拉格朗日力学与对称性

Learning objectives / 学习目标

完成本课后，你应当能够：

1. 从几何约束与速度映射系统地构造 \(L=T-V\)，并说明该形式的模型边界。
2. 由循环坐标识别守恒广义动量，并区分广义动量与 \(m\mathbf v\)。
3. 推导 Lagrangian energy function 的演化式，判断它何时等于机械能、何时守恒。
4. 以 \(\delta L=dF/dt\) 的准对称形式陈述并应用 Noether 定理。
5. 用 Lagrangian 方法处理中心力轨道与刚体主轴转动。
6. 在稳定平衡附近建立质量矩阵与刚度矩阵，求解简正频率和简正坐标。

0. Conventions and a construction workflow / 约定与构造流程

本课沿用

\[\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial\dot q_i} \right) -\frac{\partial L}{\partial q_i}=0, \qquad p_i\equiv\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}.\]

Knowledge 1 — Constructing the Lagrangian / 拉格朗日量的构造

Knowledge ID: P01-U09-L02-K01

1.1 Natural mechanical systems

对惯性系中、理想完整约束下的质点系统，先写

\[\mathbf r_a=\mathbf r_a(\mathbf q,t), \qquad \dot{\mathbf r}_a =\sum_i\mathbf r_{a,i}\dot q_i+\mathbf r_{a,t}.\]

将其代入

\[T=\frac12\sum_a m_a\dot{\mathbf r}_a^2.\]

一般会得到

\[T= \frac12\sum_{ij}a_{ij}(\mathbf q,t)\dot q_i\dot q_j +\sum_i b_i(\mathbf q,t)\dot q_i+c(\mathbf q,t).\]

若所有施加保守力来自与速度无关的势 \(V(\mathbf q,t)\)，则

\[\boxed{L=T-V}.\]

当约束定常、参考系惯性且坐标变换不显含时间时，通常 \(b_i=c=0\)，动能是速度的齐次二次型。¹

1.2 A reliable six-step recipe

1. 先数自由度，选择不冗余的 \(q_i\)。
2. 明确参考系，并写出每个质量点的 \(\mathbf r_a(\mathbf q,t)\)。
3. 先求速度再平方，避免漏掉 moving-basis 或 moving-support 项。
4. 统一势能零点；势能加常数不影响运动。
5. 形成 \(L=T-V\)，逐项检查单位为 J。
6. 推导后用极限、对称性与 Newton 方程交叉检查。

1.3 Nonuniqueness

对任意光滑 \(F(\mathbf q,t)\)，

\[L'=L+\frac{dF}{dt}\]

给出相同 Euler–Lagrange 方程。势能的任意常数只是这一自由度的最简单特例。不同坐标中的 \(L\) 表面形式也可以很不同，但作用量是同一几何动力学的表示。

Worked Example 1 — Pendulum with a moving support

摆长 \(\ell\)，支点水平位置为给定函数 \(X(t)\)。取向下竖直方向的摆角 \(\theta\)：

\[x=X(t)+\ell\sin\theta, \qquad y=-\ell\cos\theta.\]

因此

\[v^2 =\dot X^2+2\ell\dot X\dot\theta\cos\theta +\ell^2\dot\theta^2.\]

选 \(V=-mg\ell\cos\theta\)：

\[L= \frac12m \left( \dot X^2+2\ell\dot X\dot\theta\cos\theta+\ell^2\dot\theta^2 \right) +mg\ell\cos\theta.\]

Euler–Lagrange 方程化简为

\[\boxed{ \ell\ddot\theta+g\sin\theta =-\ddot X\cos\theta }.\]

支点匀速时 \(\ddot X=0\)，运动与静止支点相同；真正驱动摆的是支点加速度而不是速度本身。

Knowledge 2 — Cyclic coordinates and conserved momenta / 循环坐标与守恒广义动量

Knowledge ID: P01-U09-L02-K02

2.1 Ignorable coordinate

若 \(L\) 不显含某个 \(q_k\)，

\[\frac{\partial L}{\partial q_k}=0,\]

则 \(q_k\) 是 cyclic / ignorable coordinate。Euler–Lagrange 方程立即给出

\[\boxed{ \dot p_k=0, \qquad p_k=\frac{\partial L}{\partial\dot q_k} }.\]

“坐标守恒”不是说 \(q_k\) 不变，而是它的共轭动量不变。\(q_k\) 往往仍随时间演化。

2.2 The Lagrangian energy function

定义

\[\boxed{ \mathcal E_L \equiv \sum_i\dot q_i \frac{\partial L}{\partial\dot q_i} -L }.\]

沿 Euler–Lagrange 解：

\[\begin{aligned} \frac{d\mathcal E_L}{dt} &= \sum_i \left( \ddot q_i\frac{\partial L}{\partial\dot q_i} +\dot q_i\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q_i} \right) -\frac{dL}{dt}\\ &=-\frac{\partial L}{\partial t}. \end{aligned}\]

所以

\[\boxed{ \frac{\partial L}{\partial t}=0 \quad\Longrightarrow\quad \mathcal E_L=\text{constant} }.\]

若 \(L=T-V\)、\(V\) 与速度无关、\(T\) 是速度的齐次二次型，则 Euler 定理给出

\[\sum_i\dot q_i\frac{\partial T}{\partial\dot q_i}=2T, \qquad \mathcal E_L=T+V.\]

Knowledge 3 — Noether's theorem / 诺特定理

Knowledge ID: P01-U09-L02-K03

3.1 Fixed-time quasi-symmetry

先考虑不改变时间的无穷小连续变换

\[q_i\longrightarrow q_i+\varepsilon\xi_i(\mathbf q,t).\]

若 Lagrangian 的变化只是一个全时间导数，

\[\boxed{ \delta L =\varepsilon\frac{dF(\mathbf q,t)}{dt} },\]

则作用量在固定端点下只改变边界项。这称为 quasi-symmetry / 准对称；严格 \(\delta L=0\) 是 \(F=0\) 的特例。²

沿运动方程，

\[\delta L =\sum_i \left[ \frac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i +\frac{\partial L}{\partial\dot q_i} \frac{d}{dt}\delta q_i \right] =\frac{d}{dt} \left( \sum_i p_i\delta q_i \right).\]

与 \(\delta L=\varepsilon\,dF/dt\) 比较：

\[\boxed{ J=\sum_i p_i\xi_i-F \quad\text{is conserved} }.\]

3.2 Including time transformations

更一般地令

\[t'=t+\varepsilon\tau, \qquad q_i'(t')=q_i(t)+\varepsilon\xi_i.\]

若作用量密度的变化仍只是 \(dF/dt\)，Noether charge 可写成

\[\boxed{ J= \sum_i p_i\xi_i-\mathcal E_L\tau-F }.\]

整体负号不改变“守恒”的内容。典型对应关系是：

Worked Example 2 — Uniform gravity as a quasi-symmetry

一维竖直坐标 \(z\) 向上：

\[L=\frac12m\dot z^2-mgz.\]

平移 \(z\to z+\varepsilon\) 并不是 \(L\) 的严格对称，因为

\[\delta L=-mg\varepsilon =\varepsilon\frac{d}{dt}(-mgt).\]

所以 \(\xi=1\)、\(F=-mgt\)，Noether charge 是

\[\boxed{ J=m\dot z+mgt }.\]

由 \(\ddot z=-g\) 直接验证 \(dJ/dt=m\ddot z+mg=0\)。例如 \(m=0.500\ \mathrm{kg}\)、\(\dot z(0)=8.00\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，则

\[J=4.00\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}},\]

并且任意时刻 \(\dot z=8.00-9.81t\) 都保持该组合不变。

Knowledge 4 — Central-force and rigid-body applications / 中心力与刚体应用

Knowledge ID: P01-U09-L02-K04

4.1 Central forces: symmetry reduces the orbit

对平面中心势 \(V(r)\)，

\[L= \frac12m \left( \dot r^2+r^2\dot\phi^2 \right) -V(r).\]

\(\phi\) 循环，因此

\[\boxed{ \ell=p_\phi=mr^2\dot\phi=\text{constant} }.\]

这就是垂直轨道平面的角动量。径向方程

\[m\ddot r-mr\dot\phi^2=-\frac{dV}{dr}\]

可改写成一维有效势问题：

\[\frac12m\dot r^2+V_{\rm eff}(r)=E, \qquad \boxed{ V_{\rm eff}(r)=V(r)+\frac{\ell^2}{2mr^2} }.\]

第二项是由守恒角动量产生的 centrifugal barrier，不是新增的基本相互作用。

Worked Example 3 — Circular orbit from the effective potential

对 \(V(r)=-GMm/r\)，圆轨道满足 \(dV_{\rm eff}/dr=0\)：

\[\frac{GMm}{r^2}-\frac{\ell^2}{mr^3}=0.\]

用 \(\ell=mrv\) 得

\[\boxed{v=\sqrt{\frac{GM}{r}}}.\]

若给定 \(GM=3.986\times10^{14}\ \mathrm{m^3\,s^{-2}}\)、\(r=7.00\times10^6\ \mathrm m\)，

\[v=7.55\times10^3\ \mathrm{m\,s^{-1}},\]

\[T_{\rm orb}=\frac{2\pi r}{v} =5.83\times10^3\ \mathrm s =97.1\ \mathrm{min}.\]

这里所有结论都来自旋转对称导致的 \(\ell\) 守恒与径向平衡。

4.2 Rigid body: inertia tensor and principal axes

刚体绕质心的转动动能为³

\[\boxed{ T_{\rm rot} =\frac12\boldsymbol\omega\cdot\mathbf I\boldsymbol\omega }.\]

在惯性张量的主轴系，

\[T_{\rm rot} =\frac12 \left( I_1\omega_1^2+I_2\omega_2^2+I_3\omega_3^2 \right).\]

刚体取向需要三个广义坐标，例如 Euler angles \((\phi,\theta,\psi)\)。对一端固定的对称陀螺，令 \(\theta\) 为“从支点指向质心的对称轴”与竖直向上方向的夹角，则 \(V=Mgl\cos\theta\)，

\[L= \frac12I_1 \left( \dot\theta^2+\dot\phi^2\sin^2\theta \right) +\frac12I_3 \left( \dot\psi+\dot\phi\cos\theta \right)^2 -Mgl\cos\theta.\]

\(\phi\) 与 \(\psi\) 都是循环坐标，所以有两个守恒共轭动量；这使原本耦合的三角运动大幅降阶。

Worked Example 4 — Rotational energy of a rectangular block

均匀长方体质量 \(M=2.00\ \mathrm{kg}\)，边长 \(a=0.300\ \mathrm m\)、\(b=0.200\ \mathrm m\)、\(c=0.100\ \mathrm m\)。绕穿过质心且平行于 \(c\) 边的主轴，

\[I_c=\frac{M}{12}(a^2+b^2) =2.17\times10^{-2}\ \mathrm{kg\,m^2}.\]

若 \(\omega_c=12.0\ \mathrm{rad\,s^{-1}}\)，

\[T_{\rm rot} =\frac12I_c\omega_c^2 =1.56\ \mathrm J.\]

若无外力矩且恰绕主轴转动，这种定轴状态保持；一般不沿主轴的 torque-free rotation 需要 Euler equations 描述。

Knowledge 5 — Small oscillations and normal coordinates / 小振动与简正坐标

Knowledge ID: P01-U09-L02-K05

5.1 Quadratic expansion near equilibrium

令稳定平衡为 \(\mathbf q_0\)，定义小偏移 \(\boldsymbol\eta=\mathbf q-\mathbf q_0\)。在平衡点

\[\left. \frac{\partial V}{\partial q_i} \right|_{\mathbf q_0}=0.\]

保留二阶项：

\[L^{(2)} =\frac12\dot{\boldsymbol\eta}^{\mathsf T} \mathbf M \dot{\boldsymbol\eta} -\frac12\boldsymbol\eta^{\mathsf T} \mathbf K \boldsymbol\eta,\]

其中

\[M_{ij} =\left. \frac{\partial^2T} {\partial\dot q_i\partial\dot q_j} \right|_{\mathbf q_0}, \qquad K_{ij} =\left. \frac{\partial^2V} {\partial q_i\partial q_j} \right|_{\mathbf q_0}.\]

小振动方程是

\[\boxed{ \mathbf M\ddot{\boldsymbol\eta} +\mathbf K\boldsymbol\eta=0 }.\]

5.2 Generalized eigenvalue problem

设

\[\boldsymbol\eta(t)=\mathbf a\,e^{i\omega t},\]

则

\[\boxed{ \mathbf K\mathbf a =\omega^2\mathbf M\mathbf a }, \qquad \det(\mathbf K-\omega^2\mathbf M)=0.\]

对正定 \(\mathbf M\) 和对称 \(\mathbf K\)，不同频率的本征向量可选为 \(\mathbf M\)-正交：

\[\mathbf a_\alpha^{\mathsf T} \mathbf M \mathbf a_\beta =\delta_{\alpha\beta}.\]

将这些列向量组成矩阵 \(\mathbf A\)，取⁴

\[\boldsymbol\eta=\mathbf A\boldsymbol\xi,\]

即可得到解耦的简正坐标：

\[L^{(2)} =\frac12\sum_\alpha \left( \dot\xi_\alpha^2-\omega_\alpha^2\xi_\alpha^2 \right).\]

Worked Example 5 — Two equal masses and three equal springs

对上图系统，

\[\mathbf M=m \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf K=k \begin{pmatrix} 2&-1\\ -1&2 \end{pmatrix}.\]

特征方程

\[\det \begin{pmatrix} 2k-m\omega^2&-k\\ -k&2k-m\omega^2 \end{pmatrix} =0\]

给出

\[\boxed{ \omega_1=\sqrt{\frac{k}{m}}, \quad \mathbf a_1\propto(1,1) },\]

\[\boxed{ \omega_2=\sqrt{\frac{3k}{m}}, \quad \mathbf a_2\propto(1,-1) }.\]

若 \(m=0.500\ \mathrm{kg}\)、\(k=200\ \mathrm{N\,m^{-1}}\)，

\[\omega_1=20.0\ \mathrm{rad\,s^{-1}}, \qquad f_1=3.18\ \mathrm{Hz},\]

\[\omega_2=34.6\ \mathrm{rad\,s^{-1}}, \qquad f_2=5.51\ \mathrm{Hz}.\]

6. Lesson synthesis / 全课整合

6.1 Symmetry-to-solution chain

\[\boxed{ \text{geometry} \longrightarrow L(\mathbf q,\dot{\mathbf q},t) \longrightarrow \text{continuous symmetry} \longrightarrow \text{conserved quantity} \longrightarrow \text{reduced dynamics} }\]

• Central force: rotational symmetry \(\Rightarrow\ell\) conserved \(\Rightarrow\) effective radial problem.
• Symmetric top: cyclic Euler angles \(\Rightarrow\) two momenta conserved \(\Rightarrow\) nutation reduces to one dimension.
• Small oscillations: quadratic symmetry of matrices \(\Rightarrow\) generalized eigenvectors \(\Rightarrow\) independent normal coordinates.

6.2 Core equation sheet

\[p_i=\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}, \qquad \dot p_i=\frac{\partial L}{\partial q_i},\]

\[\mathcal E_L=\sum_i\dot q_i p_i-L, \qquad \frac{d\mathcal E_L}{dt}=-\frac{\partial L}{\partial t},\]

\[\delta L=\varepsilon\frac{dF}{dt} \quad\Longrightarrow\quad J=\sum_i p_i\xi_i-F,\]

\[V_{\rm eff}=V+\frac{\ell^2}{2mr^2}, \qquad \mathbf K\mathbf a=\omega^2\mathbf M\mathbf a.\]

7. Misconception clinic / 易错概念诊所

8. Practice and retrieval / 练习与检索

A. Conceptual questions

1. 为什么支点匀速平移不改变摆的内禀运动，而支点加速度会改变？
2. 若 \(q_k\) 循环，能否推出 \(\dot q_k\) 常量？
3. 空间平移使 \(L\) 增加全导数时，为什么仍可称为准对称？
4. 中心力轨道为什么必定在一个平面内？
5. 刚体的 \(\boldsymbol\omega\) 与 \(\mathbf L\) 为什么一般不平行？
6. 简正向量为什么应当用 \(\mathbf M\)-内积正交，而不一定用普通点积？

B. Derivation and quantitative questions

7. 对自由粒子平移 \(\mathbf r\to\mathbf r+\varepsilon\mathbf a\) 应用 Noether theorem，推出 \(\mathbf p\cdot\mathbf a\) 守恒。
8. 对二维各向同性振子 \(L=\frac12m(\dot x^2+\dot y^2)-\frac12k(x^2+y^2)\)， 写出由旋转对称产生的守恒量。
9. 对 \(V(r)=-k/r\)，用 \(V_{\rm eff}\) 求圆轨道半径与 \(\ell\) 的关系，并检查稳定性。
10. 一均匀圆盘质量 \(M=3.00\ \mathrm{kg}\)、半径 \(R=0.250\ \mathrm m\)，绕对称轴以 \(20.0\ \mathrm{rad\,s^{-1}}\) 转动。求 \(T_{\rm rot}\)。
11. 对两个等质量、只有中间一根弹簧相连且整体可自由平移的系统，写出 \(\mathbf K\) 并解释零频模。
12. 若 \(\mathbf K\) 有一个负本征值，说明对应线性化解的时间行为。

Exit ticket

用一条因果链解释：

\[\text{rotation symmetry} \longrightarrow \text{cyclic coordinate} \longrightarrow \text{angular momentum} \longrightarrow \text{effective potential}.\]

再用一句话说明为什么 normal coordinates 能把耦合小振动变成独立振子。

9. References and source notes / 参考资料与使用说明

9.1 Source-to-content map

9.2 Bibliographic notes

1. Stewart, I. and MIT 8.09 course staff. Chapters 1–3 of Advanced Classical Mechanics provide the main independent checks for analytical mechanics, rigid bodies and oscillations.
2. Tong, D. Lectures on Classical Dynamics. Cambridge DAMTP；用于核对 Noether、中心力与稳定性论证。
3. 所有示意图和函数图均由正文方程原创生成，没有复制教材图形。