轨道与开普勒定律

Learning objectives / 学习目标

完成本课后，你应当能够：

1. 推导圆轨道速度、周期和总能量，并区分轨道半径与离地高度。
2. 用角动量守恒解释面积定律，用半长轴写出 Newton 形式的第三定律。
3. 由比机械能、比角动量和偏心率区分圆、椭圆、抛物和双曲轨道。
4. 使用 vis-viva 方程计算椭圆轨道不同位置的速度。
5. 推导同平面、同向、圆轨道间 Hohmann 转移的两次脉冲与飞行时间，并说明其限制。
6. 把视重识别为支持力，解释轨道微重力来自共同自由落体而非引力消失。

Prerequisites / 先修知识

• Newtonian Gravitation：平方反比场、势、势能与逃逸能量。
• Angular Momentum：\(\mathbf L=\mathbf r\times\mathbf p\)、中心力矩为零与面积速度。
• 会使用圆周运动、机械能守恒、二次方程与基本椭圆术语；轨道半径一律从中心量起。

0. Notation and modeling contract: orbit ledger / 符号与建模契约：轨道记账表

Knowledge 1 — Circular-orbit speed, period, and energy / 圆轨道速度、周期与能量

Knowledge ID: P01-U07-L02-K01

1.1 Force supplies centripetal acceleration

质量 \(m\) 在半径 \(r\) 的圆轨道上，速度切向、引力径向：

\[\frac{GMm}{r^2}=m\frac{v_c^2}{r}.\]

因此

\[v_c=\sqrt{\frac{\mu_g}{r}}, \qquad T=\frac{2\pi r}{v_c}=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{\mu_g}}.\]

卫星质量约去，并不表示卫星不受力；它表示惯性质量与引力质量以同一比例出现。

1.2 Circular energy

圆轨道中 \(K=GMm/(2r)\)，而 \(U=-GMm/r\)，故

\[E_c=K+U=-\frac{GMm}{2r}, \qquad \varepsilon_c=-\frac{\mu_g}{2r}.\]

降低圆轨道使总能量更负，却使速率更大；短暂逆行减速会把当前点变成新椭圆的远地点，之后卫星在更低处反而加速。

1.3 Worked Example 1 — a 400 km circular Earth orbit

已知。 卫星高度 \(h=400\ \mathrm{km}\)，\(R_\oplus=6.371\times10^6\ \mathrm m\)，\(\mu_g=3.9860\times10^{14}\ \mathrm{m^3/s^2}\)。

研究对象、系统与参考系。 研究对象是卫星，系统为地球—卫星；在地心惯性系中求圆轨道状态。

坐标与正方向。 以地心为原点，\(+\hat{\mathbf r}\) 向外，轨道切向正方向取卫星运动方向；引力加速度沿 \(-\hat{\mathbf r}\)。

模型及理由。 地球近似球对称，卫星质量远小于地球，忽略阻力、扁率和其他天体，故采用 Newtonian 二体圆轨道模型。

方程与计算。 先把高度换成中心距：\(r=R_\oplus+h=6.771\times10^6\ \mathrm m\)。再用圆轨道条件与能量式：

\[v_c=\sqrt{ \frac{3.9860\times10^{14}\ \mathrm{m^3/s^2}} {6.771\times10^6\ \mathrm m}} =7.6726\times10^3\ \mathrm{m/s} =7.67\ \mathrm{km/s},\]

\[T=2\pi\sqrt{ \frac{(6.771\times10^6\ \mathrm m)^3} {3.9860\times10^{14}\ \mathrm{m^3/s^2}}} =5.5449\times10^3\ \mathrm s =92.4\ \mathrm{min},\]

\[\varepsilon_c =-\frac{3.9860\times10^{14}\ \mathrm{m^3/s^2}} {2(6.771\times10^6\ \mathrm m)} =-2.9434\times10^7\ \mathrm{J/kg}.\]

SI、有效数字与检查。 \(\sqrt{\mu_g/r}\) 的单位为 \(\mathrm{m/s}\)，\(\sqrt{r^3/\mu_g}\) 为秒，\(\mu_g/r\) 为 \(\mathrm{J/kg}\)；结果均取三位有效数字。\(\varepsilon_c<0\) 表明轨道束缚，且 \(T=2\pi r/v_c\) 代回同得 \(5.55\times10^3\ \mathrm s\)。

物理解释。 \(400\ \mathrm{km}\) 是离地高度，不是轨道半径；若把它直接代作 \(r\)，速度、周期和能量都会严重失真。

Knowledge 2 — Kepler's three laws / 开普勒三定律

Knowledge ID: P01-U07-L02-K02

2.1 First law: focus, not center

理想二体引力轨道是圆锥曲线；束缚行星轨道为椭圆，中心天体位于一个焦点。椭圆满足

\[r_p=a(1-e), \qquad r_a=a(1+e), \qquad a=\frac{r_p+r_a}{2}.\]

2.2 Second law: equal areas

中心力力矩为零：

\[\boldsymbol\tau=\mathbf r\times\mathbf F=\mathbf0 \quad\Longrightarrow\quad \mathbf h=\mathbf r\times\mathbf v=\text{constant}.\]

极坐标中单位时间扫过面积为

\[\frac{dA}{dt}=\frac12r^2\dot\theta=\frac h2=\text{constant}.\]

因此近地点 \(r\) 小、切向速度大；远地点反之。

2.3 Third law in the two-body approximation

椭圆周期只由半长轴和总质量决定：

\[T^2=\frac{4\pi^2}{G(M+m)}a^3.\]

当 \(m\ll M\) 时，分母近似为 \(GM=\mu_g\)。第三定律使用 \(a\)，不是瞬时距离或近日点距离。

2.4 Worked Example 2 — an eight-year asteroid

已知。 一颗小行星绕太阳的周期 \(T=8.00\ \mathrm{yr}\)；以地球的 \(T_\oplus=1.00\ \mathrm{yr}\)、\(a_\oplus=1.00\ \mathrm{AU}\) 为基准。

研究对象、系统与参考系。 研究对象为小行星，系统为太阳—小行星；在日心惯性系中描述其轨道。

坐标与正方向。 轨道平面内以太阳焦点为原点，极角正向取行星公转方向；本题只需求与方向无关的半长轴。

模型及理由。 小行星质量相对太阳可忽略，且比较对象绕同一中心质量，故 Kepler 第三定律中的常数可用地球轨道消去。

方程与计算。 用地球单位写第三定律：

\[\left(\frac{T}{1\ \mathrm{yr}}\right)^2 =\left(\frac{a}{1\ \mathrm{AU}}\right)^3.\]

\(T=8.00\ \mathrm{yr}\)，所以

\[\frac{a}{\mathrm{AU}}=(8.00^2)^{1/3}=4.00.\]

SI、有效数字与检查。 若换成 SI，\(a=4.00\ \mathrm{AU}=5.98\times10^{11}\ \mathrm m\)；结果取三位有效数字。比例式两边无量纲，且 \(4^{3/2}=8\)，回代恢复原周期。

物理解释。 周期只确定半长轴；没有偏心率，仍不能分别确定近日点和远日点。

Knowledge 3 — Elliptic, parabolic, and hyperbolic trajectories / 椭圆、抛物与双曲轨道

Knowledge ID: P01-U07-L02-K03

3.1 Energy classifies the conic

对单位质量，

\[\varepsilon=\frac{v^2}{2}-\frac{\mu_g}{r}, \qquad h=\lvert\mathbf r\times\mathbf v\rvert.\]

偏心率由

\[e=\sqrt{1+\frac{2\varepsilon h^2}{\mu_g^2}}\]

决定。分类为：

3.2 Vis-viva equation

椭圆总比机械能为 \(\varepsilon=-\mu_g/(2a)\)，所以

\[v^2=\mu_g\left(\frac2r-\frac1a\right).\]

它给出速率，不给速度方向；方向还需角动量或飞行路径角。对抛物线可取 \(1/a=0\)，得到 \(v=v_{\mathrm{esc}}\)；双曲线常令 \(a<0\)，但必须声明符号约定。

3.3 Worked Example 3 — state-to-conic classification

已知。 探测器在半径 \(r_0\) 处纯切向运动，\(v_0=1.20v_c\)，其中 \(v_c=\sqrt{\mu_g/r_0}\)。

研究对象、系统与参考系。 研究对象为探测器，系统为中心天体—探测器；在中心天体惯性系中用瞬时状态判定轨道。

坐标与正方向。 \(+\hat{\mathbf r}\) 径向向外，\(+\hat{\boldsymbol\theta}\) 取初速度方向；初始径向速度为零。

模型及理由。 采用无推力、无阻力的 Newtonian 二体点质量模型，因此比能量与比角动量守恒，且可用它们确定瞬时密切圆锥曲线。

方程与计算。 比机械能为

\[\varepsilon =\frac12(1.20^2)\frac{\mu_g}{r_0}-\frac{\mu_g}{r_0} =-0.280\frac{\mu_g}{r_0}<0,\]

所以为椭圆。又有 \(h=1.20\sqrt{\mu_g r_0}\)，

\[e=\sqrt{1+2(-0.280)(1.20^2)}=0.440.\]

再由

\[a=-\frac{\mu_g}{2\varepsilon} =\frac{r_0}{0.560} =1.79r_0\]

得到三位有效数字的半长轴。同步检查为

\[a(1-e)=(1.79r_0)(1-0.440)=1.00r_0,\]

故初始点仍为近地点。

SI、有效数字与检查。 \(\varepsilon\) 与 \(\mu_g/r_0\) 都是 \(\mathrm{J/kg}\)，\(e\) 无量纲。\(\varepsilon<0\) 且 \(0<e<1\) 一致指向椭圆；\(a(1-e)=r_0\) 验证初始点是近地点。若把 \(1.20\) 提高到 \(\sqrt2\)，则 \(\varepsilon\to0\)、\(e\to1\)，极限为抛物线。

物理解释。 速度高于圆轨道速度只会抬高远地点；达到 \(\sqrt2v_c\) 前仍为束缚椭圆，不能仅凭“比圆轨道快”宣称已经逃逸。

Knowledge 4 — Satellite transfer and orbital maneuvers / 卫星转移与轨道机动

Knowledge ID: P01-U07-L02-K04

4.1 A burn changes velocity, then gravity defines a new conic

理想瞬时脉冲中位置连续、速度突变。由半径 \(r_1\) 的圆轨道升到 \(r_2>r_1\) 的圆轨道，Hohmann 转移椭圆半长轴

\[a_t=\frac{r_1+r_2}{2}.\]

第一次在近地点顺行加速，第二次在远地点顺行加速并圆化：

\[\Delta v_1 =\sqrt{\frac{\mu_g}{r_1}} \left(\sqrt{\frac{2r_2}{r_1+r_2}}-1\right),\]

\[\Delta v_2 =\sqrt{\frac{\mu_g}{r_2}} \left(1-\sqrt{\frac{2r_1}{r_1+r_2}}\right).\]

飞行时间是转移椭圆的半周期：

\[t_H=\pi\sqrt{\frac{a_t^3}{\mu_g}}.\]

Hohmann 转移是理想二脉冲、共面、同向圆轨道之间的经典最小总 \(\Delta v\) 方案之一；它不是所有边界条件下的全局最优。大半径比时 bi-elliptic transfer 可能更省 \(\Delta v\)，有限推力、电推进、平面改变、交会相位和扰动都需扩展模型。

4.2 Worked Example 4 — \(7000\) km to \(14000\) km

已知。 地心半径 \(r_1=7000\ \mathrm{km}=7.000\times10^6\ \mathrm m\)、\(r_2=14000\ \mathrm{km}=1.4000\times10^7\ \mathrm m\)，\(\mu_g=3.9860\times10^{14}\ \mathrm{m^3/s^2}\)。

研究对象、系统与参考系。 研究对象为卫星，系统为地球—卫星；在地心惯性系中比较三条二体轨道的速度。

坐标与正方向。 轨道共面，切向顺行取正；\(\Delta v>0\) 表示顺行加速。

模型及理由。 初末轨道均为同向圆轨道，机动为两次瞬时切向脉冲，忽略有限推力、平面改变和摄动，故使用 Hohmann 转移。

方程与计算。 转移椭圆半长轴 \(a_t=(r_1+r_2)/2=1.0500\times10^7\ \mathrm m\)。由 vis-viva，

\[\begin{aligned} v_{c1} &=\sqrt{\frac{3.9860\times10^{14}\ \mathrm{m^3/s^2}} {7.000\times10^6\ \mathrm m}} =7.546\times10^3\ \mathrm{m/s},\\ v_{t,p} &=\sqrt{(3.9860\times10^{14}\ \mathrm{m^3/s^2}) \left(\frac{2}{7.000\times10^6\ \mathrm m} -\frac{1}{1.0500\times10^7\ \mathrm m}\right)} =8.713\times10^3\ \mathrm{m/s},\\ v_{t,a} &=\sqrt{(3.9860\times10^{14}\ \mathrm{m^3/s^2}) \left(\frac{2}{1.4000\times10^7\ \mathrm m} -\frac{1}{1.0500\times10^7\ \mathrm m}\right)} =4.357\times10^3\ \mathrm{m/s},\\ v_{c2} &=\sqrt{\frac{3.9860\times10^{14}\ \mathrm{m^3/s^2}} {1.4000\times10^7\ \mathrm m}} =5.336\times10^3\ \mathrm{m/s}. \end{aligned}\]

所以

\[\Delta v_1=1.17\ \mathrm{km/s}, \qquad \Delta v_2=0.979\ \mathrm{km/s},\]

\[\Delta v_{\mathrm{tot}}=2.15\ \mathrm{km/s}.\]

\(a_t=10500\ \mathrm{km}\)，所以

\[t_H=\pi\sqrt{\frac{(1.05\times10^7\ \mathrm m)^3}{3.9860\times10^{14}\ \mathrm{m^3/s^2}}} =5.35\times10^3\ \mathrm s =89.2\ \mathrm{min}.\]

SI、有效数字与检查。 各速度来自 \(\sqrt{\mu_g/r}\)，单位为 \(\mathrm{m/s}\)；时间根式单位为秒。数值取三位有效数字。近地点有 \(v_{t,p}>v_{c1}\)，远地点有 \(v_{c2}>v_{t,a}\)，故两次脉冲均应顺行；\(\Delta v_1+\Delta v_2=2.15\ \mathrm{km/s}\) 与分项相符。

物理解释。 第一次脉冲把远地点抬到 \(r_2\)，第二次脉冲在远地点圆化。若从高轨降到低轨，两次脉冲的方向都反转。

Knowledge 5 — Apparent weight and microgravity / 视重与微重力

Knowledge ID: P01-U07-L02-K05

5.1 A scale reads contact force

“视重”通常是秤或座椅施加的支持力 \(N\)，不是 \(mg\) 本身。以竖直向上为正，在近地匀强近似中

\[N-mg=ma_y, \qquad N=m(g+a_y).\]

自由落体时 \(a_y=-g\)，故 \(N=0\)。轨道舱、宇航员和舱内物体受到几乎相同的引力加速度，共同绕地球自由落体，于是相互支持力接近零。

5.2 Microgravity is not zero gravity

在 \(400\ \mathrm{km}\) 高度，

\[\frac{g(r)}{g_s}=\left(\frac{R_\oplus}{R_\oplus+h}\right)^2\approx0.885.\]

局部引力仍约为地表的 \(89\%\)。真实微重力环境的残余相对加速度来自引力梯度、大气阻力、姿态控制、振动、舱内质量分布等。

5.3 Worked Example 5 — scale reading in an orbiting laboratory

已知。 一名 \(70.0\ \mathrm{kg}\) 宇航员在约 \(400\ \mathrm{km}\) 高的理想圆轨道舱内接触一台未固定的秤；当地 \(g(r)=8.69\ \mathrm{m/s^2}\)。

研究对象、系统与参考系。 对宇航员单独画受力图；地球—宇航员提供引力，秤对人可能提供支持力 \(N\)。在地心惯性系中，舱、秤和人共同绕地自由落体。

坐标与正方向。 局部径向向地心取正，故重力为 \(+mg(r)\)；秤若推人则支持力背离地心，记为 \(-N\)。

模型及理由。 采用圆轨道二体模型，忽略舱内引力梯度、阻力、振动和固定约束；因此人与秤具有相同的向心加速度 \(a_r=g(r)\)。

方程与计算。 宇航员的径向方程为

\[mg(r)-N=ma_r=mg(r),\]

故

\[N=0.\]

地球引力大小仍为

\[F_g=m g(r)=(70.0\ \mathrm{kg})(8.69\ \mathrm{m/s^2})=608\ \mathrm N.\]

SI、有效数字与检查。 \(mg\) 与 \(N\) 单位均为牛顿；\(F_g\) 按输入取三位有效数字。把 \(N=0\) 代回得 \(a_r=g(r)\)，方向确实向心；若舱用发动机改变加速度，\(N\) 一般不再为零。

物理解释。 秤读数为零是因为没有支持力，而不是因为引力消失；宇航员仍受约 \(608\ \mathrm N\) 的地球引力。

6. Lesson synthesis / 全课整合

6.1 State-to-orbit algorithm

1. 把高度换成中心距，声明中心天体与二体近似。
2. 由 \(\mathbf r,\mathbf v\) 求 \(\varepsilon\) 与 \(\mathbf h\)。
3. 用 \(\varepsilon\) 判断束缚性，用 \(e\) 判断圆锥曲线，用 \(a\) 求周期或 vis-viva 速度。
4. 机动前后位置相同；瞬时脉冲只改变速度，从而改变 \(\varepsilon\)、\(\mathbf h\) 和轨道。
5. 视重问题只求接触力；自由落体中 \(N\) 可为零，而 \(\mathbf g\) 不为零。
6. 最后检查半径/高度、速度方向、能量符号、轨道交点和模型假设。

6.2 Formula sheet

6.3 Model boundaries / 模型边界

• 开普勒椭圆是理想二体解；实际轨道有进动、阻力、扁率和第三体摄动。
• “瞬时脉冲”要求燃烧时间远短于轨道时间尺度；低推力轨迹必须连续积分。
• Hohmann 公式不包含平面改变、会合相位、发射场纬度或大气段。
• 抛物线是恰好 \(\varepsilon=0\) 的理想边界；实际测量误差下应报告不确定度。
• 微重力是低支持力和低相对加速度环境，不等于引力场严格为零。

7. Misconception clinic / 易错概念诊所

8. Practice and retrieval / 练习与检索

A. Conceptual questions

1. 为什么圆轨道速度与卫星质量无关？
2. 开普勒第二定律怎样直接来自角动量守恒？
3. 椭圆远地点的速率为什么小于近地点？
4. 物体的总能量为零意味着它在所有位置速度都为零吗？
5. 升高 Hohmann 转移的两次脉冲为何都顺行？
6. ISS 高度的引力接近地表，为什么舱内物体仍漂浮？

B. Quantitative and derivation questions

7. 推导圆轨道的 \(K=-U/2\) 与 \(E=U/2\)。
8. 某卫星圆轨道半径变为原来的 4 倍，速度与周期各变为多少倍？
9. 椭圆轨道 \(r_p=7000\ \mathrm{km}\)、\(r_a=21000\ \mathrm{km}\)，求 \(a\) 与 \(e\)。
10. 在某半径处纯切向速度等于 \(v_{\rm esc}\)，轨道的 \(\varepsilon\) 与 \(e\) 是多少？
11. 绕太阳天体的半长轴为 \(9\ \mathrm{AU}\)，忽略其质量，求周期。
12. \(60.0\ \mathrm{kg}\) 乘客在向下加速度 \(0.300g\) 的电梯中，秤读数是多少？

Exit ticket

给定一组 \(\mathbf r\) 与 \(\mathbf v\)，写出不超过五步的轨道判别流程；再用一张自由体图解释“轨道失重但引力不为零”。

9. References and source notes / 参考资料与使用说明

9.1 Source-to-content map

9.2 Bibliographic notes

OpenStax §§13.4–13.5 provide the calculus-based orbital spine. NASA provides current mission-language interpretations of Kepler motion, transfer geometry and microgravity. MIT 16.07 independently checks the maneuver equations. All diagrams, examples and explanations are original syntheses.