中心力方法

Learning objectives / 学习目标

完成本课后，你应当能够：

1. 从两体 Newton 方程分离质心运动与相对运动。
2. 推导约化质量 \(m_r\)，并重建两物体在质心系中的位置、能量和角动量。
3. 构造有效势，读取允许区域、转折点、圆轨道和平衡稳定性。
4. 从极坐标径向方程推导 Binet 方程，并得到平方反比力的圆锥曲线。
5. 定义冲量参数、散射角、微分截面，并在明确符号约定下推导 Rutherford 型结果。
6. 区分吸引与排斥、实验室系与质心系、角度大小与带符号偏转。

Prerequisites / 先修知识

• Orbits and Kepler's Laws：比能量、角动量、圆锥轨道和 vis-viva。
• Systems and Center of Mass：质心坐标与内外力。
• 熟悉极坐标运动学、偏导数、常微分方程、Taylor 展开与基础 Lagrangian 记号；散射截面只需理解立体角元素。

Scope and conventions / 范围与约定

本课在惯性系中研究两个点质量或一般中心势的经典运动。相对坐标固定为 \(\mathbf r=\mathbf r_1-\mathbf r_2\)；平移对称性分离质心，自中心力矩为零把相对运动限制在一张轨道平面。散射角、冲量参数和吸引/排斥号约定必须与图同时读取；不讨论量子散射、辐射反作用或相对论修正。

Notation and modeling contract / 符号与建模契约

0. Symmetry-to-reduction map / 从对称性到约化

Knowledge 1 — Reduction of the two-body problem / 二体问题约化

Knowledge ID: P01-U07-L03-K01

1.1 Coordinate transformation

两物体位置为 \(\mathbf r_1,\mathbf r_2\)，定义总质量、质心与相对坐标

\[M_T=m_1+m_2,\]

\[\mathbf R=\frac{m_1\mathbf r_1+m_2\mathbf r_2}{M_T}, \qquad \mathbf r=\mathbf r_1-\mathbf r_2.\]

反变换为

\[\mathbf r_1=\mathbf R+\frac{m_2}{M_T}\mathbf r, \qquad \mathbf r_2=\mathbf R-\frac{m_1}{M_T}\mathbf r.\]

若只有满足 Newton 第三定律的内中心力，则

\[M_T\ddot{\mathbf R}=\mathbf0,\]

质心做匀速直线运动。所有内部形状变化进入 \(\mathbf r(t)\)。

1.2 Lagrangian separation

动能精确分解为

\[T=\frac12M_T\lVert\dot{\mathbf R}\rVert^2 +\frac12m_r\lVert\dot{\mathbf r}\rVert^2,\]

其中 \(m_r\) 将在下一节定义。若势仅依赖距离 \(r=\lvert\mathbf r\rvert\)，Lagrangian 为

\[\mathcal L =\frac12M_T\lVert\dot{\mathbf R}\rVert^2 +\frac12m_r\lVert\dot{\mathbf r}\rVert^2-V(r).\]

于是一个二体问题精确等价于：自由质心，加上一个质量为 \(m_r\) 的“等效粒子”在中心势 \(V(r)\) 中运动。中心处不必真有一个质量为 \(M_T\) 的物体；这是坐标约化。

1.3 Worked Example 1 — binary-star barycenter and period

已知。 两星质量 \(m_1=2.00M_\odot\)、\(m_2=1.00M_\odot\)，相互距离（即相对圆轨道半径）\(a=3.00\times10^{11}\ \mathrm m\)；\(M_\odot=1.9885\times10^{30}\ \mathrm{kg}\)，\(G=6.67430\times10^{-11}\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}\)。

研究对象、系统与参考系。 研究整个孤立双星系统，并在质心惯性系中分别求两星的轨道半径；周期由相对坐标的圆轨道求得。

坐标与正方向。 某瞬间令 \(+x\) 从质心指向 \(m_1\)，则 \(m_2\) 位于 \(-x\)；两星角速度方向相同，位置始终相差 \(\pi\)。

模型及理由。 两星视为点质量，只受相互 Newtonian 引力，轨道假定为圆；因此质心约束 \(m_1r_1=m_2r_2\) 与二体第三定律同时成立。

方程与计算。 \(r_1+r_2=a\) 且 \(m_1r_1=m_2r_2\)，所以

\[r_1 =\frac{1.00M_\odot}{(2.00+1.00)M_\odot} \left(3.00\times10^{11}\ \mathrm m\right) =1.00\times10^{11}\ \mathrm m,\]

\[r_2 =\frac{2.00M_\odot}{(2.00+1.00)M_\odot} \left(3.00\times10^{11}\ \mathrm m\right) =2.00\times10^{11}\ \mathrm m.\]

共同周期由相对轨道给出：

\[T=2\pi\sqrt{\frac{a^3}{G(m_1+m_2)}} =2\pi\sqrt{ \frac{\left(3.00\times10^{11}\ \mathrm m\right)^3} {\left(6.67430\times10^{-11}\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}\right) \left[3.00\left(1.9885\times10^{30}\ \mathrm{kg}\right)\right]}} =5.17\times10^7\ \mathrm s =1.64\ \mathrm{yr}.\]

SI、有效数字与检查。 两半径单位为米，周期根式 \(a^3/[G(m_1+m_2)]\) 的单位为 \(\mathrm{s^2}\)；均取三位有效数字。\(r_1+r_2=3.00\times10^{11}\ \mathrm m\)，且 \(r_1/r_2=m_2/m_1=1/2\)，双重满足质心条件。

物理解释。 较重星离质心更近；把它固定在原点只是极端质量比近似，而这里的质心约化是精确的 Newtonian 二体结果。

Knowledge 2 — Reduced mass and relative coordinate / 约化质量与相对坐标

Knowledge ID: P01-U07-L03-K02

2.1 Derivation of reduced mass

两体方程相减。若 \(\mathbf F_{2\to1}=F(r)\hat{\mathbf r}\)，则

\[\ddot{\mathbf r} =\ddot{\mathbf r}_1-\ddot{\mathbf r}_2 =\left(\frac1{m_1}+\frac1{m_2}\right)\mathbf F_{2\to1}.\]

定义

\[\frac1{m_r}=\frac1{m_1}+\frac1{m_2}, \qquad m_r=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2},\]

得到单粒子形式

\[m_r\ddot{\mathbf r}=\mathbf F_{2\to1}.\]

对引力

\[m_r\ddot{\mathbf r} =-\frac{Gm_1m_2}{r^2}\hat{\mathbf r} =-\frac{\kappa}{r^2}\hat{\mathbf r},\]

等价地

\[\ddot{\mathbf r}=-\frac{G(m_1+m_2)}{r^2}\hat{\mathbf r} =-\frac{\mu_g}{r^2}\hat{\mathbf r}.\]

2.2 Conserved relative energy and angular momentum

在质心系，内部机械能与角动量为

\[E=\frac12m_r\lVert\dot{\mathbf r}\rVert^2+V(r),\]

\[\mathbf L=m_r\mathbf r\times\dot{\mathbf r}.\]

中心力满足 \(\dot{\mathbf L}=\mathbf r\times\mathbf F=\mathbf0\)，所以 \(\mathbf r\) 永远在垂直于固定 \(\mathbf L\) 的平面内。若 \(m_2\gg m_1\)，\(m_r\approx m_1\)；但双星、原子核碰撞等相近质量问题不能使用“小质量绕固定大质量”的替代。

Knowledge 3 — Effective potential and orbit stability / 有效势与轨道稳定性

Knowledge ID: P01-U07-L03-K03

3.1 Radial energy ledger

在轨道平面用极坐标：

\[L=m_rr^2\dot\phi.\]

能量写成

\[E=\frac12m_r\dot r^2+V_{\mathrm{eff}}(r),\]

\[V_{\mathrm{eff}}(r)=V(r)+\frac{L^2}{2m_rr^2}.\]

第二项是角动量约束产生的 centrifugal barrier，不是惯性系中的新相互作用势。径向运动允许条件为 \(E\ge V_{\mathrm{eff}}\)，等号处为径向转折点。

对引力 \(V=-\kappa/r\)：

\[V_{\mathrm{eff}}(r) =\frac{L^2}{2m_rr^2}-\frac{\kappa}{r}.\]

3.2 Circular orbit and stability

圆轨道是有效势驻点：

\[\left.\frac{dV_{\mathrm{eff}}}{dr}\right|_{r_c}=0.\]

引力给出

\[r_c=\frac{L^2}{m_r\kappa}=\frac{h^2}{\mu_g}, \qquad h=\frac{L}{m_r}.\]

稳定性由二阶导数判断：

\[\left.\frac{d^2V_{\mathrm{eff}}}{dr^2}\right|_{r_c} =\frac{\kappa}{r_c^3}>0,\]

故 Newtonian 平方反比圆轨道对小径向扰动稳定。这个结论不自动推广到任意中心势；一般必须重新计算曲率。

3.3 Worked Example 2 — circular radius from angular momentum

已知。 地球二体近似中，比角动量 \(h=8.00\times10^{10}\ \mathrm{m^2/s}\)，\(\mu_g=3.9860\times10^{14}\ \mathrm{m^3/s^2}\)，\(R_\oplus=6.371\times10^6\ \mathrm m\)。

研究对象、系统与参考系。 研究地球—卫星的相对运动，在地心惯性系中把卫星视为等效粒子。

坐标与正方向。 轨道平面内径向向外为正，极角正向取角动量方向的右手定则；只求半径大小，因此 \(h=\lvert\mathbf r\times\mathbf v\rvert>0\)。

模型及理由。 地球近似球对称、卫星质量可忽略，且轨道要求为 Newtonian 圆轨道；固定 \(h\) 时圆轨道位于引力有效势的极小值。

方程与计算。 令 \(dV_{\rm eff}/dr=0\)，即 \(r_c=h^2/\mu_g\)：

\[r_c=\frac{h^2}{\mu_g} =\frac{\left(8.00\times10^{10}\ \mathrm{m^2\,s^{-1}}\right)^2} {\left(3.9860\times10^{14}\ \mathrm{m^3\,s^{-2}}\right)} =1.6056\times10^7\ \mathrm m \approx1.61\times10^7\ \mathrm m.\]

离地高度为

\[r_c-R_\oplus =1.6056\times10^7\ \mathrm m-6.371\times10^6\ \mathrm m =9.69\times10^6\ \mathrm m.\]

SI、有效数字与检查。 \([h^2/\mu_g]=(\mathrm{m^4/s^2})/(\mathrm{m^3/s^2})=\mathrm m\)；半径和高度取三位有效数字且 \(r_c>R_\oplus\)。在该点 \(d^2V_{\rm eff}/dr^2=\kappa/r_c^3>0\)，确认是稳定极小值而非极大值。

物理解释。 非零角动量的离心屏障与引力吸引在该半径平衡；小径向扰动在严格二体模型中产生有界振荡，而非自动逃逸。

Knowledge 4 — Orbit equation and inverse-square motion / 轨道方程与平方反比运动

Knowledge ID: P01-U07-L03-K04

4.1 Binet transformation

极坐标径向方程为

\[m_r(\ddot r-r\dot\phi^2)=F(r),\]

且 \(L=m_rr^2\dot\phi\)。令

\[u(\phi)=\frac1r.\]

利用

\[\dot r=-\frac{L}{m_r}\frac{du}{d\phi},\]

可得 Binet 方程

\[\frac{d^2u}{d\phi^2}+u =-\frac{m_r}{L^2u^2}F(1/u).\]

4.2 Inverse-square solution

对吸引力 \(F(r)=-\kappa/r^2=-\kappa u^2\)：

\[u''+u=\frac{m_r\kappa}{L^2}=\frac1p,\]

\[p=\frac{L^2}{m_r\kappa}=\frac{h^2}{\mu_g}.\]

通解为

\[u=\frac1p\left[1+e\cos(\phi-\phi_0)\right],\]

即

\[r(\phi)=\frac{p}{1+e\cos(\phi-\phi_0)}.\]

\(p\) 是半通径；\(e\) 由初始条件和能量决定。\(e<1,=1,>1\) 分别给椭圆、抛物、双曲线。只有平方反比中心力恰好给这个不进动的圆锥形式。

4.3 Worked Example 3 — reconstructing an ellipse from \(p\) and \(e\)

已知。 引力轨道半通径 \(p=12000\ \mathrm{km}=1.2000\times10^7\ \mathrm m\)、偏心率 \(e=0.500\)。

研究对象、系统与参考系。 研究中心天体—轨道物体的相对运动，在中心天体惯性系的轨道平面内重建圆锥曲线。

坐标与正方向。 焦点为极坐标原点，令近地点方向为 \(\phi=0\)，\(\phi\) 正向沿运动方向。

模型及理由。 采用吸引平方反比中心力，故 Binet 解为 \(r=p/(1+e\cos\phi)\)；\(0<e<1\) 已确定轨道为椭圆。

方程与计算。 在 \(\phi=0\) 与 \(\pi\)，

\[r_p =\frac{1.2000\times10^7\ \mathrm m}{1+0.500} =8.00\times10^6\ \mathrm m,\]

\[r_a =\frac{1.2000\times10^7\ \mathrm m}{1-0.500} =2.40\times10^7\ \mathrm m.\]

又因 \(p=a(1-e^2)\)，

\[a =\frac{1.2000\times10^7\ \mathrm m}{1-(0.500)^2} =1.60\times10^7\ \mathrm m.\]

即 \(r_p=8.00\times10^6\ \mathrm m\)、\(r_a=2.40\times10^7\ \mathrm m\)、\(a=1.60\times10^7\ \mathrm m\)。

SI、有效数字与检查。 \(p,r_p,r_a,a\) 都是长度，\(e\) 无量纲；受 \(e=0.500\) 限制，结果保留三位有效数字。\((r_p+r_a)/2=1.60\times10^7\ \mathrm m\) 与 \(a\) 一致，且 \(p=a(1-e^2)\) 回代成立。

物理解释。 \(p\) 决定轨道在焦点处的横向尺度，但不等于半长轴；上述两组独立关系可有效拦截把 \(p\) 误认作 \(a\) 的错误。

Knowledge 5 — Scattering in a central potential / 中心势散射

Knowledge ID: P01-U07-L03-K05

5.1 Geometry and conventions

本节固定约定：在质心系，入射远处速度沿 \(+x\)；冲量参数 \(b\ge0\) 是未受力直线到力心的垂距；散射角 \(\chi\in(0,\pi)\) 是入射与出射渐近速度之间的偏转大小。吸引向力心弯曲，排斥背离力心弯曲；带符号的左右方向另由轨迹所在半平面给出。

轴对称束中，入射环带面积与出射立体角分别为

\[d\sigma=2\pi b\,db, \qquad d\Omega=2\pi\sin\chi\,d\chi.\]

因此一般经典中心力微分截面为

\[\frac{d\sigma}{d\Omega} =\frac{b}{\sin\chi} \left\lvert\frac{db}{d\chi}\right\rvert.\]

若 \(b(\chi)\) 多值，必须对所有产生同一 \(\chi\) 的分支求和。

5.2 Rutherford-type inverse-square scattering

取排斥势

\[V(r)=\frac{\alpha}{r}, \qquad \alpha>0,\]

入射相对能量 \(E=\tfrac12m_rv_\infty^2>0\)。轨道分析给出

\[b=\frac{\alpha}{2E}\cot\frac\chi2.\]

代入通式：

\[\frac{d\sigma}{d\Omega} =\left(\frac{\alpha}{4E}\right)^2 \frac{1}{\sin^4(\chi/2)}.\]

这一定义下 \(\chi\) 是正的偏转大小。对吸引势 \(V=-\kappa/r\)，轨迹向力心弯曲；在相同角度大小约定下截面形式可用 \(\alpha\to\kappa\) 得到，但有向散射角的符号和焦点所在支不同。长程 \(1/r\) 势导致小角截面发散；真实实验中有限束斑、屏蔽、有限观测角与其他相互作用提供截断。

5.3 Worked Example 4 — a \(90^\circ\) Rutherford event

已知。 排斥势 \(V(r)=\alpha/r\)（\(\alpha>0\)），相对入射能量 \(E>0\)；冲量参数恰等于特征长度 \(b_0=\alpha/(2E)\)。

研究对象、系统与参考系。 研究两个散射体的相对坐标，在质心惯性系中把约化质量视为入射等效粒子。

坐标与正方向。 入射渐近速度沿 \(+x\)，取 \(b>0\) 表示未受力直线位于力心上方；\(\chi\in(0,\pi)\) 只表示入射与出射速度夹角的大小。

模型及理由。 假设经典、弹性、单次、无屏蔽的排斥平方反比散射，因此精确关系为 \(b=[\alpha/(2E)]\cot(\chi/2)\)。

方程与计算。 定义

\[b_0=\frac{\alpha}{2E}.\]

若一次入射恰有 \(b=b_0\)，则

\[1=\cot\frac\chi2 \quad\Longrightarrow\quad \frac\chi2=45^\circ,\]

所以 \(\chi=90^\circ\)。若 \(b\) 增大，偏转变小；若 \(b\to0\)，理想点排斥势给 \(\chi\to\pi\)。

SI、有效数字与检查。 \([\alpha]=\mathrm{J\,m}\)，所以 \([b_0]=[\alpha/E]=\mathrm m\)；\(b/b_0\) 与余切均无量纲。本题给出精确比值，故 \(90^\circ\) 无数值舍入。极限 \(b\to\infty\) 给 \(\chi\to0\)，\(b\to0\) 给 \(\chi\to\pi\)，方向趋势正确。

物理解释。 \(b=b_0\) 是强偏转的自然尺度：粒子既非几乎直穿，也非近乎反弹，而是恰好转过直角；有向偏转仍取决于轨迹位于力心哪一侧。

5.4 Worked Example 5 — gravitational deflection by Jupiter

已知。 测试粒子以 \(v_\infty=10.0\ \mathrm{km/s}=1.00\times10^4\ \mathrm{m/s}\)、\(b=10R_J=7.1492\times10^8\ \mathrm m\) 掠过 Jupiter；\(GM_J=1.2669\times10^{17}\ \mathrm{m^3/s^2}\)。

研究对象、系统与参考系。 研究 Jupiter—粒子的相对运动；先在 Jupiter 中心惯性系中求速度方向改变，粒子质量在方程中约去。

坐标与正方向。 入射渐近速度沿 \(+x\)，取 \(b>0\) 为粒子从上方掠过；吸引力使有向轨迹向下弯，而 \(\chi>0\) 仅记偏转大小。

模型及理由。 Jupiter 视为静止点质量，过程为 Newtonian、无碰撞、无其他天体的双曲线散射；因此可用吸引 \(1/r\) 势的偏转公式。

方程与计算。 偏转大小为

\[\chi=2\tan^{-1}\left(\frac{GM_J}{bv_\infty^2}\right).\]

\[\frac{GM_J}{bv_\infty^2} =\frac{1.2669\times10^{17}\ \mathrm{m^3\,s^{-2}}} {\left(7.1492\times10^8\ \mathrm m\right) \left(1.00\times10^4\ \mathrm{m\,s^{-1}}\right)^2} =1.77, \qquad \chi=2\tan^{-1}(1.77)=121^\circ.\]

SI、有效数字与检查。 \(GM_J/(bv_\infty^2)\) 的量纲为一，数值 \(1.77\)；角度按输入取三位有效数字。\(b\) 增大或 \(v_\infty\) 增大时该比值下降，\(\chi\) 应趋近 \(0\)；本题比值大于一，得到大于 \(90^\circ\) 的强偏转合理。

物理解释。 \(121^\circ\) 是 Jupiter 中心惯性系中的速度方向改变；在日心系中，移动的 Jupiter 可与探测器交换能量形成 gravity assist，两参考系的动能变化不能混为一谈。

6. Lesson synthesis / 全课整合

6.1 Central-force workflow

1. 检查力是否只依赖 \(r\) 且沿 \(\hat{\mathbf r}\)。
2. 变换到 \(\mathbf R,\mathbf r\)，分离自由质心并求 \(m_r\)。
3. 用 \(\mathbf L\) 固定轨道平面。
4. 用 \(V_{\mathrm{eff}}\) 先判断允许区、转折点和稳定性。
5. 需要轨道形状时令 \(u=1/r\) 使用 Binet 方程。
6. 散射问题先声明参考系、\(b\)、\(\chi\) 与吸引/排斥约定，再求截面。
7. 用维度、极限 \(m_2\gg m_1\)、能量符号和轨迹几何交叉检查。

6.2 Formula sheet

6.3 Model boundaries / 模型边界

• 约化质量精确适用于孤立二体且势只依赖相对位置；第三体或外场会耦合质心和内部运动。
• 有效势只约化径向自由度；完整轨道仍需角变量。
• centrifugal barrier 来自固定非零角动量；\(L=0\) 时不存在。
• Binet 方程是经典确定性轨道方程，不适用于量子散射波函数。
• Rutherford 截面假定单次、弹性、二体、经典、无屏蔽的 \(1/r\) 相互作用；小冲量参数可能进入有限尺寸、核力、相对论或量子区。

7. Misconception clinic / 易错概念诊所

8. Practice and retrieval / 练习与检索

A. Conceptual questions

1. 为什么无外力时质心运动可以与相对运动分离？
2. 当 \(m_2\gg m_1\) 时，\(m_r\) 取何极限？
3. 为什么非零角动量使 \(V_{\rm eff}\) 在 \(r\to0\) 时出现屏障？
4. 有效势的两个交点分别代表什么？
5. 中心力为什么保证轨道平面固定？
6. 吸引与排斥 \(1/r\) 散射中，偏转方向和截面大小应怎样区分？

B. Quantitative and derivation questions

7. 质量分别为 \(3m\) 与 \(m\) 的二体系统，求 \(m_r\) 及两者到质心距离之比。
8. 从两体动能证明 \(T=\tfrac12M_T\dot R^2+\tfrac12m_r\dot r^2\)。
9. 对 \(V(r)=kr^2/2\) 写出 \(V_{\rm eff}\)，给出圆轨道半径条件。
10. 对引力势验证 \(r_c=h^2/\mu_g\)。
11. 由 \(r=p/(1+e\cos\phi)\) 写出 \(r_p,r_a\)，并证明 \(p=a(1-e^2)\)。
12. Rutherford 型散射中若 \(b=\sqrt3\,\alpha/(2E)\)，求 \(\chi\)。

Exit ticket

从 \(m_1,m_2,\mathbf r_1,\mathbf r_2\) 出发，用一条连续推理链写到 \(V_{\mathrm{eff}}(r)\)；再明确写出 Rutherford 型公式中 \(b\)、\(E\)、\(\chi\)、吸引/排斥和参考系的约定。

9. References and source notes / 参考资料与使用说明

9.1 Source-to-content map

9.2 Bibliographic notes

MIT 8.01SC supplies the exact two-body reduction; MIT 16.07 supplies an independent astrodynamics formulation. Caltech, UT Austin and Illinois advanced classical-mechanics materials cross-check the scattering conventions. Equations, examples, figures and tables here are newly derived and synthesized.