流体静力学

学习目标 / Learning objectives

学完本课后，你应能：

1. 从连续介质平均与面力定义出发，区分密度、压强、应力张量和表压。
2. 由微元受力平衡推导静水方程，并用于分层液体、测压计和受压平面。
3. 用帕斯卡原理、体积连续性和功守恒分析液压装置，而不宣称“免费放大能量”。
4. 由压强合力推导阿基米德原理，判断全浸没、漂浮和视重问题。
5. 用质心、浮心、稳心与稳心高判断小倾角浮体的初稳性，并说明该判据的边界。

先修知识 / Prerequisites

• 需要 受力分析 与 功—能核算。
• 需要会处理矢量分量、面积积分和一阶力矩。
• 静止条件最终是刚体与流体共同满足的平动、转动平衡；本课不重复一般平衡理论。

范围、约定与建模契约 / Scope, conventions, and modeling contract

• 全文使用 SI；取竖直坐标 \(z\) 向上，均匀重力场为 \(\mathbf g=-g\mathbf e_z\)，\(g=9.81\ \mathrm{m\,s^{-2}}\)。
• \(p\) 表示绝对压强；\(p_g=p-p_{\rm atm}\) 表示表压。若只求同一外界压强下的压强差，可用表压。
• \(\rho\) 是质量密度，连续介质极限下 \(\rho(\mathbf x)=\lim_{\Delta V\to\mathrm{RVE}}\Delta m/\Delta V\)；极限不是缩到单个分子，而是缩到仍含许多分子的代表性体元（RVE）。
• 静止、无黏弹性法向效应的简单流体满足 Cauchy 应力 \(\boldsymbol\sigma=-p\mathbf I\)；负号来自“拉应力为正”的固体力学约定。
• 本课主要讨论静止、连续、处于局部热力学平衡的流体。毛细界面压力跳跃留到 Lesson 1.8.4；高速、黏性和可压缩流动分别留到后续课程。

图 1：连续介质平均不是“忽略分子”，而是在分子尺度与宏观变化尺度之间选择代表性体元。

符号表 / Notation

Knowledge 1 — Density, pressure, and isotropic stress / 密度、压强与各向同性应力

Knowledge ID: P01-U08-L01-K01

1.1 密度是场，不只是“质量除以体积”

均匀样品可写 \(\rho=m/V\)；非均匀连续介质必须写为局部关系

\[dm=\rho(\mathbf x)\,dV, \qquad m=\int_V \rho(\mathbf x)\,dV.\]

温度、盐度和压强可令 \(\rho\) 随位置改变。把水的密度固定为 \(1000\ \mathrm{kg\,m^{-3}}\) 是许多室温低压问题的近似，不是定义。

1.2 压强与应力

压强可由小活塞的法向力定义：\(p=\lim_{\Delta A\to0}\Delta F_n/\Delta A\)。然而在连续介质中，更基本的对象是应力张量。静止简单流体若存在切应力，就会继续发生形变；故平衡时切应力为零。再由任意取向微小四面体的力平衡可知三个法向应力相等，于是

\[\boldsymbol\sigma=-p\mathbf I, \qquad \mathbf t(\mathbf n)=-p\mathbf n.\]

这里的“各向同性”是同一点处不同取向截面的应力形式相同；它并不表示整个容器中 \(p\) 处处相等。

图 2：静止流体对任意取向面元只施加垂直于该面的压应力；箭头不是流体粒子的运动轨迹。

Knowledge 2 — Hydrostatic pressure variation / 静水压强分布

Knowledge ID: P01-U08-L01-K02

2.1 从微元平衡到静水方程

对静止流体微元，面力与体力平衡：

\[-\nabla p+\rho\mathbf g=\mathbf 0, \qquad \boxed{\nabla p=\rho\mathbf g}.\]

当 \(z\) 向上且 \(\mathbf g=-g\mathbf e_z\) 时，

\[\frac{dp}{dz}=-\rho g.\]

若 \(\rho\) 和 \(g\) 近似常量，从自由面 \(z=z_s\) 积分得

\[p(z)=p_s+\rho g(z_s-z)=p_s+\rho gh,\]

其中深度 \(h=z_s-z\ge0\)。若流体明显可压缩，必须联立状态方程 \(\rho=\rho(p,T)\)，不能直接使用线性 \(\rho gh\)。

图 3：不可压缩均匀液体中 \(p\) 随 \(z\) 线性下降；若横轴改为深度 \(h\)，斜率为 \(+\rho g\)。

图 4：水平分量互相抵消；竖直面力差与重量平衡，给出 \(dp/dz=-\rho g\)。图为示意，不按几何比例。

2.2 连通液体与测压计

在同一种连通静止液体的同一水平面，\(p\) 相同。跨过不同密度的液层时应逐段使用 \(\Delta p=\rho g\Delta h\)；“同高同压”不能跨越互不连通的流体或跨越有表面张力压差的界面。

图 5：左液面比右液面高 \(\Delta h\)，故左侧所接压强较低，\(p_2-p_1=\rho g\Delta h\)；液面高低与压强大小必须成对判断。

Worked Example 1 — 湖水中的绝对压强

已知： 湖面绝对压强 \(p_s=92.0\ \mathrm{kPa}\)，淡水密度 \(\rho=998\ \mathrm{kg\,m^{-3}}\)，潜水器深度 \(h=18.0\ \mathrm m\)。
研究对象与参考系： 地面惯性系中的静止水柱；\(z\) 向上。
模型： \(\rho\) 与 \(g\) 在 18 m 范围内恒定，自由面曲率效应忽略。

\[p=p_s+\rho gh =92.0\times10^3+(998)(9.81)(18.0) =2.68\times10^5\ \mathrm{Pa}.\]

所以绝对压强为 \(268\ \mathrm{kPa}\)，表压为 \(176\ \mathrm{kPa}\)（三位有效数字）。量纲检查：\(\mathrm{kg\,m^{-3}}\,\mathrm{m\,s^{-2}}\,\mathrm m=\mathrm{Pa}\)。压强随深度增大，符号与极限 \(h\to0\) 均正确。

Worked Example 2 — 竖直矩形闸门的合力与压心

已知： 宽 \(b=2.00\ \mathrm m\)、高 \(H=3.00\ \mathrm m\) 的竖直闸门上缘在水面，取淡水密度 \(\rho=1000\ \mathrm{kg\,m^{-3}}\)；表压为 \(p=\rho gy\)，\(y\) 向下。
研究对象： 闸门；只计算水相对于大气的净载荷。
模型： 平面、静水、均匀密度。

\[F=\int_0^H p\,b\,dy =\rho gb\int_0^H y\,dy =\frac12\rho gbH^2 =88.3\ \mathrm{kN}.\]

压心深度由一阶力矩给出：

\[y_{\rm CP}=\frac{\int_0^H y\,dF}{F} =\frac{\rho gb\int_0^H y^2dy}{\rho gbH^2/2} =\frac{2H}{3}=2.00\ \mathrm m.\]

压强三角形的合力通过其形心，故结果也可由几何检查。压心低于面积形心 \(H/2\)，因为深处载荷更大。

图 6：竖直闸门上的表压载荷呈三角分布；图中的合力位置与积分结果一致。

Knowledge 3 — Pascal's principle and hydraulic systems / 帕斯卡原理与液压系统

Knowledge ID: P01-U08-L01-K03

封闭静止流体的边界压强增加 \(\Delta p\) 时，在忽略高度差、流体可压缩性与密封摩擦的理想模型中，该增量传到各处：

\[\Delta p=\frac{F_1}{A_1}=\frac{F_2}{A_2}, \qquad \frac{F_2}{F_1}=\frac{A_2}{A_1}.\]

液压机放大力，却不放大理想输入功。不可压缩体积约束给出 \(A_1\Delta x_1=A_2\Delta x_2\)，所以

\[F_1\Delta x_1=F_2\Delta x_2.\]

若两活塞高度不同，必须把静水项加入基准压强；若活塞加速、管路细长或流体可压缩，还会出现瞬态和损耗。

图 7：理想液压机用位移交换力；实际装置还需计入摩擦、管损与流体压缩。

Worked Example 3 — 液压举升机

已知： 小活塞半径 \(r_1=1.50\ \mathrm{cm}\)，大活塞半径 \(r_2=12.0\ \mathrm{cm}\)；欲静止托住质量 \(m=1200\ \mathrm{kg}\) 的汽车。忽略两活塞高差和摩擦。
研究对象： 大活塞与汽车；竖直向上为正。
模型： 准静态、不可压缩液体、表压增量均匀传递。

\[F_1=mg\frac{A_1}{A_2} =mg\frac{r_1^2}{r_2^2} =(1200)(9.81)\left(\frac{0.0150}{0.120}\right)^2 =184\ \mathrm N.\]

若大活塞上升 \(2.00\ \mathrm{cm}\)，小活塞需下降

\[\Delta x_1=\frac{A_2}{A_1}\Delta x_2 =64.0(0.0200)=1.28\ \mathrm m.\]

\(184\ \mathrm N\times1.28\ \mathrm m\) 与 \(mg\times0.0200\ \mathrm m\) 均为约 \(235\ \mathrm J\)，验证能量账一致。

Knowledge 4 — Buoyancy and Archimedes' principle / 浮力与阿基米德原理

Knowledge ID: P01-U08-L01-K04

4.1 浮力来自压强合力

想象用同一种流体替换浸入物体所占体积 \(V_d\)。替代流体静止，因此周围流体对其表面的压强合力必与其重量平衡：

\[\mathbf F_B=-\int_{\partial V_d}p\mathbf n\,dA =-\int_{V_d}\nabla p\,dV =-\int_{V_d}\rho\mathbf g\,dV.\]

均匀流体中

\[\boxed{\mathbf F_B=-\rho_f V_d\mathbf g},\]

作用线通过排开流体体积的几何形心，即浮心 \(B\)。对密度分层流体，必须保留体积分形式；浮力不一定简单等于某个单一密度乘体积。

图 8：下部压强较大，封闭曲面上的法向压力合成为向上的浮力；红箭只编码局部法向与受力方向，箭长不表示压强大小，单个红箭也不是浮力本身。

4.2 漂浮、悬浮与视重

• 自由漂浮且静止：\(\rho_f gV_d=mg\)，故浸没体积分数 \(V_d/V=\bar\rho_b/\rho_f\)。
• 全浸没且由细线悬挂：\(T+F_B-mg=0\)，视重 \(T=mg-F_B\)。
• “物体密度小于流体密度”能判断均匀物体最终上浮，但瞬时加速度还取决于阻力、附加质量等动力学效应。

图 9：漂浮体的浸没分数由平均密度比决定；图中箭头分别作用于物体的质心和浮心。

Worked Example 4 — 水下仪器的系绳张力

已知： 密闭仪器质量 \(m=18.0\ \mathrm{kg}\)、外形体积 \(V=0.0250\ \mathrm{m^3}\)，完全浸在密度 \(1025\ \mathrm{kg\,m^{-3}}\) 的海水中，由竖直向下的系绳保持静止。
研究对象： 仪器；向上为正。
模型： 海水密度均匀，仪器不吸水，忽略表面张力。

\[F_B=\rho gV=(1025)(9.81)(0.0250)=251\ \mathrm N,\]

\[F_B-mg-T=0 \quad\Rightarrow\quad T=251-(18.0)(9.81)=74.8\ \mathrm N.\]

张力方向必须向下，因为浮力大于重量。若误把绳画在上方仍写同一符号，会与受力方向冲突。\(V\to0\) 时浮力消失、此种向下系绳不再能平衡，也符合极限检查。

Knowledge 5 — Stability of floating bodies / 浮体稳定性

Knowledge ID: P01-U08-L01-K05

5.1 为什么只比较 \(G\) 与 \(B\) 不够

直立对称浮体中，重量通过固定在物体上的质心 \(G\)，浮力通过当前排水体积的浮心 \(B\)。浮体稍微横倾后，水线形状改变，\(B\) 横向移动；新浮力作用线与原对称轴的交点定义为小倾角初稳心 \(M\)。

若排水体积为 \(V_d\)，水线面对横倾轴的二次面积矩为 \(I_{\rm wp}\)，则初始近似

\[BM=\frac{I_{\rm wp}}{V_d}, \qquad GM=BM-BG.\]

小角 \(\theta\) 下回复力矩约为

\[\tau_G\approx-W\,GM\sin\theta \approx-W\,GM\theta.\]

因此 \(GM>0\) 为初始稳定，\(GM=0\) 为中性，\(GM<0\) 为初始不稳定。这里的正负号约定为正 \(\theta\) 的回复力矩应为负。

图 10：同样的 \(G\) 与初始 \(B\) 相对位置并不足以判断浮体；倾斜后浮心移至 \(B'\)，其竖直作用线与虚线船体轴交于 \(M\)。左图浮力在 \(G\) 左侧产生顺时针回复力矩，右图在 \(G\) 右侧产生继续横倾的力矩。示意图不按比例。

Worked Example 5 — 矩形驳船的初稳性

已知： 长 \(L=12.0\ \mathrm m\)、宽 \(b=4.00\ \mathrm m\) 的箱形驳船吃水 \(d=1.20\ \mathrm m\)；\(G\) 位于船底上方 \(1.60\ \mathrm m\)。绕纵轴作小横倾。
研究对象： 驳船；取直立状态为 \(\theta=0\)。
模型： 箱形水线、静水、小角、自由液面效应忽略。

排水体积与水线面二次矩为

\[V_d=Lbd=57.6\ \mathrm{m^3}, \qquad I_{\rm wp}=\frac{Lb^3}{12}=64.0\ \mathrm{m^4}.\]

箱形排水体的 \(B\) 在船底上方 \(d/2=0.600\ \mathrm m\)，故

\[BM=\frac{I_{\rm wp}}{V_d}=1.11\ \mathrm m, \qquad BG=1.60-0.600=1.00\ \mathrm m,\]

\[GM=BM-BG=0.111\ \mathrm m>0.\]

所以它在该轴向具有正的初稳性，但裕度很小。极限检查：增大船宽使 \(I_{\rm wp}\propto b^3\)，通常显著提高横稳性；把载荷抬高会增大 \(BG\)、降低 \(GM\)。

课程综合 / Lesson synthesis

静止流体的建模链条是：

1. 先选参考系并确认流体确实可视为静止；
2. 用 \(\boldsymbol\sigma=-p\mathbf I\) 把面力写成 \(-p\mathbf n\,dA\)；
3. 用 \(\nabla p=\rho\mathbf g\) 得到空间压强场；
4. 对指定边界积分压强，得到闸门载荷、液压力或浮力；
5. 对刚体同时检查 \(\sum\mathbf F=0\) 和 \(\sum\boldsymbol\tau=0\)；
6. 对浮体小扰动，还要跟踪排水形状变化与浮心移动。

图 11：从应力到平衡的可执行流程；液压、浮力和浮体稳定并非互不相关的口诀，而是同一压强场的不同积分。

公式—决策表 / Formula-and-decision table

模型边界 / Model boundaries

• 连续介质： 特征尺度必须远大于平均分子间距；稀薄气体需用 Knudsen 数判断。
• 静止： 加速容器可在随动非惯性系用有效重力，但需显式加入惯性体力；旋转液体自由面并非水平。
• 不可压缩： 液体在中等压差下常可近似，气体高柱或大压差通常不可。
• 无界面曲率效应： 微米尺度或窄毛细管中，表面张力可与重力同量级。
• 初稳性： 稳心高不是完整的抗倾覆保证。

误区诊所 / Misconception clinic

1. “同一液体中压强处处相等。” 错；静止只意味着加速度为零，重力仍要求压强梯度。
2. “压强是向下的。” 错；压强是标量，压力沿每个受力面的法线。
3. “帕斯卡原理让能量也按面积比放大。” 错；大活塞得到更大力，同时移动更短距离。
4. “浮力等于物体重量。” 只对静止自由漂浮或悬浮成立；一般浮力等于排开流体的重量。
5. “浮心必须在质心上方才稳定。” 对完全浸没且浮心不随姿态变的物体常有意义；对穿过自由面的浮体，应检查稳心 \(M\)。
6. “\(GM>0\) 就绝不会翻。” 错；它只给小角初稳性。

练习与提取 / Practice and retrieval

1. K01 概念： 为什么静止简单流体的应力张量可写成 \(-p\mathbf I\)？负号代表什么？
2. K01 计算： 一个体积 \(2.50\times10^{-3}\ \mathrm{m^3}\) 的样品密度沿 \(x\) 方向为 \(\rho=900+40x\ \mathrm{kg\,m^{-3}}\)，其中截面积 \(A=0.0100\ \mathrm{m^2}\)、\(0\le x\le0.250\ \mathrm m\)。求质量。
3. K02 定量： 油的密度为 \(850\ \mathrm{kg\,m^{-3}}\)。液面下 \(4.00\ \mathrm m\) 的表压是多少？
4. K02 图像： 在同一坐标中定性画出水和油的 \(p\)—深度图，并说明斜率大小。
5. K03 液压： 面积比 \(A_2/A_1=25.0\)；小活塞施力 \(160\ \mathrm N\) 并下移 \(0.500\ \mathrm m\)。求理想输出力和大活塞位移。
6. K02 综合： 宽 \(1.50\ \mathrm m\)、高 \(2.00\ \mathrm m\) 的竖直闸门上缘位于水面下 \(1.00\ \mathrm m\)；取水的密度 \(\rho=1000\ \mathrm{kg\,m^{-3}}\)。求表压合力。
7. K04 浮力： 体积 \(4.00\times10^{-3}\ \mathrm{m^3}\)、质量 \(3.00\ \mathrm{kg}\) 的物体完全浸水，若由上方细线拉住，求张力。
8. K04 漂浮： 密度 \(720\ \mathrm{kg\,m^{-3}}\) 的均匀木块漂浮在水中，求浸没体积分数。
9. K05 稳定： 某浮体 \(BM=0.80\ \mathrm m\)、\(BG=0.65\ \mathrm m\)。判断小角稳定性，并求质量 \(2000\ \mathrm{kg}\)、横倾 \(3.0^\circ\) 时回复力矩的大小。
10. 边界判断： 列出三个使 \(p=p_s+\rho gh\) 不能直接使用的情形，并说明应修改哪一项假设。
11. 综合迁移： 一艘驳船装入半满且未分舱的水箱。即使总质量不变，为什么横稳性通常下降？

Exit ticket

1. 不使用“阿基米德原理”作为起点，从 \(\nabla p=\rho\mathbf g\) 与散度定理写出任意形状物体的浮力积分。
2. 面对一艘轻微横倾的船，用不超过五句话说明为何“\(B\) 在 \(G\) 下方”仍可能初始稳定，并给出判据。

参考资料与来源说明 / References and source notes

1. OpenStax, University Physics Volume 1, §14.1 Fluids, Density, and Pressure — 密度、压强和流体静力学入门。
2. OpenStax, University Physics Volume 1, §14.2 Measuring Pressure — 静水压强、表压和测压计。
3. OpenStax, University Physics Volume 1, §14.3 Pascal's Principle and Hydraulics — 压强增量传递与液压系统。
4. OpenStax, University Physics Volume 1, §14.4 Archimedes' Principle and Buoyancy — 浮力、漂浮和视重。
5. MIT OpenCourseWare 1.060, Recitation 7: Floating-body stability — 稳心高、浮体小角稳定与回复力矩。
6. MIT OpenCourseWare 18.357, Interfacial Phenomena lecture notes — 连续介质应力边界与小尺度浮力/毛细力边界。

所有 TikZ 均依据本文方程原创绘制，没有复制来源插图。来源于 2026-08-20 实际核对；不同来源中向下深度与向上 \(z\) 的符号差异已统一为本文约定。

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复习与拓展

• 下一课把“静止微元平衡”改成“沿流线的能量与质量通量”，连续性方程会成为核心。
• Lesson 1.8.3 将恢复黏性剪应力，说明为何运动流体不再只有 \(-p\mathbf I\)。
• Lesson 1.8.4 将把本课的积分平衡统一为局部守恒方程，并加入表面张力造成的法向应力跳跃。