正确选用匀角加速度关系，而不把它们用于变 $\alpha$ 过程。
用叉积写出刚体点的速度与加速度，区分切向和法向分量。
从接触点相对速度为零推导 $v_{\rm CM}=R\omega$ ，并诊断滑动方向。
用图像的斜率和有向面积在 $\theta$ 、 $\omega$ 、 $\alpha$ 三种表征间转换。

Prerequisites / 先修知识

一维运动的导数、积分与运动图像。
圆周运动的切向与法向分量。
质心平动与参考系。
数学准备：弧度制、叉积、微积分基本定理。

0. Notation and modeling contract / 记号与建模约定

Symbol	Meaning	SI unit
$\theta$	unwrapped angular position / 展开角位置	rad（量纲为 1）
$\omega=d\theta/dt$	angular velocity component about fixed axis	$\mathrm{rad\,s^{-1}}$
$\alpha=d\omega/dt$	angular acceleration component	$\mathrm{rad\,s^{-2}}$
$\mathbf r$	point position relative to chosen axis point	m
$$R$$	perpendicular distance to axis or wheel radius	m
$\mathbf v_{\rm CM}$	center-of-mass velocity	$\mathrm{m\,s^{-1}}$

“一圈后回到同一朝向”不等于“角位移为零”。姿态可按模 $2\pi$ 表示，而累计转角必须展开： $\theta=0$ 与 $\theta=2\pi$ 姿态相同、运动历史不同。

Rotational Kinematics — 0. Notation and modeling contract / 记号与建模约定（图 1） — 图 10. Notation and modeling contract / 记号与建模约定

Knowledge 1 — Angular position, velocity, and acceleration / 角位置、角速度与角加速度

Knowledge ID: P01-U05-L01-K01

1.1 Definitions and graph meanings

平均与瞬时角速度、角加速度分别为

$\bar\omega=\frac{\Delta\theta}{\Delta t}, \qquad \omega=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta\theta}{\Delta t} =\frac{d\theta}{dt},$

$\bar\alpha=\frac{\Delta\omega}{\Delta t}, \qquad \alpha=\frac{d\omega}{dt}=\frac{d^2\theta}{dt^2}.$

因此 $\theta$ – $$t$$ 图的切线斜率是 $\omega$ ， $\omega$ – $$t$$ 图的切线斜率是 $\alpha$ ；反过来，曲线下的有向面积给出

$\Delta\theta=\int_{t_1}^{t_2}\omega(t)\,dt, \qquad \Delta\omega=\int_{t_1}^{t_2}\alpha(t)\,dt.$

Rotational Kinematics — 1.1 Definitions and graph meanings（图 2） — 图 21.1 Definitions and graph meanings

角速度与角加速度是轴矢量。固定轴时，只需用沿轴的带符号分量；一般三维运动中，有限转角不能像普通矢量那样交换相加，本课的标量公式不能直接搬到任意三维转动。

Worked Example 1 — 从姿态函数读取运动状态

飞轮角位置为 $\theta(t)=0.400+2.00t-0.300t^2+0.0400t^3$ （rad， $$t$$ 以 s 计）。求 $t=4.00\ \mathrm s$ 时的 $\theta,\omega,\alpha$ ，以及 $$0$$ 到 $4.00\ \mathrm s$ 的平均角速度。

模型与方向： 固定轴，逆时针为正。

$\omega=2.00-0.600t+0.120t^2, \qquad \alpha=-0.600+0.240t.$

代入 $t=4.00\ \mathrm s$ ：

$\theta=6.16\ \mathrm{rad},\qquad \omega=1.52\ \mathrm{rad\,s^{-1}},\qquad \alpha=0.360\ \mathrm{rad\,s^{-2}}.$

$\bar\omega=\frac{6.16-0.400}{4.00} =\boxed{1.44\ \mathrm{rad\,s^{-1}}}.$

瞬时角速度小于平均值并不矛盾： $\omega(t)$ 先降后升。角度的 rad 在量纲分析中等于 1，但在数值表达中保留 rad 能防止把角度误当成圈数。

Rotational Kinematics — Worked Example 1 — 从姿态函数读取运动状态（图 3） — 图 3Worked Example 1 — 从姿态函数读取运动状态

Knowledge 2 — Constant-angular-acceleration relations / 匀角加速关系

Knowledge ID: P01-U05-L01-K02

2.1 Derivation, not analogy alone

若且仅若研究区间内 $\alpha$ 为常量，积分 $d\omega/dt=\alpha$ ：

$\omega=\omega_0+\alpha t.$

再积分 $d\theta/dt=\omega$ ：

$\theta-\theta_0=\omega_0t+\frac12\alpha t^2.$

消去 $$t$$ 或使用平均角速度，可得

$\omega^2=\omega_0^2+2\alpha(\theta-\theta_0), \qquad \theta-\theta_0=\frac{\omega_0+\omega}{2}t.$

Rotational Kinematics — 2.1 Derivation, not analogy alone（图 4） — 图 42.1 Derivation, not analogy alone

若 $\alpha$ 只是平均值而非恒量，上述四式通常失效；此时应回到积分。

Worked Example 2 — 制动转盘

某转盘初始以 $1200\ \mathrm{rpm}$ 旋转，受到恒定角加速度并在 $8.00\ \mathrm s$ 后停止。求 $\alpha$ 与停止前转过的圈数。

先换成 SI：

$\omega_0=1200\frac{2\pi}{60} =40\pi\ \mathrm{rad\,s^{-1}}.$

$\alpha=\frac{0-40\pi}{8.00} =-5\pi\ \mathrm{rad\,s^{-2}}.$

$\Delta\theta=\frac{\omega_0+0}{2}(8.00) =160\pi\ \mathrm{rad}=80.0\ \mathrm{rev}.$

所以

$\boxed{\alpha=-15.7\ \mathrm{rad\,s^{-2}},\qquad N=80.0\ \mathrm{rev}}.$

负号表示加速度与初角速度反向；用 $\omega^2-\omega_0^2=2\alpha\Delta\theta$ 可得到同一结果。

Rotational Kinematics — Worked Example 2 — 制动转盘（图 5） — 图 5Worked Example 2 — 制动转盘

Knowledge 3 — Linear-angular variable connections / 线量与角量的联系

Knowledge ID: P01-U05-L01-K03

3.1 Rigid-body point velocity and acceleration

对绕固定轴转动的刚体点， $\mathbf r$ 从轴上固定点指向该点：

$\boxed{\mathbf v=\boldsymbol\omega\times\mathbf r},$

$\boxed{\mathbf a=\boldsymbol\alpha\times\mathbf r +\boldsymbol\omega\times(\boldsymbol\omega\times\mathbf r)}.$

若 $$R$$ 是到轴的垂直距离，则

$v=R\lvert\omega\rvert, \qquad a_t=R\lvert\alpha\rvert, \qquad a_n=R\omega^2.$

$$a_t$$ 沿切线改变速率， $$a_n$$ 指向转轴改变方向。即使 $\alpha=0$ ，只要 $\omega\ne0$ ， $$a_n$$ 仍不为零。

Rotational Kinematics — 3.1 Rigid-body point velocity and acceleration（图 6） — 图 63.1 Rigid-body point velocity and acceleration

同一刚体的所有点具有相同 $\omega,\alpha$ ，但 $$v,a_t,a_n$$ 随 $$R$$ 改变。弧长关系 $s=R\Delta\theta$ 仅在 $\theta$ 用弧度时直接成立。

Rotational Kinematics — 3.1 Rigid-body point velocity and acceleration（图 7） — 图 73.1 Rigid-body point velocity and acceleration

Worked Example 3 — 转子边缘的总加速度

半径 $R=0.250\ \mathrm m$ 的转子在某瞬间有 $\omega=12.0\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$ 、 $\alpha=3.00\ \mathrm{rad\,s^{-2}}$ 。求边缘点的速度、切向加速度、法向加速度及总加速度大小。

$v=R\omega=3.00\ \mathrm{m\,s^{-1}},$

$a_t=R\alpha=0.750\ \mathrm{m\,s^{-2}}, \qquad a_n=R\omega^2=36.0\ \mathrm{m\,s^{-2}}.$

两分量正交，因此

$a=\sqrt{a_t^2+a_n^2} =\boxed{36.0\ \mathrm{m\,s^{-2}}}.$

方向几乎径向内； $$a_t/a_n=0.0208$$ 。这说明“正在加速转动”并不意味着切向加速度是总加速度的主要部分。

Knowledge 4 — Rolling constraint without slipping / 无滑动滚动约束

Knowledge ID: P01-U05-L01-K04

4.1 Constraint from relative velocity

刚体上接触点 $$C$$ 的地面系速度为

$\mathbf v_C=\mathbf v_{\rm CM} +\boldsymbol\omega\times\mathbf r_{C/{\rm CM}}.$

“无滑动”定义为接触点相对地面的切向速度为零。水平静止地面上因此 $\mathbf v_C=\mathbf0$ ，对向右滚动的轮有大小关系

$\boxed{v_{\rm CM}=R\omega}.$

这是速度约束，不是普遍动力学定律。若地面运动，必须令轮上接触点速度等于地面接触点速度；若发生滑动，则不等式 $v_{\rm CM}\ne R\omega$ 的差决定相对滑动速度。

Rotational Kinematics — 4.1 Constraint from relative velocity（图 8） — 图 84.1 Constraint from relative velocity

轮顶点速度为 $2v_{\rm CM}$ ，中心为 $v_{\rm CM}$ ，接触点瞬时为零。这里的“接触点静止”只在该瞬间成立；下一瞬间是轮上的另一个物质点接触地面。

Rotational Kinematics — 4.1 Constraint from relative velocity（图 9） — 图 94.1 Constraint from relative velocity

若约束持续成立且 $$R$$ 不变，对时间求导得到切向关系 $a_{{\rm CM},x}=R\alpha$ （按一致的带符号约定）。但接触点的总加速度并不为零：即便瞬时速度为零，它仍有法向加速度。

Worked Example 4 — 纯滚轮的圈数与接触点状态

半径 $R=0.320\ \mathrm m$ 的轮从静止开始，在 $5.00\ \mathrm s$ 内以恒定质心加速度 $a_{\rm CM}=1.20\ \mathrm{m\,s^{-2}}$ 向右纯滚。求末速度、角加速度大小、转角和圈数，并说明接触点末速度。

$v_{\rm CM}=a_{\rm CM}t=6.00\ \mathrm{m\,s^{-1}}, \qquad \alpha=\frac{a_{\rm CM}}R=3.75\ \mathrm{rad\,s^{-2}}.$

$x_{\rm CM}=\frac12a_{\rm CM}t^2=15.0\ \mathrm m, \qquad \Delta\theta=\frac{x_{\rm CM}}R=46.9\ \mathrm{rad}.$

$N=\frac{\Delta\theta}{2\pi} =\boxed{7.46\ \mathrm{rev}}.$

接触点对地瞬时速度仍为 $$0$$ ，不是 $6.00\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ ；轮顶速度为 $12.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ 。由 $x=R\theta$ 回算量纲与数值一致。

Rotational Kinematics — Worked Example 4 — 纯滚轮的圈数与接触点状态（图 10） — 图 10Worked Example 4 — 纯滚轮的圈数与接触点状态

4.2 Slip diagnostic

定义轮底点相对地面的切向速度（向右为正）

$u_{\rm slip}=v_{\rm CM}-R\omega,$

其中 $\omega>0$ 特指顺时针大小。 $u_{\rm slip}=0$ 为纯滚； $u_{\rm slip}>0$ 表示轮底相对地面向右擦过，动摩擦对轮向左； $u_{\rm slip}<0$ 则相反。静摩擦的方向不能仅凭“轮向右”判断，须由无摩擦趋势或动力学方程确定。

Rotational Kinematics — 4.2 Slip diagnostic（图 11） — 图 114.2 Slip diagnostic

Lesson synthesis / 全课综合

面对转动运动学问题，依次执行：

声明轴、参考系和正向，决定使用标量还是矢量。
由定义连接图像：斜率是导数，面积是积分。
只有确认 $\alpha$ 恒定，才使用四个匀角加速度公式。
对刚体点先写 $\mathbf v=\boldsymbol\omega\times\mathbf r$ ；加速度保留切向与法向两项。
对滚动接触点写速度合成，再施加相对速度条件；不要背诵脱离场景的 $v=R\omega$ 。

Formula-and-decision table / 公式与选择表

Question	Equation	Conditions / boundary
instantaneous angular rates	$\omega=d\theta/dt$ , $\alpha=d\omega/dt$	fixed sign convention; unwrapped $\theta$
recover changes	$\Delta\theta=\int\omega dt$ , $\Delta\omega=\int\alpha dt$	signed area
constant $\alpha$	$\omega=\omega_0+\alpha t$ and companions	$\alpha$ constant over whole interval
velocity of a rigid-body point	$\mathbf v=\boldsymbol\omega\times\mathbf r$	axis point fixed in chosen frame
acceleration of a point	$\mathbf a=\boldsymbol\alpha\times\mathbf r+\boldsymbol\omega\times(\boldsymbol\omega\times\mathbf r)$	fixed axis point; rigid body
rolling on stationary ground	$\mathbf v_C=0$	no relative slip at contact
scalar rolling relation	$v_{\rm CM}=R\omega$	horizontal stationary surface; declared signs

Model boundaries / 模型边界

刚体是假设任意两物质点距离不变；高速转子、软轮胎与弹性轴需要考虑变形和波传播。
$s=R\theta$ 、 $v=R\omega$ 中的 $$R$$ 是到转轴的垂距，并要求角度用 rad。
固定轴标量 $\omega=d\theta/dt$ 不能无条件推广到有限三维转动；三维姿态属于非交换旋转群。
$a_{\rm CM}=R\alpha$ 是纯滚约束的切向结果，不等于接触点总加速度为零。
纯滚不保证静摩擦一定非零；水平匀速滚动的理想刚轮可有 $$f_s=0$$ 。
接触区若形变、蠕滑或滚动阻力不可忽略，点接触纯滚模型只是近似。

Misconception clinic / 误区诊所

Practice and retrieval / 练习与提取

角位移 $9.00\ \mathrm{rad}$ 等于多少圈？
$\theta=3t^2-2t$ 时，求 $t=2.00\ \mathrm s$ 的 $\omega$ 与 $\alpha$ 。
一转盘从 $$20.0$$ 到 $50.0\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$ ，历时 $6.00\ \mathrm s$ 。若 $\alpha$ 恒定，求转角。
$\omega$ – $$t$$ 图在 $$0$$ 到 $4\ \mathrm s$ 为从 $$+6$$ 线性降至 $-2\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$ ，求 $\Delta\theta$ 。
半径 $0.10\ \mathrm m$ 的盘以 $30\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$ 匀速转动，求边缘速度和加速度。
同一刚盘上距轴 $$R$$ 与 $$2R$$ 两点的 $$v,a_n$$ 比值分别为何？
向右纯滚的半径 $0.25\ \mathrm m$ 轮， $v_{\rm CM}=5.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ ，求角速度大小。
上题轮顶点与底点对地速度各是多少？
若 $v_{\rm CM}=4.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ 、 $R\omega=6.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ ，轮底向何方滑？动摩擦对轮向何方？
判断并解释：只要 $v_{\rm CM}=R\omega$ ，轮就在任何表面上纯滚。

Answers / 答案

$N=9.00/(2\pi)=1.43\ \mathrm{rev}$ 。
$\omega=6t-2=10.0\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$ ； $\alpha=6.00\ \mathrm{rad\,s^{-2}}$ 。
$\Delta\theta=\tfrac12(20.0+50.0)(6.00)=210\ \mathrm{rad}$ 。
梯形有向面积 $\Delta\theta=\tfrac12(6-2)(4)=8.0\ \mathrm{rad}$ 。
$v=R\omega=3.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ ； $a_n=R\omega^2=90\ \mathrm{m\,s^{-2}}$ 。
$v_{2R}/v_R=2$ ， $a_{n,2R}/a_{n,R}=2$ 。
$\omega=v/R=20\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$ 。
轮顶 $2v_{\rm CM}=10\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ 向右；轮底 $$0$$ 。
$u_{\rm slip}=4-6=-2\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ ，轮底向左滑，所以动摩擦对轮向右。
错。必须比较轮上接触点与表面接触点的速度；移动表面上标量条件不同，三维还需比较完整切向相对速度。

Exit ticket

用一句矢量方程说明为什么固定轴刚体边缘点即使 $\alpha=0$ 仍有加速度。
一轮在向右运动的传送带上无滑滚动。写出正确的接触速度约束，并说明为什么不能直接写 $v_{\rm CM}=R\omega$ 。

References and source notes / 参考资料

以下链接均于 2026-08-20 核对；正文与图示为依据方程重新组织的原创表达。

OpenStax, 10.1 Rotational Variables.
OpenStax, 10.2 Rotation with Constant Angular Acceleration.
OpenStax, 10.3 Relating Angular and Translational Quantities.
OpenStax, 11.1 Rolling Motion.
MIT OpenCourseWare 8.01SC, Online Textbook: Chapters 16, 20, and 21.
MIT OpenCourseWare 8.01SC, Readings: Lessons 28 and 35–37.

Source-to-content map

Source	Used for	Knowledge ID / section	Boundary or convention
OpenStax 10.1	angular definitions and point kinematics	K01, K03	fixed-axis rotation
OpenStax 10.2	constant- $\alpha$ equations and graphs	K02	requires constant angular acceleration
OpenStax 10.3	tangential and normal acceleration	K03	$$R$$ is perpendicular distance to axis
OpenStax 11.1	rolling constraint and point speeds	K04	stationary surface, no slip
MIT 8.01SC textbook	rigid-body kinematics derivation	K01–K04	undergraduate calculus treatment
MIT 8.01SC readings	scope and sequencing cross-check	K01–K04	chapters and lessons cited directly

复习与拓展

下一课将由质量分布与外力矩决定 $\alpha$ ，而不再把角运动视为已知。
Lesson 1.5.3 将把纯滚约束与平动、转动能量组合。
Lesson 1.5.5 将说明为什么任意三维角运动不能由单一固定轴标量 $\theta$ 完整描述。
可扩展实验：用视频追踪轮缘标记点的摆线，并比较顶点、质心和接触点速度。